2023~2024學(xué)年廣東廣州高考數(shù)學(xué)押題試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（二模）一、單選題1．設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）

A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)求集合A，解一元二次方程求集合B，根據(jù)韋恩圖、集合的并、補(bǔ)運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)得，則，由圖知：陰影部分為.故選：D2．.已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是A．(1,) B．(1,) C．(1,3) D．(1,5)【正確答案】B【分析】求出復(fù)數(shù)的模，再根據(jù)的范圍即可得出答案.【詳解】解：，而，即，.故選：B.3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進(jìn)行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三（1）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對(duì)題目的方差為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差的公式運(yùn)算求解.【詳解】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數(shù)為，高三（2）班抽取的人數(shù)為，設(shè)高三（1）班（6人）答對(duì)題目數(shù)依次為，高三（2）班（4人）答對(duì)題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對(duì)題目的平均數(shù)，這10人答對(duì)題目的方差.故選：D.4．已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求在上的投影向量.【詳解】在上的投影向量為，，所以，在上的投影向量為.故選：B5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，是函數(shù)的極值點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．或 B． C． D．2【正確答案】C【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而由等比以及等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求和公式即可求解.【詳解】由得，由題意可知是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以又，所以，因此，故選：C6．函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【正確答案】A【分析】由圖象分析函數(shù)奇偶性，特殊位置，及函數(shù)定義域即可.【詳解】由圖象觀察可得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以得：，故C錯(cuò)誤；由圖象可知，故D錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域不連續(xù)，所以有兩個(gè)根可得，即異號(hào)，，即B錯(cuò)誤，A正確.故選：A7．如圖圓柱的底面半徑為1，母線長為6，以上下底面為大圓的半球在圓柱內(nèi)部，現(xiàn)用一垂直于軸截面的平面去截圓柱，且與上下兩半球相切，求截得的圓錐曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3【正確答案】A【分析】根據(jù)題意作出截面圖，分析出平面與底面夾角余弦值為，再利用立體圖形得到，，再計(jì)算出值得到離心率.【詳解】作出截面圖，顯然平面經(jīng)過中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，切點(diǎn)分別為，，半徑為1，，則，，，則，作出以下立體圖，則平面與底面夾角余弦值為，圓柱的底面半徑為橢圓的短軸,得，又橢圓所在平面與圓柱底面所成角余弦值為,以為原點(diǎn)建立上圖所示平面直角坐標(biāo)系，，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，故離心率,故選：A.8．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】由題意，，又，即；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，，又，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，；故選：D.二、多選題9．下圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)頻率分布直方圖（單位：輛），則（

