山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中測(cè)評(píng)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A．4 B．7 C．3或7 D．4或72．為維護(hù)市場(chǎng)秩序，保護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，在“五一”假期來(lái)臨之際，物價(jià)部門(mén)對(duì)某商品在各商場(chǎng)的售價(jià)（元）及其一天的銷(xiāo)售量（件）進(jìn)行調(diào)查，得到了若干對(duì)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)分析，計(jì)算，得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為（

）A． B． C．1 D．23．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．下圖為根據(jù)某組成對(duì)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖，根據(jù)最小二乘法得到了經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)1（實(shí)線(xiàn)）與經(jīng)驗(yàn)回歸曲線(xiàn)2（虛線(xiàn)）如圖，并分別計(jì)算了兩模型的決定系數(shù)，則（

）A． B．C． D．5．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（

）A．10 B．16 C．18 D．206．一口袋中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地取出個(gè)，設(shè)事件：取出的個(gè)球既有紅球又有白球，事件：取出的個(gè)球最多有一個(gè)紅球，則（

）A．當(dāng)時(shí)事件與事件相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)事件與事件相互獨(dú)立B．當(dāng)時(shí)事件與事件不相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)事件與事件相互獨(dú)立C．當(dāng)時(shí)事件與事件相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)事件與事件不相互獨(dú)立D．當(dāng)時(shí)事件與事件不相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)事件與事件不相互獨(dú)立7．已知平面平面，平面內(nèi)有共5個(gè)點(diǎn)，其中有且僅有三點(diǎn)共線(xiàn)，平面內(nèi)有共4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，則以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐最多有（

）A．80個(gè) B．86個(gè) C．116個(gè) D．136個(gè)8．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成楊輝三角，人們?cè)谘芯空归_(kāi)式時(shí)，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)也可以構(gòu)成一個(gè)類(lèi)似的三角形，并把它稱(chēng)為“廣義楊輝三角”，如圖所示，則（

）A． B． C． D．9．可用于推斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)的是（

）A．散點(diǎn)圖 B．等高堆積條形圖C．列聯(lián)表 D．獨(dú)立性檢驗(yàn)二、多選題10．為了增強(qiáng)學(xué)生國(guó)防意識(shí)，某校組織學(xué)生進(jìn)行了一次打靶射擊活動(dòng).小王同學(xué)先后射擊兩次，第一次命中靶心的概率為，若第一次命中靶心，則第二次命中靶心的概率為，若第一次沒(méi)有命中靶心，則第二次命中靶心的概率為，記第一槍命中靶心為事件，第二槍命中靰心為事件，則（

