湖南省永州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

年4月高一期中聯(lián)考數(shù)學(xué)班級(jí)：姓名：準(zhǔn)考證號(hào)：（本試卷共4頁(yè)，題，考試用時(shí)分鐘，全卷滿分分）注意事項(xiàng)：在答題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡上交.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及對(duì)稱(chēng)性求解即可.【詳解】由題意知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，．故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第1頁(yè)/共18頁(yè)【分析】由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解.【詳解】函數(shù)，，，．故選：B.3.在中，若，，，則（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，解得，可求.【詳解】在中，若，，，由正弦定理得，所以，解得，又且，，或．故選：D.4.已知，不等式解集為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第2頁(yè)/共18頁(yè)【分析】利用余弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)，，結(jié)合的圖象可知．故選：C5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小即可.【詳解】由函數(shù)是內(nèi)的單調(diào)減函數(shù)，，所以，，由函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，所以，而，，所以．故選：A.6.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將兩邊平方，由向量數(shù)量積的定義可得，再由投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，設(shè)，夾角為，，又，，，第3頁(yè)/共18頁(yè)所以，向量在向量上的投影向量為．故選：B.7.已知圓的半徑為2，六邊形是圓的內(nèi)接正六邊形，為圓上的任意一點(diǎn)，則（）A.48B.36C.24D.52【答案】A【解析】【分析】由已知可得，再利用互補(bǔ)的角的余弦值相加等于0，即可求得答案.【詳解】由已知六邊形的邊長(zhǎng)及到各個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)度均為2，由圖可知，同理，．又，又由圖知，，．所以．故選：A.第4頁(yè)/共18頁(yè)8.已知函數(shù)，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，可得，令，可得對(duì)恒成立，分或或三種情況討論可求得的范圍.【詳解】不妨設(shè)，即，則有，即，令，，則對(duì)恒成立．又，①若，則，得；②若，則，得；③若，則符合題意．綜上，．故選：B．36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目第5頁(yè)/共18頁(yè)要求全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A.設(shè)，為非零向量，若，則，的夾角為銳角B.設(shè)，，為非零向量，則C.設(shè)，為非零向量，若，則D.若點(diǎn)為的重心，則【答案】CD【解析】AB于0計(jì)算，判斷C；根據(jù)三角形重心性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，，與平行或與夾角為銳角，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，為非零向量，則是與共線的向量，是與共線的向量，而與不一定共線，故不一定成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因，所以，，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，為的重心，則點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，且，，，則，所以D正確．故選：CD．第6頁(yè)/共18頁(yè)10.已知實(shí)數(shù)，滿足，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和真數(shù)大于0可得，即可判斷ABC；利用的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，由題意可知，即，則，因，，則，因在單調(diào)遞減，則，故A正確；B選項(xiàng)，易知，因在上單調(diào)遞減，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由，得，，則，故C正確；D選項(xiàng)，因在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，則，即，故D正確．故選：ACD已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若有兩個(gè)零點(diǎn)，則第7頁(yè)/共18頁(yè)D.若的定義域?yàn)?，且，且與圖象的交點(diǎn)為，，，，則必為奇數(shù)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，判斷出在上單調(diào)性，即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，利用單調(diào)性可得，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象可得m的范圍，即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，由已知可求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，因?yàn)樵谏显谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，，又在上單調(diào)遞減，則，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則可知的圖象如圖所示，要使存在兩個(gè)不同的根，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以關(guān)于（0，1）對(duì)稱(chēng)，又由B中知為奇函數(shù)，所以關(guān)于（0，1）對(duì)稱(chēng)，在上存在個(gè)根，，第8頁(yè)/共18頁(yè)由對(duì)稱(chēng)性可知在上也存在個(gè)根，則與共存在個(gè)交點(diǎn)，，所以一定為奇數(shù)，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知函數(shù)，則_____【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算求解即可.【詳解】，所以．故答案為：.13.的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知點(diǎn)求出的值，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，第9頁(yè)/共18頁(yè)則，，知，又因?yàn)椋?，，所以，即．故答案為?14.在直角三角形中，斜邊為在邊上，若，，則_____【答案】##【解析】【分析】由，結(jié)合同角關(guān)系求出，，根據(jù)求出，由求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，又，，所以，解得，所以，，所以，則．故答案為：第10頁(yè)/共18頁(yè)四、解答題：本題共5小題，共分解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知單位向量，，夾角為，，，且與的夾角為．（1）若與所成的角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若向量為在上的投影向量，求．【答案】（1）（2）【解析】1）由已知，先求出m，根據(jù)向量夾角是銳角列不等式，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求出，則可求出，即可求得．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，，夾角為，，，則，又，，所以，解得，所以，，則由題可知，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，向量為在上的投影向量，第11頁(yè)/共18頁(yè)則，且，則，所以．16已知向量，，函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位得到的圖象，求在上的值域．【答案】（1），（2）【解析】1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和輔助角公式可得，則利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求得答案；（2）由圖象變換得到解析式，再利用整體法求值域.【小問(wèn)1詳解】因向量，，函數(shù)，所以，令，，解得，，第12頁(yè)/共18頁(yè)所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位，則，當(dāng)時(shí)，，，則．所以在的值域?yàn)?17.在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）由已知和余弦定理，可得，再由正弦定理及正弦的兩角和與差公式可得，即可得到；（2）利用正弦定理即二倍角公式，由為銳角三角形，得到，可得，則得到的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】在銳角中，，由余弦定理得，則，第13頁(yè)/共18頁(yè)由正弦定理得，即，，又在中，，，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由正弦定理，又為銳角三角形，，，，，即的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）證明：曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形．（2）已知，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．（?。┣髮?shí)數(shù)的值；（ⅱ）若是的零點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2（ⅱ）【解析】1）由已知，得，即可證明；第14頁(yè)/共18頁(yè)（21）知關(guān)于（9，9b）對(duì)稱(chēng)，計(jì)算即可求解；（ⅱ）由（根據(jù)零點(diǎn)的概念可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換元法可得與都是的零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理和的單調(diào)性可得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，，．即關(guān)于對(duì)稱(chēng)．綜上，曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形．【小問(wèn)2詳解】（?。┮?yàn)?，則的定義域?yàn)椋瑢?duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（1）知關(guān)于對(duì)稱(chēng)．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，．，即，所以．（ⅱ）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，，第15頁(yè)/共18頁(yè)又，，則，令，則，，即，都是方程的解，與都是的零點(diǎn)，又由（?。┲谏蠁握{(diào)遞增，，即．19.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，定義，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．（1）已知函數(shù)，的值域?yàn)榧?，求的真子集個(gè)數(shù)．（2）已知，，，，為的零點(diǎn)，求．（3）設(shè)，，，是任意給定的個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)．求證：存在某個(gè)正整數(shù)，使得．注：．【答案】（1）7個(gè)（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合真子集的個(gè)數(shù)公式計(jì)算求解；（2）應(yīng)用零點(diǎn)定義及等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解；（3）應(yīng)用新定義結(jié)合求和公式計(jì)算證明不等式.【小問(wèn)1詳解】，在上