2022-2023學(xué)年湖北新高考高一第二學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題帶解析

2022-2023學(xué)年湖北省新高考高一下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則等于（）A. B.C D.【正確答案】C【分析】確定，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，則.故選：C2.已知點(diǎn)在角的終邊上，那么的值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】確定，再根據(jù)二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】點(diǎn)在角的終邊上，則，.故選：A.3.已知直線,其中在平面內(nèi).則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到結(jié)果.【詳解】若，則，無法得到，充分性不成立；若，則垂直于內(nèi)所有直線，可得到，，必要性成立；“，”是“”的必要而不充分條件.故選.本題考查充分條件與必要條件的判定，涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，且，則A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用正弦定理和兩角和的正弦公式可把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，再依據(jù)得到，從而.【詳解】因?yàn)?，故即，故，因?yàn)?，故，所以，又，故，從而，所以，故選B.在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.5.在正方形ABCD中，已知，點(diǎn)P在射線CD上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)最值求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以的取值范圍為.故選：D6.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為自然數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么滿足的點(diǎn)Z的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】C【分析】設(shè)，得到，再依次列舉得到答案.【詳解】設(shè)，，，即，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，或；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：共有個(gè)點(diǎn)滿足條件.故選：C7.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，EF⊥平面PAC，則球O的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，得到兩兩垂直，將三棱錐放入正方體中，計(jì)算外接球半徑，再計(jì)算體積得到答案.【詳解】E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，則，EF⊥平面PAC，則平面，平面，故，，根據(jù)條件可知，，故，所以兩兩垂直，將三棱錐放入正方體中，如圖所示：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以正方體的邊長(zhǎng)為，故外接球半徑，所以球O的體積.故選：D.8.定義：若，則稱是函數(shù)倍伸縮仿周期函數(shù).設(shè)，且是的2倍伸縮仿周期函數(shù).若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A.12 B. C. D.【正確答案】B【分析】確定函數(shù)解析式，得到時(shí)，，考慮和兩種情況，得到不等式，解得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故，故當(dāng)時(shí)，，，，故，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，，即，故，即，即實(shí)數(shù)m的最大值為.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義，不等式恒成立問題，三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用函數(shù)的類周期性質(zhì)確定函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】解方程得到，，代入選項(xiàng)計(jì)算得到答案.【詳解】，則，則，不妨取，，對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知一個(gè)矩形ABCD，用斜二測(cè)畫法得到其直觀圖的周長(zhǎng)為2，設(shè)，，下列說法正確的是（）A.xy的最大值為1 B.的最小值為C.的最大值為2 D.的最大值為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法可得，再有均值不等式及重要不等式判斷ABC，由二次函數(shù)求最值判斷D.【詳解】由斜二測(cè)畫法知，，又的周長(zhǎng)為2，所以，即，對(duì)A，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)C，由可知，，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)D，，其中，即解得，由二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸方程為可知，當(dāng)取對(duì)稱軸時(shí)，的最大值為，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，若函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若函數(shù)為偶函數(shù)，則θ的最小值為【正確答案】CD【分析】根據(jù)圖像確定，得到和的解析式，根據(jù)平移法則得到A正確，代入驗(yàn)證得到B正確，舉反例得到C錯(cuò)誤，計(jì)算最小值為，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】根據(jù)圖像的最大值為，且，故，，故或（舍），，故，即，，對(duì)選項(xiàng)A：，向左平移得到，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：為偶函數(shù)，則，，解得，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，錯(cuò)誤.故選：CD.12.如圖，在等腰梯形ABCD中，.將△ACD沿著AC翻折，使得點(diǎn)D到點(diǎn)P，且.下列結(jié)論正確的是（）A.平面APC⊥平面ABCB.二面角的大小為C.三棱錐的外接球的表面積為5πD.點(diǎn)C到平面APB的距離為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理判斷A，利用二面角平面角的定義，作出二面角的平面角并證明，計(jì)算正切值即可判斷B，根據(jù)球的性質(zhì)確定圓心位置，再由勾股定理及球的面積公式求解判斷C，利用等體積法求出點(diǎn)到面的距離判斷D.【詳解】△ABC中，，，，由余弦定理可得，∴，∴.∵，，平面APC，∴BC⊥平面APC，∵BC?平面ABC，∴平面APC⊥平面ABC，故A對(duì)；取AC的中點(diǎn)E點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，如圖，∵，∴，∵平面APC⊥平面ABC，平面APC∩平面，平面APC，∴PE⊥平面ABC，又平面ABC，，又∵，平面PEF，平面PEF，而平面PEF，，∴∠PFE是二面角的平面角，在Rt△PFE中，，故B錯(cuò)；在Rt△ABC中，取AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)作PE的平行直線，如圖，由平面ABC可知平面ABC，又為底面的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心O在這條直線上，設(shè)外接球O的半徑為R，過作交于，易知四邊形為矩形，則在與中，，，，解得，故外接球O的表面積為，故C對(duì)；由PE⊥平面ABC，.