2024-2025學(xué)年江蘇省南通市區(qū)部分高中高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省南通市區(qū)部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以；故選：A2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A.140種 B.120種 C.35種 D.34種【答案】D【解析】由題意得：選出4人參會，總的選法共有種，選出4人均為男生的選法有種，則4人中既有男生又有女生的選法共有種，故選：D.3.在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項(xiàng)為 B.各項(xiàng)的系數(shù)和為64C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為【答案】A【解析】對于A，展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)A正確；對于B，令，得各項(xiàng)的系數(shù)和為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.4.棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】，所以．故選：A．5.甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相鄰的情況有：所有排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C6.在一個(gè)口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球，第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，同時(shí)在袋中加入兩個(gè)與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則此次摸出的是黃球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件為第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球的顏色為白色，事件為第二次再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黃球，則.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數(shù)為.故選：A.8.設(shè)二項(xiàng)式（）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為，，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由于二項(xiàng)式（）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為，，則，，所以，故選:C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.被7除后的余數(shù)為5B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C.已知，則D.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為【答案】BC【解析】對于A：由于，所以，所以，即被7除后的余數(shù)為2，故A錯(cuò)誤；對于B：兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列共有種排法，兩位女生不相鄰的排法有，則兩位女生不相鄰的概率為，故B正確；對于C：由可得，解得，故C正確；對于D：從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，共有種取法，取得2件次品共有，則取得2件次品的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯(cuò)誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.11.正方體的棱長為2，為的中點(diǎn)，則（）A. B.與所成角余弦值為C.面與面所成角正弦值為 D.與面的距離為【答案】AD【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系正方體的棱長為2，易求、、、、、、、、.選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，所以所以，故A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，所以，設(shè)異面直線和所成的角為，則：，故B不正確.選項(xiàng)C：易求平面的法向量.設(shè)平面的法向量為，易求,，由，令，則.設(shè)平面與平面所成角為，則,，即，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?，設(shè)到平面的距離為，向量與法向量的夾角為，則：,故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于________．【答案】252【解析】∵在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：252．13.已知展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，現(xiàn)將展開式中的各項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為_______.【答案】【解析】依題意，，解得，因此二項(xiàng)式的展開式共8項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，是有理項(xiàng)，則展開式的有理項(xiàng)共4項(xiàng)，所以將展開式中的各項(xiàng)重新排列，其中有理項(xiàng)互不相鄰的概率.故答案為：14.某單位4男3女參加鄉(xiāng)村振興工作，這7人將被派駐到A，B，C3個(gè)鄉(xiāng)村進(jìn)行鄉(xiāng)村振興工作(每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1人)．若只考慮3個(gè)鄉(xiāng)村的名額分配，則有________種不同的名額分配方式；若每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1男1女兩位工作人員，且男性甲必須派駐到A鄉(xiāng)村，則有_______種不同的派駐方式．(用數(shù)字填寫答案)【答案】15；72.【解析】第一空，隔板法，將7個(gè)名額排成一排，在除去兩端的6個(gè)空位中選擇2個(gè)空位插入隔板，共有種分配方式；第二空，先將3女分配到3個(gè)鄉(xiāng)村，有種，再將4男分成3組，有種，將有男性甲的一組分配到A鄉(xiāng)村有1種，然后將剩余兩組分配到其他兩個(gè)鄉(xiāng)村，有種分法，所以共有種分配方式.故答案為：15；72.四、解答題．本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟．15.6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州里運(yùn)會4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為A，B，C，D）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目．（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種?（2）若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式?解：（1）根據(jù)題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外兩位同學(xué)排列有種排法，第二步：再把丙丁插空排列有種排法，所以共有種排法；（2）先將6為同學(xué)分成4組，按人數(shù)分有和種分法：第一類：按分法有種分法；第二類：按分法有種分法；所以共有：種分法.所以一共有種不同報(bào)名方式.16.已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項(xiàng)為，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)（2）系數(shù)絕對值最大的是第幾項(xiàng)（3）從展開式中的所有項(xiàng)中任取三項(xiàng)，取出的三項(xiàng)中既有有理項(xiàng)也有無理項(xiàng)，求共有多少種不同的取法．解：（1）根據(jù)展開式的通項(xiàng)可得令，解得即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)，解得所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)（2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)等價(jià)于系數(shù)最大的項(xiàng)；設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則即，又，所以，即第8項(xiàng)系數(shù)最大，也即展開式中第8項(xiàng)系數(shù)絕對值最大.（3）令，，解得，即展開式中有理項(xiàng)共有6項(xiàng)，無理項(xiàng)有5項(xiàng)；所以從展開式中的所有項(xiàng)中任取三項(xiàng)，取出的三項(xiàng)中既有有理項(xiàng)也有無理項(xiàng)的取法共有種；17.甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，丙袋中有4個(gè)白球和4個(gè)紅球.先隨機(jī)取一只袋，再從該袋中先后隨機(jī)取2個(gè)球．（1）求第一次取出的球?yàn)榧t球的概率；（2）求第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．解：（1）設(shè)第一次取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录嗀，取到甲袋、乙袋、丙袋為事件，，，則，由全概率公式可得：（2）設(shè)第二次取出的球是白球?yàn)槭录?