2023~2024學(xué)年福建福鼎高考數(shù)學(xué)押題試題6月帶解析

2023-2024學(xué)年福建省福鼎市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（6月）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】先求出集合，再按照集合間的基本關(guān)系和運(yùn)算判斷即可.【詳解】，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.2．已知（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法公式，即可求解.【詳解】又條件可知.故選：A3．已知一種放射性元素最初的質(zhì)量是500g，按每年10%衰減，則可求得這種元素的半衰期（質(zhì)量變到原有質(zhì)量一半所需的時(shí)間）為（

）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，結(jié)果精確到0.1）A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年【正確答案】D【分析】按每年10%衰減，得出每年剩余90%，列出方程，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果.【詳解】最初的質(zhì)量是500g，經(jīng)過(guò)一年后，質(zhì)量變?yōu)?，?jīng)過(guò)2年后，質(zhì)量變?yōu)?，?jīng)過(guò)t年后，質(zhì)量變?yōu)?，令，則，則，.則這種元素的半衰期年.故選：D.4．“不等式在R上恒成立”的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)二次不等式恒成立求出充要條件，再由充分條件，必要條件的概念求出選項(xiàng).【詳解】不等式在R上恒成立，即，因?yàn)?，但不能推出成立，故是不等式在R上恒成立的充分不必要條件，故選：A5．已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（

）．A． B． C． D．【正確答案】C【分析】求出球心到底面ABC的距離和球的半徑，從而確定三棱錐的高的最大值為3，利用椎體體積公式求出體積的最大值.【詳解】球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．6．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.若的平均數(shù)與方差相等，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，，則.因?yàn)椋?，解?令設(shè)，則，從而，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選：A.7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且在拋物線上，則當(dāng)取最大值時(shí)，直線方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，如圖：當(dāng)最大時(shí)，取最大值，此時(shí)與拋物線相切.∵拋物線的焦點(diǎn)，∴，設(shè)切線方程為，則，∴，由解得，，∵點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，∴，直線方程為.故選：C.8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若與的圖象交于點(diǎn)、、、，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】分析可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，作出圖形，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，且，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.且直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由圖可知，直線與曲線有個(gè)不同的公共點(diǎn)，故，，因此，.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性，利用圖象并結(jié)合對(duì)稱(chēng)性來(lái)處理.二、多選題9．已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．的一個(gè)周期是B．是偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值大于【正確答案】BC【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用和的值可判斷B選項(xiàng)的正誤；化簡(jiǎn)函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)的正誤；由的值可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的一個(gè)周期為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，，所以，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，則，所以，函數(shù)在是常函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：BC.10．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線垂直B．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等C．直線與平面平行D．與的夾角為【正確答案】ABC【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則且，對(duì)于A，，所以，所以直線與直線垂直，故A正確；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令得，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樗裕?，又平面，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以與的夾角余弦值為，夾角大小不為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，對(duì)兩邊同除以進(jìn)行判斷，對(duì)于B，利用基本不等式分析判斷，對(duì)于C，由可得，產(chǎn)生矛盾，對(duì)于D，由已知可得，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求解【詳解】對(duì)于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，即，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確，對(duì)于C，若，則，所以，所以，而由選項(xiàng)B可知，所以不成立，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以D正確，故選：BD12．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”，B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”，C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．C．事件A與C相互獨(dú)立 D．【正確答案】BD【分析】由古典概率公式計(jì)算出，然后由相互獨(dú)立事件的定義判斷AC，由條件概率公式計(jì)算條件概率判斷BD．【詳解】因?yàn)?名醫(yī)生派去三個(gè)村莊，基本事件的總數(shù)為，它們是等可能的基本事件，事件含有的基本事件個(gè)數(shù)為，所以，同理，事件含有的基本事件的個(gè)數(shù)為，，事件含有的基本事件的個(gè)數(shù)為，，，事件A與B不相互獨(dú)立,A錯(cuò)誤；，事件A與C不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；，B正確；，D正確．故選：BD．三、填空題13．若向量滿足，，，則與的夾角為_(kāi)______.【正確答案】/【分析】利用向量的模的坐標(biāo)表示及向量的夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，，所以，又，所以與的夾角為.故答案為.14．