在△PAB中，，由余弦定理得∴，設(shè)點(diǎn)C到平面APB的距離為d，由可得，故D對(duì).故選：ACD三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，且，則非零向量的坐標(biāo)為______.【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)模長(zhǎng)得到，根據(jù)平行得到，解得答案.【詳解】設(shè)，，則，，，則，解得或（舍），即.故答案為.14.在《九章算術(shù)》中，塹堵指底而為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，則當(dāng)塹堵的體積最大時(shí)，陽(yáng)馬的體積為______.【正確答案】##【分析】確定，根據(jù)均值不等式得到，考慮取等條件，再計(jì)算體積得到答案.【詳解】，則，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，故時(shí)，塹堵的體積最大為，此時(shí)陽(yáng)馬的體積為.故答案為.15.在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，則的余弦值為______.【正確答案】分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算，確定，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，中，.故答案為.16.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié).這一天民間有吃粽子的習(xí)俗，據(jù)說是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛國(guó)詩(shī)人屈原.粽子的形狀有多種.今有某種粽子類似于由一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)（如圖）而成.如果粽子的餡可以看成是這個(gè)幾何體內(nèi)的一個(gè)球狀物，則粽子餡的最大體積為______.【正確答案】【分析】是的中點(diǎn)，連接，，確定球心在平面內(nèi)，設(shè)為，設(shè)球半徑為，四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為，根據(jù)等面積法得到，再計(jì)算體積得到答案.【詳解】如圖所示：是的中點(diǎn)，連接，，，，則，，根據(jù)對(duì)稱性，球心在平面內(nèi)，設(shè)，設(shè)球半徑為，當(dāng)球體積最大時(shí)，球與平面，平面，平面和直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，平面與直線交于點(diǎn)，則四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為，中，，，根據(jù)等面積法：，解得，球的體積.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為，再根據(jù)等面積法確定半徑是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，其中，，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍【正確答案】（1）（2）【分析】（1）確定，，根據(jù)垂直得到，計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)夾角為銳角得到，再排除共線的情況得到答案.【小問1詳解】，，，，，則，解得.【小問2詳解】與的夾角為銳角，則，即.當(dāng)和共線時(shí)，，，此時(shí)向量夾角為，不滿足，綜上所述.18.如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，，（1）證明：EA∥平面BCF；（2）證明：平面EAC⊥平面FAC.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）由線面平行證明面面平行，再由面面平行的性質(zhì)證明線面平行即可；（2）作出二面角的平面角，利用勾股定理證明二面角的平面角為直角，即可得面面垂直.【小問1詳解】在正方形ABCD中，，又由AD?平面ADE，BC平面ADE，故BC//平面ADE.∵，同理可證FB//平面ADE，又∵，BC，BF?平面BCF，∴平面ADE//平面BCF，又∵EA?平面ADE，∴平面BCF【小問2詳解】如圖，連接BD交AC于O，連接OE,OF.設(shè)，則由ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，又，且，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，又OE，OF?平面BDEF，所以，所以∠EOF是二面角的平面角，在三角形EOF中，，所以，所以，二面角是直二面角，即證平面EAC⊥平面FAC.19.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，且.∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E.（1）求角C；（2）求△ABE的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二倍角正弦公式及正弦定理求解；（2）利用及面積公式，化簡(jiǎn)求出.【小問1詳解】∵，，，∵【小問2詳解】∵，如圖，又，，即，，.20.如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，底面ABCD，，（1）求證：（2）線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得平面PAD⊥平面PDE？若存在，求直線PE與平面PAD所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）存在，【分析】（1）連接，確定，，得到平面，得到線線垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，計(jì)算平面和平面的法向量，根據(jù)向量垂直確定，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問1詳解】如圖所示，連接，設(shè)，則，為等腰直角三角形，，又，，故，所以，故，又平面，平面，故，，平面，故平面，平面，故.【小問2詳解】方法一：空間向量法如圖，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，，假設(shè)存在，設(shè)，，即，所以則點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)和分別為平面和平面的法向量.，，，即，令，得，，；，，，即，令，得，，，平面平面，故，即，解得，故，，設(shè)直線與平面夾角為，則，綜上所述：線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，直線與平面所成角的正弦值為.方法二：幾何法假設(shè)存在，如圖，作，垂足為，連接，作，垂足為，，，，平面，故平面，平面，故，又，平面，平面，平面平面，故為二面角的平面角，，，，故，在直角三角形中，，，直角三角形中，，，，，作，垂足為，，故，設(shè)，又，，由余弦定理：，又，故，，，，，平面，故平面，平面，故，故.，，故，解得.故，，，平面平面，平面，平面平面，故平面，設(shè)直線與平面夾角為，則，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，直線與平面所成角的正弦值為21.已知（1）若，求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，確定，化簡(jiǎn)得到，計(jì)算得到答案.（2）取得，設(shè)，確定，令，在有兩個(gè)零點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，若，即，.【小問2詳解】，設(shè)，則，，故，，故，原方程變?yōu)椋?，令，，原方程?個(gè)零點(diǎn)，而方程在至多兩個(gè)根，故，且在有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即22.函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).（1）若函數(shù)的對(duì)稱中心為，求函數(shù)的解析式.（2）由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述