，由全概率公式可得：，所?8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，，面ABCD，E、F分別為PA、AB的中點(diǎn)，直線AC與DF相交于O點(diǎn)．（1）證明：平面DEF；（2）求直線PC與平面DEF所成角的正弦值；（3）求二面角A-EO-D的余弦值.解：（1）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面DEF的法向量為，，，∵，，∴，??；又，∴，∴，面DEF，所以平面DEF.（2）∵，∴，設(shè)直線PC與平面DEF所成角為，則.（3），，，，，所以面AEO的法向量為，面DEO的法向量為，∴；設(shè)二面角A-EO-D所成角為，由圖所示，為銳角，則.19.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）證明：的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為；（3）定義：，化簡：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.（2），，故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為因?yàn)?，所以?xiàng)的系數(shù)為：.（3）①②在①?②添加，則得③④③+④得：.江蘇省南通市區(qū)部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以；故選：A2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A.140種 B.120種 C.35種 D.34種【答案】D【解析】由題意得：選出4人參會，總的選法共有種，選出4人均為男生的選法有種，則4人中既有男生又有女生的選法共有種，故選：D.3.在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項(xiàng)為 B.各項(xiàng)的系數(shù)和為64C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為【答案】A【解析】對于A，展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)A正確；對于B，令，得各項(xiàng)的系數(shù)和為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.4.棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】，所以．故選：A．5.甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相鄰的情況有：所有排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C6.在一個(gè)口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球，第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，同時(shí)在袋中加入兩個(gè)與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則此次摸出的是黃球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件為第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球的顏色為白色，事件為第二次再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黃球，則.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數(shù)為.故選：A.8.設(shè)二項(xiàng)式（）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為，，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由于二項(xiàng)式（）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為，，則，，所以，故選:C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.被7除后的余數(shù)為5B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C.已知，則D.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為【答案】BC【解析】對于A：由于，所以，所以，即被7除后的余數(shù)為2，故A錯(cuò)誤；對于B：兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列共有種排法，兩位女生不相鄰的排法有，則兩位女生不相鄰的概率為，故B正確；對于C：由可得，解得，故C正確；對于D：從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，共有種取法，取得2件次品共有，則取得2件次品的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯(cuò)誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.11.正方體的棱長為2，為的中點(diǎn)，則（）A. B.與所成角余弦值為C.面與面所成角正弦值為 D.與面的距離為【答案】AD【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系正方體的棱長為2，易求、、、、、、、、.選項(xiàng)A：因?yàn)?，，所以所以，故A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，所以，設(shè)異面直線和所成的角為，則：，故B不正確.選項(xiàng)C：易求平面的法向量.設(shè)平面的法向量為，易求,，由，令，則.設(shè)平面與平面所成角為，則,，即，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，，設(shè)到平面的距離為，向量與法向量的夾角為，則：,故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于________．【答案】252【解析】∵在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：252．13.已知展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，現(xiàn)將展開式中的各項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為_______.【答案】【解析】依題意，，解得，因此二項(xiàng)式的展開式共8項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，是有理項(xiàng)，則展開式的有理項(xiàng)共4項(xiàng)，所以將展開式中的各項(xiàng)重新排列，其中有理項(xiàng)互不相鄰的概率.故答案為：14.某單位4男3女參加鄉(xiāng)村振興工作，這7人將被派駐到A，B，C3個(gè)鄉(xiāng)村進(jìn)行鄉(xiāng)村振興工作(每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1人)．若只考慮3個(gè)鄉(xiāng)村的名額分配，則有________種不同的名額分配方式；若每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1男1女兩位工作人員，且男性甲必須派駐到A鄉(xiāng)村，則有_______種不同的派駐方式．(用數(shù)字填寫答案)【答案】15；72.【解析】第一空，隔板法，將7個(gè)名額排成一排，在除去兩端的6個(gè)空位中選擇2個(gè)空位插入隔板，共有種分配方式；第二空，先將3女分配到3個(gè)鄉(xiāng)村，有種，再將4男分成3組，有種，將有男性甲的一組分配到A鄉(xiāng)村有1種，然后將剩余兩組分配到其他兩個(gè)鄉(xiāng)村，有種分法，所以共有種分配方式.故答案為：15；72.四、解答題．本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟．15.6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州里運(yùn)會4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為A，B，C，D）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目．（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種?（2）若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式?解：（1）根據(jù)題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外兩位同學(xué)排列有種排法，第二步：再把丙丁插空排列有種排法，所以共有種排法；（2）先將6為同學(xué)分成4組，按人數(shù)分有和種分法：第一類：按分法有種分法；第二類：按分法有種分法；所以共有：種分法.所以一共有種不同報(bào)名方式.16.已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項(xiàng)為，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)（2）系數(shù)絕對值最大的是第幾項(xiàng)（3）從展開式中的所有項(xiàng)中任取三項(xiàng)，取出的三項(xiàng)中既有有理項(xiàng)也有無理項(xiàng)，求共有多少種不同的取法．解：（1）根據(jù)展開式的通項(xiàng)可得令，解得即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)，解得所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)（2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)等價(jià)于系數(shù)最大的項(xiàng)