2024-2025學年遼寧省名校聯(lián)盟高一下學期3月份聯(lián)合考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月份聯(lián)合考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A.2.已知，那么使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，解得，即命題，對于A，是成立的充要條件，A不是；對于B，是成立的必要不充分條件，B不是；對于C，是成立的充分不必要條件，C是；對于D，是成立的不充分不必要條件，D不是.故選：C.3.若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.4.已知平面向量，且，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】向量，則，由，得，所以.故選：A.5.聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.在某特殊介質的實驗中對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)來表示聲強的“聲強級數(shù)”，即，則“聲強級數(shù)7”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的（）A20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】由，得，當時，，當時，，，所以“聲強級數(shù)7”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的100倍.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中，，即，解得，函數(shù)定義域為，，函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，選項AC不滿足；當時，，選項D不滿足，B符合題意.故選：B.7.已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)的定義域為，，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)在上都單調遞增，則函數(shù)在上單調遞增，又函數(shù)在上單調遞增，于函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)在上單調遞增，不等式，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為或.故選：C.8.設函數(shù)且關于方程恰有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，當時，，當時，為方程，即的兩個根，則，又當時，，當且僅當時取等號，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象知，當且僅當時，方程恰有3個不同的實根，由，得，，而當或時，，因此，所以的取值范圍是.故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18D.若事件相互獨立，，則【答案】BC【解析】對于A，數(shù)據(jù)由小到大排列：，眾數(shù)為9，A錯誤；對于B，連續(xù)射擊三次，事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶；事件“至多有一次中靶”包括沒有中靶和中靶一次，它們不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，因此事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件，B正確；對于C，數(shù)據(jù)的方差為2，數(shù)據(jù)的方差為，C正確；對于D，事件相互獨立，，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.B.的值域為C.是上的增函數(shù)D.函數(shù)的圖象關于點對稱【答案】ACD【解析】對于A，，A正確；對于B，，，則，函數(shù)的值域為，B錯誤；對于C，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此是上的增函數(shù)，C正確；對于D，，函數(shù)的圖象關于點對稱，D正確.故選：ACD.11.已知正實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為正實數(shù)滿足，所以，所以，解得，當且僅當，即時，取到最小值4，故A正確；對于B，由得，所以，當且僅當，即時，取到最小值，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，所以，當且僅當即時，取到最小值，故C正確；對于D，，由A選項可知，由函數(shù)在上單調遞減可知，，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集為__________.【答案】【解析】不等式化為：，即，則，解得，所以原不等式的解集為.13.如圖，在中，已知是線段與的交點，若，則的值為__________.【答案】【解析】設，由得，故，由得，故，由于三點共線，故，則，又，故，所以.14.若定義在上的函數(shù)同時滿足：①為奇函數(shù)；②；③對任意的，且，都有，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因對任意的，且，都有，則在上單調遞減，又為奇函數(shù)及，所以，則為偶函數(shù)，且，故在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減.又，則，當時，，得，解得或，故；當時，，即，得或，解得或，綜上，不等式的解集為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并寫出的單調區(qū)間（不必證明）；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為是冪函數(shù)，故，解得或；當時，，定義域為，滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，定義域為，函數(shù)非奇非偶函數(shù)，不符題意；故，，其單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）由（1）知為偶函數(shù)，單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.由于，故，即且，解得或，即的取值范圍為.16.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值（保留兩位小數(shù)）以及估計該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)；（2）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨立，求恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)的概率；（3）現(xiàn)有4位居民甲、乙、丙、丁，經調查，甲和乙月均用水量大于分位數(shù)，丙和丁月均用水量不大于分位數(shù)，現(xiàn)從該4人中隨機選2人，求所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)的概率.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得；數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，由，解得，所以，估計該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.（2）設事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，因此，所以所求概率為.（3）試驗的樣本空間(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6個樣本點，事件表示所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)，則(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4個樣本點，所以.17.已知函數(shù).（1）求關于的一元二次不等式的解集；（2）若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）不等式，，當時，，原不等式無解；當或時，，原不等式解為；當或時，，由，解得，不等式的解為，所以當時，原不等式的解集為；當或時，原不等式的解集為；當或時，原不等式的解集為.（2）當時，，而，當且僅當，即時取等號，由，使得成立，得，所以實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）證明：曲線是中心對稱圖形；（2）若，當且僅當時成立.