）A． B．C． D．11．已知隨機(jī)變量的取值為不大于的正整數(shù)值，它的分布列為：12其中滿(mǎn)足：，且.定義的生成函數(shù)為.若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．某影院從觀看了《哪吒》的觀眾中隨機(jī)抽取名進(jìn)行評(píng)分調(diào)查（滿(mǎn)分分），評(píng)分結(jié)果為.再?gòu)纳鲜鋈酥?，隨機(jī)抽取人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)被抽到的人中評(píng)分低于分的觀眾人數(shù)為，則.（以數(shù)字作答）13．以下是標(biāo)號(hào)分別為①，②，③的三幅散點(diǎn)圖，它們的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，那么相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為.（按由小到大的順序排列）.14．某次下鄉(xiāng)關(guān)愛(ài)留守兒童活動(dòng)中，工作人員計(jì)劃把《三國(guó)演義》，《西游記》等不同的八本書(shū)贈(zèng)送給甲，乙，丙，丁四位留守兒童，每人兩本，由于甲同學(xué)閱讀過(guò)《三國(guó)演義》，乙同學(xué)閱讀過(guò)《西游記》，所以《三國(guó)演義》不贈(zèng)送給甲，《西游記》不贈(zèng)送給乙，則共有種不同的贈(zèng)送方法.四、解答題15．某次考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)可劃分為“優(yōu)秀”、“良好”、“一般”三個(gè)等級(jí)，一班與二班各等級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表：優(yōu)秀良好一般一班91323二班151416(1)一班、二班數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率分別是多少？(2)填寫(xiě)如下列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？?jī)?yōu)秀其他合計(jì)一班二班合計(jì)附：0.1000.0500.0102.7063.8416.63516．已知，若的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為.(1)求；(2)求被15除的余數(shù).17．標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各2個(gè)，將這4個(gè)不同的小球依次隨機(jī)地放入4個(gè)不同的盒子中.(1)記空盒子的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記4個(gè)盒子中小球的數(shù)字和分別為（空盒子中，小球的數(shù)字和為0），記中的最大值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．下表為我國(guó)2015年至2023年城鎮(zhèn)人口（單位：億）的數(shù)據(jù)，其中年份代碼分別對(duì)應(yīng)年份，并計(jì)算得與的樣本相關(guān)系數(shù)年份代碼123456789城鎮(zhèn)人口億7.677.938.198.438.648.849.029.149.21(1)求關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)預(yù)測(cè)2025年我國(guó)鄉(xiāng)村人口為4.53億人，城鎮(zhèn)居民平均消費(fèi)水平為4.26萬(wàn)元，農(nóng)村居民平均消費(fèi)水平為2.24萬(wàn)元，試預(yù)測(cè)2025年我國(guó)居民平均消費(fèi)水平（精確到0.01）；(3)若變量和的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，則稱(chēng)為樣本協(xié)方差，其中.①基于我國(guó)2015年至2023年城鎮(zhèn)人口（單位：億）的數(shù)據(jù)，求協(xié)方差（精確到0.01）；②一般地，如何通過(guò)協(xié)方差的取值判斷隨機(jī)變量和是否正負(fù)相關(guān)？協(xié)方差的大小一定能度量出和的線(xiàn)性相關(guān)程度嗎？樣本相關(guān)系數(shù)相比協(xié)方差有何優(yōu)點(diǎn)？附：樣本相關(guān)系數(shù).回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：19．近年來(lái)國(guó)產(chǎn)芯片技術(shù)日趨成熟，其中有一項(xiàng)工藝稱(chēng)為“二次曝光技術(shù)”，即在同一塊晶片上先進(jìn)行一次曝光，清洗，然后再進(jìn)行一次曝光.只有兩次曝光都成功，該晶片方可成功制作成1塊芯片.假設(shè)第一次曝光的成功率為，第二次曝光的成功率為，每次曝光過(guò)程相互獨(dú)立.現(xiàn)要制作1塊芯片，依次對(duì)塊晶片進(jìn)行曝光，操作要求如下：①若對(duì)第塊晶片進(jìn)行第一次曝光失敗，則不繼續(xù)對(duì)該晶片進(jìn)行第二次曝光，并認(rèn)為對(duì)該晶片的制作失敗，接著對(duì)第塊晶片進(jìn)行曝光；②若對(duì)第塊晶片進(jìn)行第一次曝光成功，則繼續(xù)對(duì)該晶片進(jìn)行第二次曝光，若第二次曝光失敗，則也認(rèn)為對(duì)該晶片的制作失敗，接著對(duì)第塊晶片進(jìn)行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1塊芯片，則不再對(duì)后續(xù)的晶片進(jìn)行曝光；③若對(duì)這塊晶片都曝光完畢，無(wú)論是否成功制作出1塊芯片，則停止制作.(1)當(dāng)時(shí)，求成功制作出至少1塊芯片的概率；(2)用這塊晶片制作1塊芯片，記隨機(jī)變量為曝光的晶片個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若一塊晶片第一次曝光失敗，則記該芯片曝光1次；若一塊晶片第一次曝光成功，無(wú)論第二次曝光成功還是失敗，都記該芯片共曝光2次.在曝光完這塊晶片，并成功制作出1塊芯片的條件下，記隨機(jī)變量為這塊晶片曝光的總次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

