2024-2025學(xué)年江蘇省多校高一下學(xué)期第一次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由題意得.故選：A.2.若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得：，即，所以.故選：A.3.已知，且三點(diǎn)共線，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，因?yàn)椋?，解?故選：A.4.已知向量滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，移項(xiàng)可得，因?yàn)?，所以，?duì)兩邊同時(shí)平方可得，根據(jù)完全平方公式則，又因?yàn)?，，所以可化為，由，移?xiàng)可得，則，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，將，，代入可得：，則.故選：D.5.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量?故選：C.6.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且．若，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】在中，點(diǎn)在線段上，且，則，，而，因此，即，所以.故選：A.7.已知，則，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又的最小值為，所以，又，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，且、，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式的值正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，A不正確；，B正確；，C不正確；，D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】AD【解析】對(duì)于A，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，而函?shù)在上不單調(diào)，故在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由（），得（），不可能取到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故D正確.故選：AD.11.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，為中點(diǎn)，且，，則下列各式正確的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由是的重心可得，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；過的外心分別作，的垂線，垂足為，，如圖(1)，易知，分別是，的中點(diǎn)，則，故B項(xiàng)正確；因?yàn)槭堑闹匦?，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項(xiàng)正確：如圖(2)，由于，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?13.如圖，P，Q分別是四邊形的對(duì)角線與的中點(diǎn)，設(shè)，，且，不是共線向量，向量____________.（試用基底，表示）【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，Q分別是四邊形的對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，取的中點(diǎn)G，連接，，所以，，，∴.14.已知，則______，______.【答案】【解析】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因?yàn)?，，所以，所以?5.已知向量.（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為且.16（1）求值：.（2）在中，已知，求角C的大小.解：（1），∵，∴原式=.（2）中，已知，若，則，不合題意；∴，，由已知，，∴，，∴，∴.17.如圖，在中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.（1）用、表示；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故.（2）因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，，，所以存在，使得，即，所以，又因?yàn)?，且、不共線，所以，則，所以，故.18.長(zhǎng)江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度．一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷游船航行到達(dá)北岸的位置是在的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由．（2）當(dāng)多大時(shí)，游船能到達(dá)處？需要航行多長(zhǎng)時(shí)間？（不必近似計(jì)算）（3）當(dāng)時(shí)，游船航行到達(dá)北岸的實(shí)際航程是多少？解：（1）由題設(shè)，在反方向上的分速度為，∴游船航行到達(dá)北岸的位置是在的左側(cè).（2）要使能到達(dá)處，則在反方向上的分速度為，∴，故，又，此時(shí)，∴垂直方向上的速度，∴.（3）由（1）知：垂直方向航行時(shí)間為，∴水平方向航行距離為，∴游船航行到達(dá)北岸的實(shí)際航程.19.已知函數(shù)，且恒成立.（1）求a值；（2）設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1），其中為銳角且，由于，，故，所以，，故，，，，解得.（2）由（1）得，不妨取，故，，，使得，則只需，當(dāng)時(shí)，，故，則，令，則，則，其中，因?yàn)?，所以，，若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，故，若，此時(shí)，令，故，解得，與取交集得，若，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故，令，解得，與取交集得，綜上，.江蘇省多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由題意得.故選：A.2.若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得：，即，所以.故選：A.3.已知，且三點(diǎn)共線，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，因?yàn)?，所以，解?故選：A.4.已知向量滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，移項(xiàng)可得，因?yàn)?，所以，?duì)兩邊同時(shí)平方可得，根據(jù)完全平方公式則，又因?yàn)?，，所以可化為，由，移?xiàng)可得，則，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，將，，代入可得：，則.故選：D.5.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量?故選：C.6.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且．若，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】在中，點(diǎn)在線段上，且，則，，而，因此，即，所以.故選：A.7.已知，則，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又的最小值為，所以，又，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，且、，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式的值正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，A不正確；，B正確；，C不正確；，D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】AD【解析】對(duì)于A，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，而函?shù)在上不單調(diào)，故在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由（），得（），不可能取到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故D正確.故選：AD.11.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，為中點(diǎn)，且，，則下列各式正確的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由是的重心可得，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；過的外心分別作，的垂線，垂足為，，如圖(1)，易知，分別是，的中點(diǎn)，則，故B項(xiàng)正確；因?yàn)槭堑闹匦?，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項(xiàng)正確：如圖(2)，由于，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所?13.如圖，P，Q分別是四邊形的對(duì)角線與的中點(diǎn)，設(shè)，，且，不是共線向量，向量____________.（試用基底，表示）【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，Q分別是四邊形的對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，取的中點(diǎn)G，連接，，所以，，，∴.14.已知，則______，______.【答案】【解析】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因?yàn)椋?，所以，所以?5.已知向量.（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為且.16（1）求值：.（2）在中，已知，求角C的大小.解：（1），∵，∴原式=.（2）中，已知，若，則，不合題意；∴，，由已知，，∴，，∴，∴.17.如圖，在中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.（1）用、表示；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故.（2）因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，，，所以存在，使得，即，所以，又因?yàn)?，且、不共線，所以，則，所以，故.18.長(zhǎng)江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度．一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷游船航行到達(dá)北岸的位置是在的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由．（2）當(dāng)多大時(shí)，游船能到達(dá)處？需要航行多長(zhǎng)時(shí)間？（不必近似計(jì)算）（3）當(dāng)時(shí)，游船航行到達(dá)北岸的實(shí)際航程是多少？解：（1）由題設(shè)，在反方向上的分速度為，∴游船航行到達(dá)北岸的位置是在的左側(cè).（2）要使能到達(dá)處，則在反方向上的分速度為，∴，故，又，此時(shí)，∴