2023~2024學年四川成都高考適應性考試二數(shù)學理試題帶解析

2023-2024學年四川省成都市高考適應性考試（二）數(shù)學（理）模擬試題一、單選題1．集合的真子集的個數(shù)為（

）A．3 B．7 C．15 D．16【正確答案】C【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域結合真子集的知識得出答案.【詳解】因為，所以集合A的真子集的個數(shù)為.故選：C.2．有下列四個命題，其中是真命題的是（

）A．“全等三角形的面積相等”的否命題B．在中，“”是“”的充分不必要條件C．命題“，”的否定是“，”D．已知，其在復平面上對應的點落在第四象限【正確答案】D【分析】利用原命題與否命題的關系即可判斷A；利用充分必要條件即可判斷B；利用全稱命題的否定的定義即可判斷C；利用復數(shù)的幾何意義即可判斷D．【詳解】對于A，“全等三角形的面積相等”的否命題是“不全等三角形的面積不相等”，這顯然是假命題，故A錯誤；對于B，在中，，由，得，所以“”是“”的必要不充分條件，故B錯誤；對于C，命題“，”的否定是“，”，故C錯誤；對于D，，所以其對應的點為，在第四象限，故D正確.故選：D．3．某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前?后的年經(jīng)濟收入構成比例，得到如下扇形圖.下列結論正確的是（

）A．招商引資后，工資凈收入較前一年減少B．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D．招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點即可求解.【詳解】設招商引資前經(jīng)濟收入為M，則招商引資后經(jīng)濟收入為2M.對于A，招商引資前工資凈收入為，招商引資后的工資凈收入為，所以招商引資后，工資凈收入增加了，故A錯誤；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為，招商引資后經(jīng)營凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：D.4．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷AB，再由奇函數(shù)的定義判斷CD.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因為函數(shù)定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.5．函數(shù)圖象的對稱軸可以是（

）A．直線 B．直線C．直線 D．直線【正確答案】A【分析】利用誘導公式及二倍角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱軸.【詳解】，令，解得，所以的對稱軸為直線，當時，.故選：A.6．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則，則D．若，，則【正確答案】B【分析】若，，則或，A錯；由線面平行的性質(zhì)可判斷B正確；由面面垂直的性質(zhì)定理判斷C錯；由線面平行的判定定理即可得出D錯.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，過m作平面與，分別交于直線a，b，由線面平行的性質(zhì)得，，所以，又，，所以，又，，所以，所以，故B正確；對于C，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，當時，，否則不成立，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.8，衰減速度為12，且當訓練迭代輪數(shù)為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．36 B．37 C．38 D．39【正確答案】A【分析】由已知求得衰減系數(shù)，然后根據(jù)已知模型列不等式求解．【詳解】由已知，得，所以，則有，即，即，即，因此G至少為36.故選：A.8．已知雙曲線的右頂點為A，左?右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點為M，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】先利用漸近線的斜率求得，再利用余弦定理求得，進而求得，從而得到關于的齊次方程，解之即可得解.【詳解】設雙曲線C的半焦距為，如圖，

由題意可得，直線OM的方程為，有，即有，又，解得，在中，，由余弦定理，得，因此，即有，又，則，，又，于是，所以，即，則，兩邊同時除以，得，即，解得（舍去）或，所以該雙曲線的離心率，故選：B.9．設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【正確答案】A【分析】由結合等差數(shù)列的前n項和公式可知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值為.【詳解】由，得，即，所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.因為，所以，即，則，，所以當且時，；當且時，.因此，有最小值，且最小值為.故選：A.10．安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據(jù)排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有多少種，即可計算得出答案.【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當分為3,1,1人時，有種實習方案，當分為2,2,1人時，有種實習方案，即共有種實習方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有種，故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為，故選：D.11．已知平面上兩定點，則所有滿足且的點的軌跡是一個圓心在直線上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為6的正方體表面上的動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】以為原點建立平面直角坐標系，結合題意可得點在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為4的球.再根據(jù)球的性質(zhì)求解即可.【詳解】在圖1中，以為原點建立平面直角坐標系如圖2所示，設阿氏圓圓心為，半徑為.因為，所以，所以.設圓與交于點.由阿氏圓性質(zhì)，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以點在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為4的球.①當點在面內(nèi)部時，如圖2所示，截面圓與分別交于點，所以點在面內(nèi)的軌跡為.因為在Rt中，，所以，所以，所以點在面內(nèi)部的軌跡長為.②同理，點在面內(nèi)部的軌跡長為.③當點在面內(nèi)部時，如圖3所示，因為平面，所以平面截球所得小圓是以為圓心，以長為半徑的圓，截面圓與分別交于點，且，所以點在面內(nèi)的軌跡為，且.綜上，點的軌跡長度為.

故選：C12．若關于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】題設中的不等式等價于，令，結合導數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結合可得的解，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因為，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當時，.因為存在，使得成立，所以只需且，解得.故選.二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【正確答案】2【分析】先作出可行域，再根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義分析運算.【詳解】作約束條件的可行域，如圖所示.由，解得，令.將目標函數(shù)變形為，表示斜率為2，縱截距為的直線，根據(jù)其幾何意義可得，當直線經(jīng)過點時，其縱截距最小，即當時，目標函數(shù)z取到最大值，則的最大值為2.故2.

