2024-2025學(xué)年湖北省六校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，與向量方向相反的單位向量是.故選：D.3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由題設(shè)，不存在實(shí)數(shù)，使，故不共線，錯(cuò)；B：由，錯(cuò)；C：因?yàn)椋?，即，?duì)；D：，錯(cuò).故選：C.4.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在處看到一個(gè)燈塔在南偏東，行駛小時(shí)后，船到達(dá)處看到燈塔在南偏西，此時(shí)測得船與燈塔的距離為km，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意知，在中，，，，所以為直角三角形，又，，故（小時(shí)）.故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.，B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】對(duì)于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋圆皇菆D象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B.7.定義兩個(gè)向量，之間的一種運(yùn)算：，其中是向量，的夾角，則對(duì)于非零向量，，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.該運(yùn)算滿足交換律，即B.若向量，共線，則C.的值等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積D.對(duì)任意向量，有【答案】D【解析】對(duì)于A，根據(jù)定義，，故A一定成立；對(duì)于B，若向量，共線，則或，則，所以，故B一定成立；對(duì)于C，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故C一定成立；對(duì)于D，若且與不共線，則，但，故D不一定成立.故選：D.8.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)在上有1個(gè)周期的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，所以函數(shù)在上有3個(gè)周期的圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個(gè)交點(diǎn).故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)的對(duì)稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個(gè)非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的對(duì)稱中心是，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，故B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，同向時(shí)，滿足，此時(shí)，的夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.計(jì)算下列各式的值，結(jié)果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.如圖，在菱形中，，延長邊至點(diǎn)，使得.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿菱形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，若，則（）A.當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，B.滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)C.滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D.最大值為3【答案】ACD【解析】建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為1，，則，所以，由，得，所以，所以，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，且，所以，故A正確；②當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡，所以，因?yàn)椋?，即；③?dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，且，所以，即，所以；④當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡，所以，因?yàn)椋?，所以；?duì)于B，由①知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合；由④可知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由②知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)；由③知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D，由①②③④可得，當(dāng)，，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，故D正確.故選：ACD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的周長為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積.13.在中，，，則角為____________.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因?yàn)椋?14.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為______________，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________.【答案】5【解析】由題設(shè)，所以為奇函數(shù)，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題可得，因?yàn)?，，代入可得，，所以與夾角的余弦值.（2）因?yàn)椋?，化簡可得，將，，代入可得，解得?6.已知函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式及的解集；（2）在中，為的一個(gè)內(nèi)角，若滿足，，且，求周長.解：（1）由題設(shè)，則，令，，所以，，故解集為.（2）由題設(shè)，即，，所以，，又是三角形內(nèi)角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長為.17.如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn).設(shè)，；（1）若，試用向量，表示，；（2）若，求的面積.解：（1）由題意，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，則.所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，，解?所以，，則，所以.18.中國數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，這一數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知）；（3）試用三倍角公式并結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，求出黃金分割值.解：（1）由，得證.（2）由（1）知，可得，而.（3）由，則，所以，則，所以，可得（負(fù)值舍），所以.19.已知函數(shù).（1）設(shè)，為偶函數(shù)，若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由為偶函數(shù)，則，，又，則，所以，則，存在，使不等式成立，則，所以在上能成立，而，所以.（2）由題設(shè)，且，則，所以，而，則，所以，對(duì)任意的，總存在，使成立，所以，即，令，則，故，當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，可得；當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)，可得；當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，可得；綜上，.湖北省六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，與向量方向相反的單位向量是.故選：D.3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由題設(shè)，不存在實(shí)數(shù)，使，故不共線，錯(cuò)；B：由，錯(cuò)；C：因?yàn)?，所以，即，?duì)；D：，錯(cuò).故選：C.4.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在處看到一個(gè)燈塔在南偏東，行駛小時(shí)后，船到達(dá)處看到燈塔在南偏西，此時(shí)測得船與燈塔的距離為km，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意知，在中，，，，所以為直角三角形，又，，故（小時(shí)）.故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.，B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】對(duì)于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B.7.定義兩個(gè)向量，之間的一種運(yùn)算：，其中是向量，的夾角，則對(duì)于非零向量，，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.該運(yùn)算滿足交換律，即B.若向量，共線，則C.的值等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積D.對(duì)任意向量，有【答案】D【解析】對(duì)于A，根據(jù)定義，，故A一定成立；對(duì)于B，若向量，共線，則或，則，所以，故B一定成立；對(duì)于C，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故C一定成立；對(duì)于D，若且與不共線，則，但，故D不一定成立.故選：D.8.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)在上有1個(gè)周期的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，所以函數(shù)在上有3個(gè)周期的圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個(gè)交點(diǎn).故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)的對(duì)稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個(gè)非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的對(duì)稱中心是，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，故B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，同向時(shí)，滿足，此時(shí)，的夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.計(jì)算下列各式的值，結(jié)果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.如圖，在菱形中，，延長邊至點(diǎn)，使得.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿菱形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，若，則（）A.當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，B.滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)C.滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D.最大值為3【答案】ACD【解析】建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為1，，則，所以，由，得，所以，所以，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，且，所以，故A正確；②當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡，所以，因?yàn)?，所以，即；③?dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，且，所以，即，所以；④當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡，所以，因?yàn)?，所以，所以；?duì)于B，由①知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合；由④可知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由②知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)；由③知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D，由①②③④可得，當(dāng)，，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，故D正確.故選：ACD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的周長為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積.13.在中，，，則角為____________.【答案】【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所?14.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為______________，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________.【答案】5【解析】由題設(shè)，所以為奇函數(shù)，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題可得，因?yàn)椋肟傻?，，所以與夾角的余弦值.（2）因?yàn)椋?，化簡可得，將，，代入可得，解得?6.已知函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式及的解集；（2）在中，為的一個(gè)內(nèi)角，若滿足，，且，求周長.解：（1）由題設(shè)，則，令，，所以，，故解集為.（2）由題設(shè)，即，，所以，，又是三角形內(nèi)角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長為.17.如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn).設(shè)，；（1）若，試用向量，表示，；（2）若，求的面積.解：（1）由題意，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則.所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，，解?所以，，則，所以.18.中國數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，這一數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知）；（3）試用三倍角公式并結(jié)