題號(hào)12345678910答案CAACDBCBBCDACD題號(hào)11答案ABC1．C根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得?故選：C2．A根據(jù)題意，令時(shí)，求得，結(jié)合殘差的概念，即可求得樣本點(diǎn)的殘差，得到答案.【詳解】由關(guān)于的回歸方程為，且樣本點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以殘差為.故選：A.3．A根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正態(tài)分布關(guān)于均值對(duì)稱(chēng)可得，解得.故選：.4．C根據(jù)決定系數(shù)越大，擬合效果越好，結(jié)合圖象即可判斷【詳解】由圖可知，模型2擬合效果更好，故.故選：.5．D應(yīng)用二項(xiàng)分布的方差，計(jì)算求得，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解得，所以，則.故選：D6．B根據(jù)題意，分別求得和時(shí)，事件對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合和的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)2時(shí)，事件與事件不相互獨(dú)立；當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，事件與事件相互獨(dú)立.故選：B.7．C由三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，可分三類(lèi)情況討論：從平面內(nèi)取3個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)，平面內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)，從平面內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)，從平面內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)取3個(gè)點(diǎn)，結(jié)合數(shù)的計(jì)算公式和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，可分三類(lèi)情況討論：從平面內(nèi)取3個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)，平面內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)共有種情況；從平面內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)共有種情況；從平面內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)取3個(gè)點(diǎn)共有種情況，所以從這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐最多有個(gè)三棱錐.故選：C.8．B根據(jù)已知新定義結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式計(jì)算求解即可.【詳解】由題意可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，所以是的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，又二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，所以.故選：B.9．BCD根據(jù)散點(diǎn)圖，等高堆積條形圖，列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念，即可得到答案.【詳解】散點(diǎn)圖適用于推斷兩個(gè)定量變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，其中等高堆積條形圖，列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)適用于推斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián).故選：BCD.10．ACD利用條件概率公式計(jì)算各選項(xiàng)中的概率值，逐一驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)的正確性，即可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，對(duì)于選項(xiàng)A，；對(duì)于選項(xiàng)B，；對(duì)于選項(xiàng)C,；對(duì)于選項(xiàng)D，.故選：ACD11．ABC由，可判定A正確；由，結(jié)合期望的公式，得到，可判定B正確；由，根據(jù)期望的公式，化簡(jiǎn)得到和，進(jìn)而可判定C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以A正確.對(duì)于B中，由，可得，所以，所以B正確.對(duì)于C和D中，因?yàn)?，所以，又由，可得，所以，則，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．/這道題考查的是古典概型和組合數(shù)的綜合應(yīng)用.【詳解】人中評(píng)分低于分的有人，“”表示事件“抽到人低于分，人高于等于分”，所以.故答案為：.13．根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)性強(qiáng)弱及正負(fù)相關(guān)求得大小關(guān)系.【詳解】圖①散點(diǎn)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較弱，接近于0；圖②散點(diǎn)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，且線(xiàn)性相關(guān)程度很強(qiáng)，接近于；圖③散點(diǎn)數(shù)據(jù)正相關(guān)，且線(xiàn)性相關(guān)程度較強(qiáng)，接近于1，所以相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為.故答案為：14．根據(jù)題意，先求得每人兩本的安排方法的種數(shù)，再分別求得《三國(guó)演義》贈(zèng)送給甲、《西游記》贈(zèng)送給乙、《三國(guó)演義》贈(zèng)送給甲，同時(shí)《西游記》贈(zèng)送給乙的種數(shù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】八本書(shū)贈(zèng)送給四位留守兒童，每人兩本共有種安排方法，其中《三國(guó)演義》贈(zèng)送給甲的情況有種；《西游記》贈(zèng)送給乙情況有種；《三國(guó)演義》贈(zèng)送給甲，同時(shí)《西游記》贈(zèng)送給乙的情況有種，所以符合題意的安排方法有種.故答案為：.15．