2023~2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)考前押題沖刺測(cè)評(píng)卷1新高考專用帶解析

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)考前押題沖刺測(cè)評(píng)卷（新高考專用）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中的系數(shù)是（

）A．9 B．-9 C．10 D．-104．已知向量和，在上的投影為正數(shù)，p：，q：或，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB．若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍6．已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在上有3個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知a，，，，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．平面B．C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°D．異面直線MN與所成的角為45°二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或10．從某校男生中隨機(jī)抽取100人測(cè)量他們的身高，發(fā)現(xiàn)他們的身高都在之間，將統(tǒng)計(jì)得到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組均為左閉右開區(qū)間）（

）A．已知該校一共有1500名男生，該校身高在內(nèi)的男生人數(shù)約為450人B．該校男生身高的分位數(shù)約為178.3（結(jié)果精確到0.1）C．將身高不低于的男生稱為“高個(gè)子”，低于的男生稱為“非高個(gè)子"．已知在原始數(shù)據(jù)中，高個(gè)子男生的身高的平均數(shù)為177，方差為10，所有這100名男生的身高的平均數(shù)為168，方差為64，則非高個(gè)子男生的身高的方差為10D．據(jù)此估計(jì)該校男生的平均身高一定是168.611．已知雙曲線：，的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．若，且軸，則的方程為B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為C．若點(diǎn)在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為D．若，則的離心率的取值范圍是12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn) D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若為虛數(shù)單位，則計(jì)算___________．14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則______.15．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為__________.16．乒乓球被稱為我國(guó)的“國(guó)球”.甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨(dú)立的.①若比賽為五局三勝制，則需比賽五局才結(jié)束的概率為__________.②若兩人約定其中一人比另一人多贏兩局時(shí)比賽結(jié)束，則需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為__________.附：當(dāng)時(shí)，，.解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)設(shè)，D為邊BC上一點(diǎn)，且，求AD．參考數(shù)據(jù)：，．19．某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán)．為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門．已知這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．21．在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若點(diǎn)P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點(diǎn)，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.22．已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【正確答案】C【詳解】根據(jù)條件分別令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故選：C．2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】A【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，則，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.3．的展開式中的系數(shù)是（

）A．9 B．-9 C．10 D．-10【正確答案】B【詳解】由于，所以的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)和的系數(shù)和，的展開式中第項(xiàng)為，分別令和，得到的展開式中的系數(shù)和的系數(shù)，因此的展開式中的系數(shù)是.故選：B.4．已知向量和，在上的投影為正數(shù)，p：，q：或，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【詳解】若，則，即，得或，又因?yàn)樵谏系耐队笆钦龜?shù)，所以，所以，即成立，但不成立，所以p是q的充分不必要條件，故選：A．5．隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB．若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【正確答案】C【詳解】設(shè)是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，則，，，則，即，從而，即傳輸距離增加了約3倍，故選：C．6．已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在上有3個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)椋?，又因?yàn)?當(dāng)時(shí),在上有3個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有3個(gè)極值點(diǎn)，的圖象如圖所示：由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得:,解得:.故選:C.7．已知a，，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】由,兩邊取對(duì)數(shù)，可得>0(因?yàn)?,所以a，所以.因?yàn)?，所?取,即,即,代入得,得,,滿足題意.此時(shí)D成立，C不成立，故排除C;取,,即,代入得與解得,滿足,滿足題意.滿足題意.此時(shí)C成立，D不成立，故排除D;當(dāng)時(shí)，,由等價(jià)于,由,可知成立，所以故A成立，B不成立，故排除B.故選：A.8．如圖，在正方體中，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．平面B．C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°D．異面直線MN與所成的角為45°【正確答案】C【詳解】在正方體中，取棱中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N分別為AC，的中點(diǎn)，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因?yàn)槠矫妫瑒t，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則是異面直線MN與所成的角，顯然，D正確.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以，A正確因?yàn)椋?，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋O(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．10．從某校男生中隨機(jī)抽取100人測(cè)量他們的身高，發(fā)現(xiàn)他們的身高都在之間，將統(tǒng)計(jì)得到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組均為左閉右開區(qū)間）（

