2024-2025學(xué)年浙江省強基聯(lián)盟高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的元素個數(shù)是（）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個【答案】A【解析】，，所以的元素個數(shù)是4個.故選：.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知向量，，若，則實數(shù)（）A.或 B.1或 C.或 D.1或【答案】D【解析】由，，得，由，得，即，所以或.故選：D.4.如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為即，點為的中點，所以，所以.故選：D.5.已知函數(shù)的一條對稱軸為，則的最小值為（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】C【解析】由函數(shù)一條對稱軸為，可得，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：C.6.已知函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.7.若正實數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，又因為，所以，即得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以的最大值是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域均為，且，若為奇函數(shù)，則使成立的的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由，得，又，則，，又，而為奇函數(shù)，即，因此，由，得，而，于是，則，所以使成立的的最小值是6.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為B.C.D.是方程的根【答案】BC【解析】的虛部為，A錯誤；，B正確；，C正確；代入方程，故不是方程的根，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱【答案】BCD【解析】當(dāng)時，，所以，且函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，A選項錯誤，B選項正確；當(dāng)時，，因為，所以，所以C選項正確；因為，所以，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，D選項正確.故選：BCD.11.如圖，設(shè)軸和軸是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，其中分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在夾角為的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則在上的投影向量為C.若的最小值為，則D.若對任意的，恒有，則【答案】ABD【解析】由題意，所以，故A正確；因為，所以在上的投影向量為，故B正確；，即，所以或，故C錯誤；由，兩邊平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量滿足，且的夾角為，則__________.【答案】【解析】.13.若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，不對任意的恒成立，不符合；當(dāng)時，由題可知，且，解得，故實數(shù)的最大值是.14.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知，向量，，若點構(gòu)成的四邊形能夠形成一個正方形，則__________.【答案】1或3【解析】由，，可得，，則，，因，所以，即，因為，所以，因為點構(gòu)成的四邊形能夠形成一個正方形，結(jié)合圖形觀察可得：正方形的對角線只能是，則，即，解得或3，當(dāng)時，，，此時線段互相垂直且平分，，所以四邊形時正方形；當(dāng)時，，，此時線段互相垂直且平分，，所以四邊形時正方形，所以或3四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若銳角滿足，求.解：（1）.所以函數(shù)的最小正周期.（2）因為，得，又因為是銳角，所以，因為，且，所以，所以.16.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且為實數(shù).（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，可得，則，因為是實數(shù)，所以，解得，則，所以.（2）由，因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，可得且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖所示，某建筑物模型無下底面，有上底面，其外觀是圓柱，底部挖去一個圓錐.已知圓柱與圓錐的底面大小相同，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐母線為.（1）計算該模型的體積.（結(jié)果精確到）（2）現(xiàn)需使用油漆對500個該種模型進(jìn)行涂層，油漆費用為每平方米30元，總費用是多少？（結(jié)果精確到1元）解：（1）設(shè)圓錐的高為，由題意得圓錐母線為10cm，則，.（2）圓柱的側(cè)面積為，圓柱的上底面的面積為，圓錐側(cè)面積為.，故總費用為（元）.18.已知四邊形中，為中點，為與的交點，.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）因為為中點，所以，所以.（2）由（1）得，因為，所以，，所以.19.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，且邊的中線的長為，求的面積；（3）若是銳角三角形，求的范圍.解：（1）由和正弦定理得：，即，，又.（2）.，，.所以的面積為.（3）由正弦定理得：.因為銳角三角形，則.，，，所以.20.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在區(qū)間內(nèi)存在一點，使得，則稱為函數(shù)的“偏移中值點”.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)是否有“偏移中值點”？如果有，求出“偏移中值點”，如果沒有，請說明理由；（2）若是函數(shù)的“偏移中值點”，求的值；（3）若函數(shù)存在“偏移中值點”，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，假設(shè)函數(shù)有“偏移中值點”，則，即，解得，所以函數(shù)沒有“偏移中值點”.（2）因為是函數(shù)的“偏移中值點”，則滿足，即，解得，所以，又由，所以（3）設(shè)函數(shù)的“偏移中值點”為，則，即方程在上有解，解法1：由方程，可得，即方程在上有解，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有零點，①當(dāng)時，由，可得，不符合題意；②當(dāng)時，可得，于是由，解得或，此時，有一個零點，符合題意；③當(dāng)時，可得，由，解得或，此時函數(shù)在上無零點，不符合題意；④當(dāng)且且時，（i）若函數(shù)在上只有一個零點，則滿足或，解得；（ii）若函數(shù)在上有兩個零點，則滿足，且，且，且，解得，綜合①②③④可知，實數(shù)的取值范圍是，所以，故的取值范圍為.