2024-2025學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，由向量的坐標(biāo)表示可知，，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由二倍角的余弦公式可得.故選：D.3.已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】已知，，則.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線.可得.即，等式兩邊同時(shí)除以，因?yàn)?，若，則，此時(shí)，得到.故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，由于，所以．故選：A．5.在平行四邊形中，，，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】由向量的加法運(yùn)算及題干條件可知，，所以.故選：C.6.若函數(shù)取最小值時(shí)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最小值，所以，故.故選：B.7.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】，則，則即，所以，∴.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有，由可得，所以，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由誘導(dǎo)公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對(duì)于C，由輔助角公式可知，故C正確；對(duì)于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.若，則C.若，滿(mǎn)足，則與的夾角為D.與向量垂直【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，又，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)為零向量時(shí)，可以不為相等向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以圍成的是正三角形，如圖，由平行四邊形法則可知與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，，與垂直，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是的一個(gè)最小正周期 B.是偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸【答案】BC【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得：，所以是的一個(gè)周期.下面判斷是否為最小正周期：，所以是的最小正周期，則不是的一個(gè)最小正周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).可得，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.已知,當(dāng)時(shí)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，知道在單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確.由于，當(dāng)，即為圖象對(duì)稱(chēng)軸，所以不是圖象一條對(duì)稱(chēng)軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】已知，故，所以.13.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值.14.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，且，則的最大值是________．【答案】【解析】由于，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，則，.已知，代入上式可得：，則.根據(jù)向量模的性質(zhì)，可得：因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，可得：?dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．解：（1）因?yàn)樗运?所以.（2）由（1）知，因?yàn)?，，所以所以的值?16.已知向量，滿(mǎn)足，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量為，求的值．解：（1）已知，根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開(kāi)可得：，因?yàn)?，所以；，所?代入上式可得，即，解得.設(shè)向量與的夾角為，，根據(jù)向量夾角公式可得：，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋芍?同樣根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開(kāi)可得：將，，代入上式可得：，解得.（3）向量在方向上的投影向量.則.將，代入可得：.17.函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，，求的最大值．解：（1）由圖象可知的最大值是，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，所以.（2），可得，所以，即時(shí)，取得最大值為.18.在中，滿(mǎn)足：，是的中點(diǎn)．（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；（3）若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，所?（2）因?yàn)?，，是中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是．（3）設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，所以，所以.19.閱讀下面材料：，解答下列問(wèn)題：（1）用表示；（2）利用（1）的結(jié)論，求的值；（3）若函數(shù)，，求的值域．解：（1）；即.（2）令，由等式知，，即，顯然，所以，即，解得，又，所以，即.（3）令，則，且，，而，則，即的值域?yàn)?江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，由向量的坐標(biāo)表示可知，，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由二倍角的余弦公式可得.故選：D.3.已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】已知，，則.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線.可得.即，等式兩邊同時(shí)除以，因?yàn)?，若，則，此時(shí)，得到.故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，由于，所以．故選：A．5.在平行四邊形中，，，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】由向量的加法運(yùn)算及題干條件可知，，所以.故選：C.6.若函數(shù)取最小值時(shí)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最小值，所以，故.故選：B.7.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】，則，則即，所以，∴.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有，由可得，所以，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由誘導(dǎo)公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對(duì)于C，由輔助角公式可知，故C正確；對(duì)于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.若，則C.若，滿(mǎn)足，則與的夾角為D.與向量垂直【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，又，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)為零向量時(shí)，可以不為相等向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以圍成的是正三角形，如圖，由平行四邊形法則可知與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，，與垂直，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是的一個(gè)最小正周期 B.是偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸【答案】BC【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得：，所以是的一個(gè)周期.下面判斷是否為最小正周期：，所以是的最小正周期，則不是的一個(gè)最小正周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).可得，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.已知,當(dāng)時(shí)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，知道在單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確.由于，當(dāng)，即為圖象對(duì)稱(chēng)軸，所以不是圖象一條對(duì)稱(chēng)軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】已知，故，所以.13.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，取最小值.14.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，且，則的最大值是________．【答案】【解析】由于，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，則，.已知，代入上式可得：，則.根據(jù)向量模的性質(zhì)，可得：因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，可得：?dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．解：（1）因?yàn)樗运?所以.（2）由（1）知，因?yàn)?，，所以所以的值?16.已知向量，滿(mǎn)足，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量為，求的值．解：（1）已知，根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開(kāi)可得：，因?yàn)椋?；，所?代入上式可得，即，解得.設(shè)向量與的夾角為，，根據(jù)向量夾角公式可得：，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，可?同樣根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開(kāi)可得：將，，代入上式可得：，解得.（3）向量在方向上的投影向量.則.將，代入可得：.17.函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，，求的最大值．解：（1）由圖象可知的最大值是，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，所以.（2），可得，所以，即時(shí)，取得最大值為.18.在中，滿(mǎn)足：，是的中點(diǎn)．（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；（3）若點(diǎn)是內(nèi)