2023~2024學(xué)年山東日照高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年山東省日照市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】先求集合，再應(yīng)用交集運(yùn)算即可.【詳解】由題意得，，，∴，故選：A.2．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法公式和復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】知，則，故選：D.3．已知向量，，，若，則（

）A． B．3 C． D．5【正確答案】B【分析】先求出的坐標(biāo)，再利用列方程求.【詳解】由已知得，，且，，解得.故選：B.4．已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若“直線平面”成立，設(shè)，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直線平面，可推出平面或平面，所以“直線平面”不一定成立.綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件.故選：A.5．用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個(gè)圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點(diǎn)的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點(diǎn)，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．米 B．米 C．米 D．米【正確答案】A【分析】先求出圓錐的母線長，再求出圓錐的底面半徑，連接,,，進(jìn)而在中求，最后利用弧長公式求得彩虹長度.【詳解】在中，由勾股定理，可得：，連接PO，則在中，，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長度約為.故選：A6．函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)圖像平移得函數(shù)的解析式，由函數(shù)是偶函數(shù)，解出，可得.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．7．已知數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】變換得到，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，計(jì)算得到答案.【詳解】，，易知，故，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，故.故選：C.8．若，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，故，因?yàn)?，又因?yàn)?，故，從而有，綜上所述.故選：B.二、多選題9．已知，則（

）A． B．C． D．【正確答案】AD【分析】令即可判斷A；令再由選項(xiàng)A即可判斷C；由通項(xiàng)公式即可判斷B；令，再由選項(xiàng)C即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，令得，故A正確；由的展開式的通項(xiàng)公式，得，故B錯(cuò)誤；令，得①，再由，得，故錯(cuò)誤；令，得②，①-②再除以2得，故D正確.故選：AD10．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B．為的一個(gè)周期C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用周期函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)B；利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性判斷選項(xiàng)C；利用函數(shù)零點(diǎn)的定義和圖象判斷選項(xiàng)D.【詳解】依題意，，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；，故為函數(shù)的一個(gè)周期，故也為函數(shù)的一個(gè)周期，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合周期性，可知C正確；作出函數(shù)，的大致圖象如下所示，結(jié)合周期觀察可知，函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選:BCD.11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是C．若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若存在，使得成立，則【正確答案】ABD【分析】由，可判斷A，解出不等式可判斷B，當(dāng)時(shí)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，即可判斷C，根據(jù)條件可得當(dāng)時(shí)，然后可得，然后可得，判斷出數(shù)列的單調(diào)性可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，即，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，依次，當(dāng)時(shí)，即作出函數(shù)圖象

對(duì)于A，代入，故正確；對(duì)于B，對(duì)任意，都有，，，解得，對(duì)任意，都有，則的取值范圍是，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D.最大值存在，使得成立，的最大值，，則增，減，，即，正確.故選：ABD12．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【正確答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和切線長定理結(jié)合幾何關(guān)系和對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可求解，【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設(shè)圓與軸切點(diǎn)為過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標(biāo)為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標(biāo)均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項(xiàng)A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項(xiàng)C正確；

由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.值域?yàn)楣实闹涤驗(yàn)?選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為________.【正確答案】5【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線為，，再計(jì)算距離即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，則，故，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，為.故14．設(shè)且，則的最小值為_________．【正確答案】【分析】由已知條件可知，且，再展開，并利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得最小值．故答案為.15．已知數(shù)列中，，，是，的等差中項(xiàng)，是其前n項(xiàng)和，若數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，則___________.【正確答案】5248【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，，故，而，所以,且，故是首項(xiàng)為12，公差為9的等差數(shù)列，則.故524816．祖暅，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.請(qǐng)同學(xué)們借助圖1運(yùn)用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為_________.

【正確答案】【分析】根據(jù)條件和圖1可得半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺(tái)體積，然后在圖2中運(yùn)用此原理可求得答案.【詳解】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設(shè)半球中陰影截面圓的半徑，球體半徑為，則，截面圓面；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)面積，所以，又高度相等，所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺(tái)體積.

如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺(tái)體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，根據(jù)祖暅原理，，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺(tái)體積為，，故答案為.四、解答題17．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角A；(2)若的周長為，且外接圓的半徑為1，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及三角形的性質(zhì)即可求角；（2）利用正弦定理求出邊長a，然后再根據(jù)周長和余弦定理列式解出bc，從而求解面積.【詳解】（1）∵，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所?（2）設(shè)外接圓的半徑為，則，由正弦定理得，因?yàn)榈闹荛L為，所以，由余弦定理得，即，所以，所以的面積.18．已知數(shù)列滿足.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列中的第10項(xiàng)；(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】(1)(2)存在，，證明見解析【分析】(1)根據(jù)隔項(xiàng)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解；(2)根據(jù)是等比數(shù)列的必要條件解出，再根據(jù)證明充分性即可.【詳解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，由得，由，得，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，即，下面證明時(shí)數(shù)列是等比數(shù)列，由（1）知數(shù)列和都是公比是的等比數(shù)列，所以，；所以為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，所以對(duì)一切正整數(shù)，都有，所以，所以存在正數(shù)使得數(shù)列是等比數(shù)列.19．如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面是正方形，且平面平面.

(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)線面角的定義，建立坐標(biāo)系后利用法向量求二面角即可.【詳解】（1）

設(shè)，則中點(diǎn)為，且,∵平面平面且交線為平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，面，面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，,以為原點(diǎn)，分別為軸正向建立坐標(biāo)系，,則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，又因?yàn)槠矫嬖O(shè)平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴，∵為銳角，∴..

20．某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8.(1)計(jì)算王同學(xué)第二天去餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，種中式點(diǎn)心，王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇3種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為，求的最大值，并求此時(shí)的值.【正確答案】(1)0.7(2)或10時(shí)，有最大值為【分析】（1）根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即可；（2）利用超幾何分布表示出，列出不等式即可求最大值.【詳解】（1）設(shè)“第一天去餐廳用餐”，“第一天去餐廳用餐”，“第二天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，由全概率公式，得：，所以，王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為0.7.（2）由題意，的可能取值有：0，1，2，3，由超幾何分布可知，令，若最大，則，即，解得，又∵，所以，易知當(dāng)和時(shí)，的值相等，所以當(dāng)或10時(shí)，有最大值為，即當(dāng)?shù)闹禐?或10時(shí)，使得最大.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn).(1)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，求取值范圍；(2)設(shè)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）易知，設(shè)，有，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解；（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立求解；（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，則，結(jié)合韋達(dá)定理線求得，再由BD的中垂線，由斜率關(guān)系得到求解.【詳解】（1）在橢圓中，，設(shè)，則有，即，于是，顯然，所以的取值范圍是.（2）①顯然直線不垂直于軸，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去得：，于是得，點(diǎn)，直線的方程為，（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得：，則，即，，可得因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則，有，而，于是，

即，整理得，從而，化為，解得，又線段的中垂線過點(diǎn)及點(diǎn)，因此，即，解得，而當(dāng)時(shí)，成立，即，因此直線的方程為.22．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于證，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，