）．A．a(chǎn)的值為0.004B．估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷量的平均數(shù)為135C．估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷量的分位數(shù)為212.5D．若按分層抽樣原則從這100家銷售商抽取20家，則銷量在內(nèi)的銷售商應(yīng)抽取5家【正確答案】ACD【分析】A.根據(jù)頻率和為1，計(jì)算的值；B.根據(jù)平均數(shù)公式，判斷B；C.根據(jù)百分位數(shù)公式，判斷C；計(jì)算銷量在內(nèi)的頻率，再結(jié)合分層抽樣，即可判斷D.【詳解】A.由頻率分布直方圖可知，，得：，故A正確；B.，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)百分位數(shù)，易得，則，解得：，故C正確；D.則銷量在的頻率為所以抽取的20家，則銷量在內(nèi)的銷售商為家，故D正確.故選：ACD10．已知事件A，B，且，則（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果A與B相互獨(dú)立，那么D．如果A與B相互獨(dú)立，那么【正確答案】ABD【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運(yùn)算有、，由事件的相互獨(dú)立知，結(jié)合事件的運(yùn)算求、【詳解】A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨(dú)立，則，，錯(cuò)誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.11．若函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的一條對(duì)稱軸為B．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為C．函數(shù)的最小正周期為D．若函數(shù)，則的最大值為2【正確答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角關(guān)系和二倍角的正、余弦公式化簡可得，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，.A：當(dāng)時(shí)，，又，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A正確；B：由選項(xiàng)A分析可知，所以點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：由，知函數(shù)的最小正周期為，故C正確；D：，所以，故D正確.故選：ACD．12．如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，EP//平面 B．當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為C．的最小值為 D．當(dāng)平面CEP時(shí)，【正確答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷BC；確定直線與平面CEP交點(diǎn)的位置判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點(diǎn)，對(duì)于A，，，，而，顯然，即是平面的一個(gè)法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，B正確；對(duì)于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面CEP時(shí)，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.三、填空題13．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______.【正確答案】220【分析】根據(jù)給定條件，分析展開式中項(xiàng)出現(xiàn)的情況，再列式計(jì)算作答.【詳解】的展開式通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開式中的最高指數(shù)小于12，而的指數(shù)小于等于，因此中的指數(shù)是負(fù)整數(shù)，要得到項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)是展開式中項(xiàng)的系數(shù).故22014．有個(gè)身高均不相等的學(xué)生排成一排合影，最高的人站在中間，從中間到左邊和從中間到右邊的身高都遞減，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】根據(jù)排隊(duì)問題中的順序固定問題只選不排，以及分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算求解即可．【詳解】最高的學(xué)生站在中間，有種排法，再從其余四個(gè)同學(xué)中任意選取兩個(gè)，站在最高同學(xué)的左邊，由于身高從中間到左邊遞減，所以共有種不同排法，最后兩名同學(xué)站在最高同學(xué)的右邊，按身高從中間到右邊遞減，共有種排法，則個(gè)身高均不相等的學(xué)生排成一排合影，不同的排法有種，故15．已知，是三角形的內(nèi)角，則__________．【正確答案】【詳解】由題設(shè)可得，而，所以，則，應(yīng)填答案．四、雙空題16．在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，A，B為雙曲線虛軸的上?下端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，面積的最大值為4.點(diǎn)M，N在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，Q是雙曲線上一點(diǎn)，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是______________；過的直線與雙曲線右支交于C，D兩點(diǎn)(其中C點(diǎn)在第一象限)，設(shè)點(diǎn)?分別為?的內(nèi)心，則的范圍是____________.【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)，求得，結(jié)合的最大面積得到，再根據(jù)，得出，設(shè)邊上的切點(diǎn)分別為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，得到軸，設(shè)直線的傾斜角為，在中，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意知，可得，即，整理得，可得圓心為，半徑，所以的最大面積為，解得，即，設(shè)，則，則，可得，同理則，則，整理得，所以雙曲線的方程為.如圖所示，設(shè)邊上的切點(diǎn)分別為，則橫坐標(biāo)相等，則，由，即，即，即，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，于是，可得，同樣內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，由雙曲線的方程，可得，則，可得，又由直線為雙曲線右支上的點(diǎn)，且漸近線的斜率為，傾斜角為，可得，即，可得的取值范圍是.故；.解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.五、解答題17．已知數(shù)列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為，并添加后繼數(shù)2作為；再復(fù)制所有項(xiàng)1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數(shù)3作為，…依次繼續(xù)下去.記表示數(shù)列中首次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)題意，先求出前項(xiàng)中每個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意知：，即，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）可知，，所以在前項(xiàng)中出現(xiàn)1次，5在前項(xiàng)中出現(xiàn)2次，4在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，3在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，2在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，1在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，所以.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知為鈍角，.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結(jié)合角的范圍可得，又，即可求得；（2），令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得：，由于，可知，即，因?yàn)闉殁g角，則為銳角，即，則，則.由，得.（2）.因?yàn)闉殇J角，所以，即，則，設(shè)，則，.因?yàn)?，則，從而.由此可知，的取值范圍是.19．四棱錐中，，，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求四棱錐的體積．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，從而推出，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，確定平面的法向量，求得平面的法向量，根據(jù)面面角的向量求法可求得的長，根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案.【詳解】（1）依題意，在中，，由余弦定理可得,則，∴，∵，∴，又平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面,故平面；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由（1）可知，平面,故平面，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，且，，則，取，所以，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角的余弦值為，所以，解得，所以四棱錐的體積為20．隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動(dòng)下，中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實(shí)現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強(qiáng)國．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，改進(jìn)并生產(chǎn)純電動(dòng)車、插電混合式電動(dòng)車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤y（單位，百萬元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．月份123456收入（百萬元）6.88.616.119.628.140.0(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為利潤關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于的回歸方程；(3)該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術(shù)研究中心進(jìn)行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗(yàn)項(xiàng)目，其中在實(shí)驗(yàn)場進(jìn)行了一項(xiàng)甲、乙、丙三車同時(shí)去碰撞實(shí)驗(yàn)車的多車碰撞實(shí)驗(yàn)，測得實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.188，并且當(dāng)只有一車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.1，當(dāng)有兩車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.2，由于各種因素，實(shí)驗(yàn)中甲乙丙三車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當(dāng)三車同時(shí)碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生時(shí)實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率．參考數(shù)據(jù)：19.872.8017.50113.756.30其中，設(shè)，．參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【正確答案】(1)選用作為利潤關(guān)于月份的回歸方程更合適(2)(3)【分析】（1）由散點(diǎn)的分布在一條曲線附近，即可選擇非線性的.（2）由對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合最小二乘法即可求解，（3）由概率的乘法公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】（1）散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為利潤關(guān)于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對(duì)數(shù)可得，設(shè)，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設(shè)事件為“實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢”，事件為“只有一車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，事件為“恰有兩車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，事件為“三車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當(dāng)三車同時(shí)碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生時(shí)實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.5．21．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過上一點(diǎn)作曲線的兩條切線，為切點(diǎn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)．記，，的面積分別為、、．（?。┳C明：四邊形為平行四邊形；（ⅱ）求的值．【正確答案】(1)(2)（?。┳C明見解析（ⅱ）1【分析】（1）設(shè)出圓心，利用條件建立方程，再化簡即可得出結(jié)果；（2）（ⅰ）設(shè)出兩條切線方程，從而求出的坐標(biāo)，再利用向量的加法法則即可得出證明；（ⅱ）利用（ⅰ）中條件，找出邊角間的關(guān)系，再利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，由題意得：，化簡整理得：，所以曲線的方程為：．（2）（?。┰O(shè)，，因?yàn)?，所以，∴直線PA的方程為：，即，令，得到，同理可得直線PB的方程為：，令，得到，∴，，聯(lián)立，消解得，所以，

又，∴，所以四邊形FNPM為平行四邊形；