河南省2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2024—2025學(xué)年度高一4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B.6 C.5 D.1或52.若是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（）①和②和③和④和A.①② B.②③ C.③④ D.①④3.下列敘述正確的是（）A.有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.邊長(zhǎng)為2的水平放置的正方形的斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖的面積是D.直角三角形以其邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐4.若m，n為空間直線，，為平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C，，，則D.若m，n是異面直線，則m，n在內(nèi)的射影為兩條相交直線5.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.6.正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，如果，三棱臺(tái)的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.7.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)D，E分別在棱，上，，，點(diǎn)F滿足，若平面ACF，則的值為（）A. B. C. D.8.如圖，長(zhǎng)方體中，，E為棱CD的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論中錯(cuò)誤是（）A.若為非零向量，且，則B.對(duì)于非零向量，，若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C.在中，若，則與的面積之比為2∶9D.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10.正四面體棱長(zhǎng)為，若點(diǎn)Q是該正四面體外接球球面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（）A B. C. D.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，F(xiàn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A.四棱錐體積為定值B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.當(dāng)直線AP與平面所成的角為時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.若直線平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則__________．13.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為_(kāi)_____________.14.如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，，，M為線段AE的中點(diǎn)．則直線MD與平面EBC的位置關(guān)系為_(kāi)_________（填相交或平行）．N為線段EB上一點(diǎn)，使得D，M，N，C四點(diǎn)共面，則的值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若，求；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的大?。?6.記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面積．17.如圖，在中，點(diǎn)M，N滿足，（，），點(diǎn)D滿足，E為AD的中點(diǎn)，且M，N，E三點(diǎn)共線．（1）用，表示；（2）求的值．18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，M為PA的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，．（1）求證：平面BMN；（2）求三棱錐的體積．19.離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知三棱錐如圖所示．（1）求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散