14．已知數(shù)列滿足，，若，，則的值為______.【正確答案】或【分析】由等比的定義結合其性質(zhì)得出的值.【詳解】因為，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為q.由，，得，，所以.當時，，則；當時，，則.綜上，的值為或.故或15．已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可得解.【詳解】當時，，，所以當時，當或時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，；當時，，，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，又.作出函數(shù)的函數(shù)圖象如下：

若有且只有三個零點，即與只有三個交點，由圖可知需滿足.故16．已知為拋物線上兩點，以為切點的拋物線的兩條切線交于點，設以為切點的拋物線的切線斜率為，過點的直線斜率為，則以下結論正確的有__________.（填序號）①成等差數(shù)列；②若點的橫坐標為，則；③若點在拋物線的準線上，則是鈍角三角形；④若點在直線上，則直線恒過定點.【正確答案】①②④【分析】利用導數(shù)的幾何意義分別表示出切線和的方程，設，得到為方程的兩根.利用根與系數(shù)的關系判斷出，即可判斷①正確；由直接求出，即可判斷②正確；由判斷出兩切線垂直，即可判斷出③錯誤；求出直線方程：，即可判斷④正確.【詳解】設.由，得，故，所以切線的方程為，即.同理可得，切線的方程為.設點的坐標為，所以，所以為方程的兩根，故，則，所以直線的方程為.因為，所以，所以成等差數(shù)列，故①正確；若，則，故②正確；若點在拋物線的準線上，則，所以，故兩切線垂直，所以為直角三角形，故③錯誤；若點在直線上，則.由直線的方程，得.又，故直線的方程為，即，所以直線恒過定點，故④正確.故①②④三、解答題17．某企業(yè)為了解年廣告費（單位：萬元）對年銷售額（單位：萬元）的影響，統(tǒng)計了近年的年廣告費和年銷售額的數(shù)據(jù)，得到下面的表格：年廣告費2345678年銷售額25415058647889由表中數(shù)據(jù)，變量的相關系數(shù)，可判定變量的線性相關關系較強.(1)建立關于的線性回歸方程；(2)已知該企業(yè)的年利潤與的關系為.根據(jù)（1）的結果，年廣告費約為何值時（小數(shù)點后保留一位），年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.參考數(shù)據(jù).【正確答案】(1)(2)萬元時，年利潤的預報值最大【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)分別求出變量的平均數(shù)，代入回歸直線的斜率和截距公式，可求出線性回歸方程；（2）利用換元法結合二次函數(shù)的性質(zhì)，得出年利潤的預報值最大時的年廣告費．【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)，得，由公式得，，故關于的線性回歸方程為.（2）由（1）得，設，所以，所以，故當時，取最大值，所以萬元時，年利潤的預報值最大.18．如圖，四邊形為菱形，，平面，，．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根據(jù)線面垂直的判定定理先證明平面，再利用面面垂直的判定即可證明平面平面；（2）先根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系，再求出平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角的空間向量求法即可得到答案．【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如圖，設交于點，以為軸，為軸，過點且平行于的方向為軸建立空間直角坐標系，

設，則，，因為，，所以是正三角形，則，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，得，取，得，，即，設平面的法向量為，則，得，取，得，，即，所以，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．19．在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點.(1)當為邊中點時，若，求的長度；(2)當為的平分線時，若，求的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出，再由向量的運算得出的長度；（2）由余弦定理結合基本不等式得出，再由得出，最后由對勾函數(shù)的單調(diào)性得出的最大值.【詳解】（1）解：因為，所以，即.由正弦定理，得.因為，所以.因為，所以.又因為，所以，所以.因為為邊中點，所以，則.又，所以，即，即，所以.（2）在中，由余弦定理，得.又，所以，所以，當且僅當時取等號，所以，所以.因為平分，所以，所以，所以.令，則.因為在上單調(diào)遞增，所以當即時，取得最大值為，所以的最大值為.20．已知點，動點滿足直線與的斜率之積為.記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；(2)設為曲線上的兩動點，直線的斜率為，直線的斜率為，且.①求證：直線恒過一定點；②設的面積為，求的最大值.【正確答案】(1)，曲線為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左?右頂點.(2)①證明見解析；②最大值為.【分析】（1）根據(jù)題目所給條件列出方程化簡即可得解；（2）①設直線的方程為，根據(jù)結合根與系數(shù)的關系化簡，可得即可得證；②根據(jù)三角形面積公式得出面積表達式，利用配方法求最大值即可.【詳解】（1）由題意，得，化簡得，所以曲線為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左?右頂點.（2）如圖，

①證明：設.因為若直線的斜率為0，則點關于軸對稱，必有，不合題意，所以直線的斜率必不為0.設直線的方程為.由得，所以，且因為點是曲線上一點，所以由題意可知，所以，即因為所以，此時，故直線恒過軸上一定點.②由①可得，，所以當且僅當即時等號成立，所以的最大值為.21．已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的值；(2)已知且，求證.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意分析得到是函數(shù)的極小值點，則解得再代入驗證符合題意；（2）由（1）可得，.令得到.令，利用導數(shù)證明出，得到，累加即可證明.【詳解】（1）由，得.令，則.注意到，所以是函數(shù)的極小值點，則，所以，得.當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件，故.（2）由（1）可得，.令，則，所以，即.令，則，且不恒為零，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，令分別取，累加得：.即證.導數(shù)的應用主要有：（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用