（i）求實數(shù)的值；（ii）若是的零點，滿足，求的值.解：（1）由題意，，得，所以曲線關于點對稱.（2）（i）由，解得，即函數(shù)的定義域為.對于，函數(shù)在上單調遞減，所以在上單調遞增，故函數(shù)在上單調遞增.又，當且僅當時成立，需且，即，解得.（ii）由（i）得，因為是的零點，所以，得；由，得，令，則，得，即.即都是方程的解，即都是函數(shù)的零點，又在上單調遞增，且，所以在上有且僅有一個零點，故，即，所以.19.已知函數(shù)滿足為圖象上不同的兩點.（1）求函數(shù)；（2）若函數(shù)的圖象經過兩點，線段的中點落在直線上，求實數(shù)的值；（3）若，求的取值范圍.解：（1）由，得，即，顯然，所以.（2）依題意，是方程，即的兩個根，令，即是關于的方程的兩個正根，因此，解得，由線段的中點落在直線上，得，解得，所以實數(shù)的值為3.（3）由（1）知，，由，得，整理得，即，化簡得，而于是，令，則，解得，則，即，因此，由，得，則，，所以的取值范圍是.遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月份聯(lián)合考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A.2.已知，那么使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，解得，即命題，對于A，是成立的充要條件，A不是；對于B，是成立的必要不充分條件，B不是；對于C，是成立的充分不必要條件，C是；對于D，是成立的不充分不必要條件，D不是.故選：C.3.若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.4.已知平面向量，且，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】向量，則，由，得，所以.故選：A.5.聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.在某特殊介質的實驗中對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)來表示聲強的“聲強級數(shù)”，即，則“聲強級數(shù)7”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的（）A20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】由，得，當時，，當時，，，所以“聲強級數(shù)7”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的100倍.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中，，即，解得，函數(shù)定義域為，，函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，選項AC不滿足；當時，，選項D不滿足，B符合題意.故選：B.7.已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)的定義域為，，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)在上都單調遞增，則函數(shù)在上單調遞增，又函數(shù)在上單調遞增，于函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)在上單調遞增，不等式，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為或.故選：C.8.設函數(shù)且關于方程恰有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，當時，，當時，為方程，即的兩個根，則，又當時，，當且僅當時取等號，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象知，當且僅當時，方程恰有3個不同的實根，由，得，，而當或時，，因此，所以的取值范圍是.故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18D.若事件相互獨立，，則【答案】BC【解析】對于A，數(shù)據(jù)由小到大排列：，眾數(shù)為9，A錯誤；對于B，連續(xù)射擊三次，事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶；事件“至多有一次中靶”包括沒有中靶和中靶一次，它們不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，因此事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件，B正確；對于C，數(shù)據(jù)的方差為2，數(shù)據(jù)的方差為，C正確；對于D，事件相互獨立，，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.B.的值域為C.是上的增函數(shù)D.函數(shù)的圖象關于點對稱【答案】ACD【解析】對于A，，A正確；對于B，，，則，函數(shù)的值域為，B錯誤；對于C，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此是上的增函數(shù)，C正確；對于D，，函數(shù)的圖象關于點對稱，D正確.故選：ACD.11.已知正實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為正實數(shù)滿足，所以，所以，解得，當且僅當，即時，取到最小值4，故A正確；對于B，由得，所以，當且僅當，即時，取到最小值，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，所以，當且僅當即時，取到最小值，故C正確；對于D，，由A選項可知，由函數(shù)在上單調遞減可知，，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集為__________.【答案】【解析】不等式化為：，即，則，解得，所以原不等式的解集為.13.如圖，在中，已知是線段與的交點，若，則的值為__________.【答案】【解析】設，由得，故，由得，故，由于三點共線，故，則，又，故，所以.14.若定義在上的函數(shù)同時滿足：①為奇函數(shù)；②；③對任意的，且，都有，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因對任意的，且，都有，則在上單調遞減，又為奇函數(shù)及，所以，則為偶函數(shù)，且，故在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減.又，則，當時，，得，解得或，故；當時，，即，得或，解得或，綜上，不等式的解集為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并寫出的單調區(qū)間（不必證明）；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為是冪函數(shù)，故，解得或；當時，，定義域為，滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，定義域為，函數(shù)非奇非偶函數(shù)，不符題意；故，，其單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）由（1）知為偶函數(shù)，單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.由于，故，即且，解得或，即的取值范圍為.16.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值（保留兩位小數(shù)）以及估計該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)；（2）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨立，求恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)的概率；（3）現(xiàn)有4位居民甲、乙、丙、丁，經調查，甲和乙月均用水量大于分位數(shù)，丙和丁月均用水量不大于分位數(shù)，現(xiàn)從該4人中隨機選2人，求所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)的概率.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得；數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，由，解得，所以，估計該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.（2）設事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，因此，所以所求概率為.（3）試驗的樣本空間(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)