湖北省武漢市部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中測試 數(shù)學(xué) 含解析

湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則角等于（

）A． B． C． D．或4．如圖所示，中，點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，是線段AD的靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（

）A． B． C． D．6．在下列函數(shù)中，周期為的函數(shù)是（

）A． B．C． D．7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上共有8100個(gè)零點(diǎn)8．若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱該函數(shù)為“完整函數(shù)”．已知是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（

）A． B． C．[3，5] D．二、多選題9．已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量是10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一條對(duì)稱軸B．的對(duì)稱中心是C．在區(qū)間上的值域是D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則11．在銳角中，設(shè)，，分別表示角，，對(duì)邊，，，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)的外接圓半徑為D．若當(dāng)變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為三、填空題12．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．13．在中，角的對(duì)邊分別為，則．14．在中，，點(diǎn)為三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是外接圓的直徑，則的取值范圍是．四、解答題15．已知復(fù)數(shù)，，，若一復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)數(shù)”，已知為“理想復(fù)數(shù)”．(1)求實(shí)數(shù)；(2)定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算“”：，求．16．已知.(1)求；(2)求.17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.18．已知向量，函數(shù)，函數(shù)圖像相鄰對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個(gè)單位得的圖象，若關(guān)于的方程在上只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，扇形OAB的半徑為1，圓心角為是弧上的動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)），作交OB于點(diǎn)，作交OA于點(diǎn)，同時(shí)以O(shè)A為斜邊，作，且．(1)設(shè)，將的面積表示成的函數(shù)并求其最大值；(2)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過線段，到達(dá)點(diǎn)，求途經(jīng)線段長度的最大值．

題號(hào)12345678910答案DCBACCDBABDAD題號(hào)11答案ACD1．D根據(jù)題意有求參數(shù)y，再由正弦函數(shù)的定義求.【詳解】由題意，且，解得，所以.故選：D2．C分子分母同除，化弦為切代入求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：C．3．B利用正弦定理可得，進(jìn)而可得角C.【詳解】在△ABC中，，，，由正弦定理得，且，則，可得，所以．故選：B．4．A根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，是線段AD的靠近的三等分點(diǎn)，則，，所以.故選：A．5．C利用題中定義結(jié)合三角恒等變換化簡可得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：C．6．C利用三角恒等變換、結(jié)合正余弦函數(shù)及正切函數(shù)的周期逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，周期為，A不是；對(duì)于B，，周期為，B不是；對(duì)于C，，周期為，C是；對(duì)于D，，周期為,D不是.故選：C7．D由圖像即可得到函數(shù)解析式，從而判斷AB，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷C，由正弦型函數(shù)的零點(diǎn)代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】由圖可知，，且，可得，又，∴，故A錯(cuò)誤；由五點(diǎn)作圖法可知，，解得，則的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上不是單調(diào)減的，故C錯(cuò)誤；由，可得，即，再由，解得，由，解得，∴，則在區(qū)間上共有8100個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：D．8．B根據(jù)三角恒等變換可知，再由三角函數(shù)值域以及“完整函數(shù)”定義將問題轉(zhuǎn)化為在上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得出不等式即可得解得的取值范圍.【詳解】由題意可得：，即是上的“完整函數(shù)”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因?yàn)椋虼?，即在上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，一定滿足題意；若，因?yàn)?，，所以，又易知；所以只需保證即可，解得，綜上可知．故選：B．9．ABD對(duì)于A，計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)模長公式計(jì)算即可得解；對(duì)于C，根據(jù)向量夾角余弦公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)投影向量定義公式計(jì)算求解即可得解.【詳解】對(duì)于A，由題意可得，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在方向上的投影向量是，故D正確.故選：ABD.10．AD求得函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心可判斷AB；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得最小值可判斷C；求得函數(shù)的解析式，計(jì)算可判斷D.【詳解】由，解得，所以的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以是的一條對(duì)稱軸，故A正確；由，可得，所以的對(duì)稱中心是，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，所以，所以是奇函數(shù)，所以，故D正確.故選：AD.11．ACD由對(duì)進(jìn)行化簡得，在利用正弦定理可以推出；再由為銳角三角形化簡出的取值范圍，且根據(jù)正弦定理化簡出可判斷出的取值范圍；同樣根據(jù)，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圓半徑；由的取值范圍，且對(duì)進(jìn)行化簡得，且，當(dāng)取到最大值時(shí)轉(zhuǎn)化成求出的取值范圍.【詳解】對(duì)于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正確；對(duì)于B：由正弦定理，則，為銳角三角形，則，即，，所以，故B不正確；對(duì)于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；對(duì)于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此時(shí)，當(dāng)有最大值時(shí)，即時(shí)，有最大值為，此時(shí)，，又，，，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.12．【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.故答案為：.13．【詳解】由余弦定理可得：，∴，所以2．故答案為：14．．【詳解】如圖：記的外接圓半徑為，，由圖可知的最大值為時(shí)，取最大值0；因?yàn)橹?，所以?dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，所以取最小值，故答案為：．15．(1)2(2)（1）根據(jù)，由是“理想復(fù)數(shù)求解；（2）由（1）知，再由求解.【詳解】（1）解：由題得，，是“理想復(fù)數(shù)”，，；（2）由（1）知，所以，由，得，.16．(1)(2)（1）利用同角基本關(guān)系式與角的范圍求得，再利用兩角差的余弦公式即可得解；（2）利用同角基本關(guān)系式與角的范圍求得，再利用兩角和的正弦公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，所以.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，所?17．(1)(2)（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角；（2）由面積公式解出的值，再由余弦定理解得的值.【詳解】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.18．(1)(2)（1）結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則和三角恒等變換知識(shí)化簡可得，再由，求得的值后，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，得解；（2）由函數(shù)圖象的伸縮平移法則可得，采用換元法，令，原問題轉(zhuǎn)化為在，上只有一個(gè)解，作出的圖象后，即可得解．【詳解】（1），，因?yàn)橄噜彽膶?duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以，令，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)，再向左平移個(gè)單位得，令，則，所以，因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)解，由的圖象可得，或，所以的取值范圍是19．(1)，最大值為(2)（1）由可得，可得，，再利用三角形的面積公式以及二倍角的正弦公式可得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，