展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____【正確答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，其中所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，

即含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為.15．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為_(kāi)_________

【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為.四、雙空題16．已知函數(shù)（1）函數(shù)的值域是____________.（2）若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是______________-.【正確答案】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式分別求解分段函數(shù)在每一段定義區(qū)間內(nèi)的值域，最終取并集即可；（2）將方程有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象和直線有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，觀察函數(shù)圖象和直線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）關(guān)于x的方程（a∈R）恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象和直線如圖所示，當(dāng)直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，a的值分別為和，有圖易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和直線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)相切時(shí)，有，即有且僅有一個(gè)根，則有，解得（舍去）.綜上所述，a的取值范圍是.故；.五、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求B；(2)若D為AC中點(diǎn)，且，求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)以及正弦定理，可得答案；（2）由題意，根據(jù)向量的基本性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，整理齊次方程，可得答案.【詳解】（1）由余弦定理得.又，所以，即.由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以..因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，即，解?18．已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)證明.【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用與關(guān)系可推導(dǎo)得到，利用累乘法即可求得；（2）由，結(jié)合可得，并由此得到；采用裂項(xiàng)相消法可整理得到，由可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得：且；當(dāng)且時(shí)，，整理可得：，，則，，，，，各式相乘得：，又，.當(dāng)時(shí)成立，故.（2）由得：，，，又，.19．如圖，已知多面體EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB為直徑的半圓ACB及正三角形ABD組成

(1)若BC=1，求證:BC∥平面ADE.(2)半圓AB上是否存在點(diǎn)M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意分析可得，進(jìn)而可證，//，根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，設(shè)，分別求平面、平面的法向量，結(jié)合面面垂直的向量關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，則，且為銳角，則，因?yàn)槿切蜛BD為正三角形，則，可得，即，所以//，平面ADE，平面ADE，可得BC∥平面ADE.（2）如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，的中垂線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，設(shè)，平面的法向量，因?yàn)椋瑒t，令，則，即，若二面角是直二面角，則，整理得，聯(lián)立方程，解得或，因?yàn)椋瑒t，可得，即所以，可得當(dāng)時(shí)，二面角是直二面角.

20．“斯諾克（Snooker）”是臺(tái)球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺(tái)球有時(shí)也被稱(chēng)為障礙臺(tái)球，是四大“紳士運(yùn)動(dòng)”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開(kāi)球（例如：若第一局甲開(kāi)球，則第二局乙開(kāi)球，第三局甲開(kāi)球……），沒(méi)有平局已知在甲的“開(kāi)球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開(kāi)球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過(guò)“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開(kāi)球權(quán)．(1)求甲以3∶1贏得比賽的概率；(2)設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為，求．【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；(2)確定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望.【詳解】（1）設(shè)事件甲在第局比賽獲勝為，，由已知可得，，，，，事件甲以3∶1贏得比賽，則前3局中甲贏得了2局且第4局甲獲勝，所以事件甲以3∶1贏得比賽可表示為，其中互斥，相互獨(dú)立，所以，所以甲以3∶1贏得比賽的概率為；（2）的可能取值為3，4，5，設(shè)甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，；；；；；；則，所以．21．已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點(diǎn)，且，于點(diǎn)G，證明:存在定點(diǎn)H，使為定值.【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線C的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解作答.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與雙曲線C的方程聯(lián)立，由給定的數(shù)量積關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理求得直線過(guò)定點(diǎn)，再驗(yàn)證斜率不存在的情況，進(jìn)而推理判斷作答.【詳解】（1）依題意，設(shè)雙曲線C的方程為，而點(diǎn)在雙曲線C上，于是，雙曲線C的方程為，即，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化簡(jiǎn)得，即，解得或，均滿足條件，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)直線的方程為：，由解得或，因此點(diǎn)的橫坐標(biāo)有，即直線過(guò)定點(diǎn)，綜上得直線過(guò)定點(diǎn)，由于，即點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點(diǎn)，使為定值.

思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問(wèn)題.22．已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【正確答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或，1個(gè)零點(diǎn)；，2個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，利用零點(diǎn)存在定理結(jié)