）A．已知該校一共有1500名男生，該校身高在內(nèi)的男生人數(shù)約為450人B．該校男生身高的分位數(shù)約為178.3（結(jié)果精確到0.1）C．將身高不低于的男生稱為“高個(gè)子”，低于的男生稱為“非高個(gè)子"．已知在原始數(shù)據(jù)中，高個(gè)子男生的身高的平均數(shù)為177，方差為10，所有這100名男生的身高的平均數(shù)為168，方差為64，則非高個(gè)子男生的身高的方差為10D．據(jù)此估計(jì)該校男生的平均身高一定是168.6【正確答案】ABC【詳解】由頻率分布直方圖可知，得．故估計(jì)該校1500名男生中身高在［165，170）內(nèi)的人數(shù)為，故A正確；前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，所以90%分位數(shù)位于區(qū)間［175，180）內(nèi)，故估計(jì)該校男生身高的90%分位數(shù)為，故B正確；由頻率分布直方圖可知，樣本中高個(gè)子男生有40人，非高個(gè)子男生有60人．將高個(gè)子男生的身高數(shù)據(jù)記為x1，x2，…，，其平均數(shù)記為，方差記為；將非高個(gè)子男生的身高數(shù)據(jù)記為，，…，，其平均數(shù)記為，方差記為；把全部樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．則，，，．由已知可得，即，得，．所以，解得，故C正確；根據(jù)直方圖可知據(jù)此估計(jì)該校男生的平均身高約為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．已知雙曲線：，的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．若，且軸，則的方程為B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為C．若點(diǎn)在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為D．若，則的離心率的取值范圍是【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，若，且軸，則，，所以，則，所以，則的方程為，故A正確；對(duì)于B，若的一條漸近線方程是，則，離心率，故B不正確；對(duì)于C，若的離心率為，則，所以，若點(diǎn)在的右支上，為等腰三角形，則，連接，如圖，則是直角三角形，所以，故C不正確；對(duì)于D，若，由正弦定理得，可知點(diǎn)在雙曲線的左支上，故，則，又，所以，整理得，解得，所以的離心率的取值范圍是，故D正確.故選：AD.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn) D．【正確答案】AB【詳解】由，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且，由，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且，所以，故，則，故函數(shù)的周期為8，當(dāng)時(shí)，則，，根據(jù)周期和對(duì)稱性知：值域?yàn)?，由函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于對(duì)稱，周期為8，為向左平移1個(gè)單位得到，是偶函數(shù)，故A正確：為向左平移3個(gè)單位得到，是奇函數(shù)，故B正確；由在上遞減，且，；在上遞增，且，，結(jié)合圖象：看出和的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，即有10個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：由，，，，，，，，則，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若為虛數(shù)單位，則計(jì)算___________．【正確答案】【詳解】設(shè)，，上面兩式相減可得，，則．故．14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則______.【正確答案】【詳解】由題可知，所以.故15．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為__________.【正確答案】【詳解】過C作面于H，則三棱錐的體積為，所以，取AD中點(diǎn)M，連接CM，MH，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以AB，AD為軸，垂直于AB，AD方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)球心，在面的投影為，由得，所以N為的外接圓圓心，所以N為斜邊的中點(diǎn)，故設(shè)由得，解得，所以，故外接球的表面積為，故16．乒乓球被稱為我國(guó)的“國(guó)球”.甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨(dú)立的.①若比賽為五局三勝制，則需比賽五局才結(jié)束的概率為__________.②若兩人約定其中一人比另一人多贏兩局時(shí)比賽結(jié)束，則需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為__________.附：當(dāng)時(shí)，，.【正確答案】

##0.【詳解】①需比賽五局才結(jié)束，則說明前四局雙方為，概率為.②假設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，由已知，需比賽局?jǐn)?shù)為偶數(shù)，則可取.則，當(dāng)時(shí)，雙方前局戰(zhàn)為平局，且任意前（，且）局雙方均戰(zhàn)為平局，則，顯然，滿足該式.設(shè)，則有，所以，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.設(shè)，則.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，，作差可得，，整理可得，.由題意可得，，.則.故；.解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題意可得：，整理得，則可得或，故或.（2）∵，由（1）可得，則，故所以.18．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)設(shè)，D為邊BC上一點(diǎn)，且，求AD．參考數(shù)據(jù)：，．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由正弦定理得，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以；?）法一：由題意，得，結(jié)合，，解得，在中，由正弦定理得，則，，從而．法二：由題意，得，又，所以，在中，由正弦定理，得，則，在中，由正弦定理得，則，由，得，解得．19．某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán)．為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門．已知這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯(lián)表見詳解，能(2)分布列見詳解，【詳解】（1）列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200則，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)．（2）依題意得3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，，，，，所以的分布列如下：0123所以的數(shù)學(xué)期望為．20．已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）依題意，，解得（負(fù)數(shù)舍去）.（2）的直線經(jīng)過，則直線方程為：；，則橢圓的方程為.設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，消去得到，解得，則，故，于是.依題意知，為橢圓的下頂點(diǎn)，即，由點(diǎn)到直線的距離，到的距離為.故（3）設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，得到，由，得到直線方程為：，令，