2023~2024學(xué)年陜西西安高考數(shù)學(xué)理試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年陜西省西安市高考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（一模）一、單選題1．已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由?fù)數(shù)相等的充要條件得，所以.故選：C.2．已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，用列舉法表示集合A，再結(jié)合韋恩圖列式求解作答.【詳解】依題意，，而陰影部分表示的集合是，又，則，所以.故選：C3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可知充分性不成立；由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定必要性成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則無意義，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，，成立，必要性成立；綜上所述：，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】對(duì)兩邊平方，再根據(jù)向量，為單位向量，可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又向量，為單位向量，所以，所以，即，故向量與向量的夾角為.故選：C.5．在高一入學(xué)時(shí)，某班班委統(tǒng)計(jì)了本班所有同學(xué)中考體育成績(jī)的平均分和方差.后來又轉(zhuǎn)學(xué)來一位同學(xué).若該同學(xué)中考體育的績(jī)恰好等于這個(gè)班級(jí)原來的平均分，則下列說法正確的是（

）A．班級(jí)平均分不變，方差變小 B．班級(jí)平均分不變，方差變大C．班級(jí)平均分改變，方差變小 D．班級(jí)平均分改變，方差變大【正確答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式，求得轉(zhuǎn)來一位同學(xué)后的平均值和方差，比較可得答案.【詳解】設(shè)該班原有n個(gè)學(xué)生，平均分為，方差為，則，故，則轉(zhuǎn)來一位同學(xué)后的平均分為，方差，故選：A.6．已知函數(shù)，則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，計(jì)算及即可判斷作答.【詳解】函數(shù)，，則，顯然，且，AB錯(cuò)誤；，D正確，C錯(cuò)誤.故選：D7．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由定義得到的奇偶性，排除BC，代入特殊點(diǎn)，排除D，得到正確答案.【詳解】的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，排除BC；又，故A正確，D錯(cuò)誤.故選：A8．為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】通過觀察散點(diǎn)圖并結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型得出結(jié)果.【詳解】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.9．已知兩定點(diǎn)，，直線：，在上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【正確答案】B【分析】求出點(diǎn)所在軌跡方程，與直線方程聯(lián)立方程組，方程組解的個(gè)數(shù)就是滿足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】詳解：∵，，∴在以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，由于，，又，因此，橢圓方程為，由，解得,∴點(diǎn)只有一個(gè)．故選：B．10．已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【正確答案】C【分析】取中點(diǎn)，連接，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，則，當(dāng)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)到或處時(shí)，最大，所以,所以的最大值為8.故選：C11．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】要比較的大小只需比較與的大小，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較其大小，要比較的大小，只需比較與的大小，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，又由函?shù)，，可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以，故，所以，因?yàn)?，，故要比較的大小只需比較與的大小，故只需比較與的大小，故考慮構(gòu)造函數(shù)，其中，由求導(dǎo)可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于觀察被比較的數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，確定兩者的結(jié)構(gòu)上的共性，考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定被比較的數(shù)的大小.12．橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓E上，的重心為G.若的內(nèi)切圓H的直徑等于，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意表達(dá)出，利用兩種方法表達(dá)出焦點(diǎn)三角形面積，求出，求出離心率.【詳解】因?yàn)榈闹匦臑镚，設(shè)，，，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)榈膬?nèi)切圓H的直徑等于，所以半徑為，故，從而，根據(jù)橢圓定義得：，其中，又，從而，解得：，所以E的離心率為.故選：D二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則________.【正確答案】．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其在點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；又該切線與直線垂直，所以.故答案為本題主要考查導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.14．已知，則的值是__________．【正確答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡(jiǎn)，在將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?.15．從1，2，3，4，5，6，7中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)條件概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)槭录?，所以，而，所?故16．已知圓，直線（、不同時(shí)為0），當(dāng)、變化時(shí)，圓被直線截得的弦長(zhǎng)的最小值為______.【正確答案】【分析】由題意知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)圓心到直線距離取最大值時(shí)，此時(shí)圓被直線l截得的弦長(zhǎng)為最小值，即可求出答案.【詳解】把直線化為，，恒過定點(diǎn)，當(dāng)圓被直線l截得的弦長(zhǎng)的最小值時(shí)，圓心到定點(diǎn)的距離為，圓心到直線距離最大值時(shí)即為，此時(shí)直線弦長(zhǎng)為最小值.故答案為.三、解答題17．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．【正確答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項(xiàng)公式代入，將展開并項(xiàng)求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，因?yàn)椋?，所以，?shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.（2），.18．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明與平面的法向量垂直即可；(2)利用空間向量求線面角即可.【詳解】（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，所以．又平面，所以平面．?）因?yàn)?，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．19．某體育頻道為了解某地電視觀眾對(duì)卡塔爾世界杯的收看情況，隨機(jī)抽取了該地200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下表是根據(jù)所有調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看世界杯時(shí)間（單位：時(shí)）的頻率分布表：日均收看世界杯時(shí)間（時(shí)）頻率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的時(shí)間高于2.5小時(shí)的觀眾稱為“足球迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)；非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)(2)將樣本的頻率分布當(dāng)作總體的概率分布，現(xiàn)從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取4人，記這4人中的“足球迷”人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）由頻率分布表求出“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率即可得到樣本中“足球迷”的人數(shù)，從而完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）由（1）從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取人，其為“足球迷”的概率，則，求出相應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為，則在抽取的人中，“足球迷”有人，所以列聯(lián)表如下：非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)所以，所以有的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān).（2）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為，所以從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取人，其為“足球迷”的概率，所以，即的可能取值為、、、、，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.20．已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，當(dāng)時(shí)，求證：為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件結(jié)合橢圓的定義和離心率的定義列方程求，由此可得橢圓方程；（2）由已知設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組利用設(shè)而不求法求，由此證明結(jié)論.【詳解】（1）依題意，的周長(zhǎng)為，解得.設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，解得.因?yàn)?，所?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，.易知直線的方程為.由消去得，.設(shè)，，則，.所以，.所以..所以.所以，為定值.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)找最值的方法解決恒成立問題，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價(jià)于恒成立，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立令，問題等價(jià)于恒成立①若時(shí)，恒成立，滿足題意；②若時(shí)，則，所以，不滿足題意；③若時(shí)，因?yàn)?，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價(jià)于，令①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時(shí)，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；所以，使得，不滿足題意．③若時(shí)，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋粍t，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.22．直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，動(dòng)圓C.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為：，過點(diǎn)P的直線l與曲線M交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率.【正確答案】(1)圓心C的軌跡為線段；(2).【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)即可得圓心C的軌跡；（2）將曲線M的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線的傾斜角為，得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線M的直角坐標(biāo)方程，設(shè)，可得，根據(jù)韋達(dá)定理可求的值，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓心，因?yàn)?，所?所以圓心C的軌跡方程為，即圓心C的軌跡為線段.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)直線的傾斜角