(1)；(2)表格見(jiàn)解析，認(rèn)為兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異.（1）由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得；（2）根據(jù)已知完善表格，根據(jù)公式計(jì)算，然后查表可知.【詳解】（1）一班共有人，其數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是；二班共有人，其數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是.（2）優(yōu)秀其他合計(jì)一班93645二班153045合計(jì)246690可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異.16．(1)(2)（1）根據(jù)題意，得到，解得，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，即可求解；（2）令，得到；令，得到，根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)特征，得到，再由，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，即可得到答案.【詳解】（1）解：由的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，解得，所以的展開(kāi)式中項(xiàng)為：，所以.（2）解：令，可得，令，可得，由的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，所以，又由，即能被15整除，所以被15除的余數(shù)為.17．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)分布列見(jiàn)解析，（1）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，利用排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，求得數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，用表示4個(gè)盒子中小球的數(shù)字和的不同組合，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，求得其數(shù)學(xué)期望；【詳解】（1）解：由題意知，4個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，共有為種不同的放法，所以隨機(jī)變量的可能取值為.當(dāng)時(shí)，只有1種情況：每個(gè)盒子各放1個(gè)球，共種，所以；當(dāng)時(shí)，只有1種情況：1個(gè)盒子放2個(gè)球，另外2個(gè)盒子各放1個(gè)球，共有種，所以；當(dāng)時(shí)，有2種情況：1個(gè)盒子放3個(gè)球，另1個(gè)盒子放1個(gè)球；2個(gè)盒子各放2個(gè)球，共有種，所以.當(dāng)時(shí)，只有1種情況：1個(gè)盒子中放4個(gè)球，共有種，所以.所以隨機(jī)變量的分布列為0123所以期望為.（2）解：根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為，用表示4個(gè)盒子中小球的數(shù)字和的不同組合，當(dāng)時(shí)，有2種情況：，共有種，所以；當(dāng)時(shí)，有2種情況：，共有種，所以.當(dāng)時(shí)，有3種情況：，共有種，所以；當(dāng)時(shí)，有1種情況：，共有種，所以；當(dāng)時(shí)，有1種情況：，共有種，所以，所以隨機(jī)變量的分布列為23456所以期望為.18．(1)(2)萬(wàn)元.(3)①；②答案見(jiàn)解析（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)，相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)的公式，可得求得和的值，即可得到關(guān)于的回歸方程；（2）由2025年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，結(jié)合（1）中的回歸直線(xiàn)方程，即可作出預(yù)測(cè)；（3）①由（1）知，得到，進(jìn)而求得的值；②根據(jù)協(xié)方差與樣本相關(guān)系數(shù)同號(hào)，得到協(xié)方差的大小與和的度量單位有關(guān)，不宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線(xiàn)性相關(guān)程度的大??；進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得，且.又由，可得，則，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）解：2025年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，預(yù)測(cè)2025年我國(guó)城鎮(zhèn)人口為億人，預(yù)測(cè)2025年我國(guó)居民平均消費(fèi)水平為萬(wàn)元.（3）解：①由題，由（1）：，則，所以.②注意到協(xié)方差與樣本相關(guān)系數(shù)同號(hào)，可得如果協(xié)方差為正，說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有正相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為負(fù)，說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系.協(xié)方差的大小與和的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線(xiàn)性相關(guān)程度的大??；如本題中城鎮(zhèn)人口的單位為“億”，如果將其單位由億改為萬(wàn)，則的大小將變?yōu)樵瓉?lái)的10000倍，但單位的改變并不會(huì)導(dǎo)致年份代碼與城鎮(zhèn)人口之間相關(guān)程度的改變，樣本相關(guān)系數(shù)相比協(xié)方差，消除了度量單位的影響，其大小一定能度量出和的線(xiàn)性相關(guān)程度.19．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)（1）根據(jù)題意，得到成功的概率為，失敗的概率為，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，即可求得成功制作出1塊芯片的概率；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，結(jié)合當(dāng)時(shí)，概率為，當(dāng)時(shí)，概率為，列出隨機(jī)變量的分布列，求得再利用乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可得到答案；（3）法一：記事件“曝光完這塊晶片，并成功制作出1塊芯片”，記事件“曝光的總次數(shù)為次”，根據(jù)題意，得到的可能取值為，利用條件概率