解法2：由方程，可得，即方程在上有解，當(dāng)時，方程無解，只需方程在上有解，令，于是，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，因此，即，于是，可得，因此，故的取值范圍為.浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的元素個數(shù)是（）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個【答案】A【解析】，，所以的元素個數(shù)是4個.故選：.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知向量，，若，則實數(shù)（）A.或 B.1或 C.或 D.1或【答案】D【解析】由，，得，由，得，即，所以或.故選：D.4.如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為即，點為的中點，所以，所以.故選：D.5.已知函數(shù)的一條對稱軸為，則的最小值為（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】C【解析】由函數(shù)一條對稱軸為，可得，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：C.6.已知函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.7.若正實數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，又因為，所以，即得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以的最大值是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域均為，且，若為奇函數(shù)，則使成立的的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由，得，又，則，，又，而為奇函數(shù)，即，因此，由，得，而，于是，則，所以使成立的的最小值是6.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為B.C.D.是方程的根【答案】BC【解析】的虛部為，A錯誤；，B正確；，C正確；代入方程，故不是方程的根，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱【答案】BCD【解析】當(dāng)時，，所以，且函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，A選項錯誤，B選項正確；當(dāng)時，，因為，所以，所以C選項正確；因為，所以，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，D選項正確.故選：BCD.11.如圖，設(shè)軸和軸是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，其中分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在夾角為的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則在上的投影向量為C.若的最小值為，則D.若對任意的，恒有，則【答案】ABD【解析】由題意，所以，故A正確；因為，所以在上的投影向量為，故B正確；，即，所以或，故C錯誤；由，兩邊平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量滿足，且的夾角為，則__________.【答案】【解析】.13.若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，不對任意的恒成立，不符合；當(dāng)時，由題可知，且，解得，故實數(shù)的最大值是.14.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知，向量，，若點構(gòu)成的四邊形能夠形成一個正方形，則__________.【答案】1或3【解析】由，，可得，，則，，因，所以，即，因為，所以，因為點構(gòu)成的四邊形能夠形成一個正方形，結(jié)合圖形觀察可得：正方形的對角線只能是，則，即，解得或3，當(dāng)時，，，此時線段互相垂直且平分，，所以四邊形時正方形；當(dāng)時，，，此時線段互相垂直且平分，，所以四邊形時正方形，所以或3四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若銳角滿足，求.解：（1）.所以函數(shù)的最小正周期.（2）因為，得，又因為是銳角，所以，因為，且，所以，所以.16.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且為實數(shù).（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，可得，則，因為是實數(shù)，所以，解得，則，所以.（2）由，因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，可得且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖所示，某建筑物模型無下底面，有上底面，其外觀是圓柱，底部挖去一個圓錐.已知圓柱與圓錐的底面大小相同，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐母線為.（1）計算該模型的體積.（結(jié)果精確到）（2）現(xiàn)需使用油漆對500個該種模型進(jìn)行涂層，油漆費用為每平方米30元，總費用是多少？（結(jié)果精確到1元）解：（1）設(shè)圓錐的高為，由題意得圓錐母線為10cm，則，.（2）圓柱的側(cè)面積為，圓柱的上底面的面積為，圓錐側(cè)面積為.，故總費用為（元）.18.已知四邊形中，為中點，為與的交點，.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）因為為中點，所以，所以.（2）由（1）得，因為，所以，，所以.19.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，且邊的中線的長為，求的面積；（3）若是銳角三角形，求的范圍.解：（1）由和正弦定理得：，即，，又.（2）.，，.所以的面積為.（3）由正弦定理得：.因為銳角三角形，則.，，，所以.20.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在區(qū)間內(nèi)存在一點，使得，則稱為函數(shù)的“偏移中值點”.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)是否有“偏移中值點”？如果有，求出“偏移中值點”，如果沒有，請說明理由；（2）若是函數(shù)的“偏移中值點”，求的值；（3）若函數(shù)存在“偏移中值點”，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，假設(shè)函數(shù)有“偏移中值點”，則，即，解得，所以函數(shù)沒有“偏移中值點”.（2）因為是函數(shù)的“偏移中值點”，則滿足，即，解得，所以，又由，所以（3）設(shè)函數(shù)的“偏移中值點”為，則，即方程