數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 (一)

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的一些分支如數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、微分方程、數(shù)值分

析等進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，出現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)計量學(xué)、經(jīng)濟(jì)控制論等新分

支，這些新分支通常稱為數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法研究客觀經(jīng)

濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)鍵就是要J巴考察的對象描述成能夠用數(shù)學(xué)方法來解答的數(shù)

學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。本文介紹了數(shù)學(xué)的一些分支在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］彈性系數(shù)；消費(fèi)者均衡；不動點(diǎn)；瓦爾拉斯一般均衡

數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系在今天可以說是息息相關(guān)，任何一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究、

決策幾乎都不能離開數(shù)學(xué)的應(yīng)用。因?yàn)槿绾斡行渲煤秃侠砝孟∪钡?/p>

經(jīng)濟(jì)資源從而最大限度滿足人類欲望始終是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的主題。這不可

避免會涉及到效率和最優(yōu)化問題，而有關(guān)效率和最優(yōu)化問題的研究不僅

自定性分析，更重要的要有定量分析。數(shù)學(xué)作為定量分析的重要工具，

以其嚴(yán)密性、客觀性正好適應(yīng)了這一要求。因此，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中引入數(shù)學(xué)

工具，可以更好地表述經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，將經(jīng)濟(jì)問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型，

可以使分析變得具體，從而把研究從初步的想法推進(jìn)向深入的探索，推

動經(jīng)濟(jì)學(xué)走向精密化、正確化。比如，在客觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合指標(biāo)控制、

價格控制都有數(shù)學(xué)問題，在微觀經(jīng)濟(jì)中數(shù)理統(tǒng)計的〃實(shí)驗(yàn)設(shè)計〃、〃質(zhì)

量控制〃、〃多元分析〃等對提高產(chǎn)品的質(zhì)量往往能起到重要的作用。

當(dāng)今，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)方法的趨勢越來越明顯，領(lǐng)域越來越廣泛。

自從1969年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎創(chuàng)立以來，利用數(shù)學(xué)工具分析經(jīng)濟(jì)問題的

理論成果獲獎不斷。事實(shí)上,從1969到1998年的30年中，有19位

諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者都以數(shù)學(xué)作為主要研究方法，占總?cè)藬?shù)的

63.3%，而幾乎所有的獲獎?wù)叨歼\(yùn)用數(shù)學(xué)方法來研究經(jīng)濟(jì)理論?？梢哉f,

沒有數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，就沒有經(jīng)濟(jì)學(xué)快速繁榮發(fā)展的今天。本文就數(shù)學(xué)

的一些分支在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用做一初步討論。

1一元微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.1彈性系數(shù)

當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量之間存在相互影響關(guān)系時，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)通常用彈性來表示一

個變量相應(yīng)于另一個經(jīng)濟(jì)變量變動的反映程度。如果經(jīng)濟(jì)變量x及y之

間具有關(guān)系：y=f(x),那么為了度量x對y的影響程度,人們通常試圖

利用x變動一個單位后y變動的數(shù)值，即導(dǎo)數(shù)反映這種影響。這樣做是

方便的但缺陷是不能消除x及y的度量單位對這f值的影響。因比，

經(jīng)濟(jì)學(xué)家使用彈性而不是導(dǎo)數(shù)來反映一個經(jīng)濟(jì)變量對另一個變量的影

響，彈性的大小由強(qiáng)性系數(shù)加以表示

彈性系數(shù)二O

以表示x對y的彈性系數(shù)，同時把經(jīng)濟(jì)變量的變動以微分的形式表示

出來，則彈性系數(shù)可以寫成為

很顯然，X對y的彈性系數(shù)不僅取決于函數(shù)的斜率，而且取決于X及y

的大小。也就是說，彈性系數(shù)不僅與函數(shù)曲線的傾斜程度有關(guān)系，而且

也與曲線上點(diǎn)的位置密切相關(guān)。因此，曲線的傾斜程度不一定與彈性的

大小相一致。

如果用y表示商品需求量，用x表示商品價格，則可以表示商品的需

求價格彈性。經(jīng)濟(jì)學(xué)中其它的彈性也可以相似的定義出來。

1.2經(jīng)濟(jì)批量法

這是一種在工業(yè)成批量生產(chǎn)中，根據(jù)費(fèi)用來確定合理批量的方法，批量

大小對費(fèi)用的影響，主要有兩個因素：設(shè)備調(diào)整費(fèi)用和庫存保管費(fèi)用。

批量越大，設(shè)備調(diào)整費(fèi)用越小，分?jǐn)傇诿總€產(chǎn)品的調(diào)整費(fèi)用就越少，但

保管費(fèi)用會相應(yīng)增加；反之，批量小，單位產(chǎn)品的調(diào)整費(fèi)用就大，而保

管費(fèi)用會相應(yīng)減小。求經(jīng)濟(jì)批量的原理就是用數(shù)學(xué)的方法求得這兩項(xiàng)費(fèi)

用和為最小的批量，即經(jīng)濟(jì)批量。如圖1所示：

批量

圖1中，m線為調(diào)整費(fèi)用曲線，n線為保管費(fèi)用曲線，L線為上述的兩

種費(fèi)用之和，上述兩種費(fèi)用之和最小時所對應(yīng)的Q值就是經(jīng)濟(jì)批量。

年設(shè)備調(diào)整費(fèi)用可用下式表示

年設(shè)備調(diào)整費(fèi)用二O

式中：A為每次設(shè)備調(diào)整費(fèi)用,N為年產(chǎn)量，Q為批量。

庫存保管費(fèi)用可用下式表示：

庫存保管費(fèi)用二。

式中：C為單位產(chǎn)品的平均保管費(fèi)用。

總費(fèi)用Y為兩項(xiàng)費(fèi)用之和：

Y=+o

因?yàn)?0時，費(fèi)用最小。所以可以得到

/

那么，就可以得到

O

這個公式就是計算經(jīng)濟(jì)批量的公式。

例：某廠商生產(chǎn)商品，某年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)設(shè)備調(diào)整費(fèi)為

1000元,而每件的庫存費(fèi)為0.05元，問每次生產(chǎn)多大批量為優(yōu)？

由上面的公式，直接可得

（件）=20（萬件）。

所以每批生產(chǎn)20萬件為最優(yōu)。

1.3生命周期曲線

設(shè)某種商品在時刻t的銷售量為Xt,令a表示市場的飽和水平，若此種

商品銷售量的增長率與銷售量Xt,和差值的乘積成正比，求銷售函數(shù)

Xt的表達(dá)式。

由題意可得，銷售量的增長率為，

（k為常數(shù)），

分離變量，可得

對上式兩邊求積分可得：

（為常數(shù)），

由此解得

（其中，c為常數(shù)）。

這個函數(shù)的圖象如圖2所示:

t

生命周期曲線

圖中的曲線稱為生命周期曲線，它揭示了商品的銷售過程的三個階段:

第一階段是試銷階段，當(dāng)商品剛進(jìn)入市場時，由于顧客不太了解商品的

性能，因此銷售量增長不快，第二階段是旺售階段，銷售量與日俱增，

第三階段稱為顏口階段。

2數(shù)學(xué)規(guī)劃和拉格朗日函數(shù)

在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，消費(fèi)者被假定為在經(jīng)濟(jì)上是理性的。在消費(fèi)商品時,

消費(fèi)者總試圖在既定的收入約束條件下獲得盡可能大的滿足,這樣，消

費(fèi)者的消費(fèi)行為可以看成是效用最大化的行為。

2.1消費(fèi)者均衡

消費(fèi)者均衡的效用最大化可以看成是消費(fèi)者在收入所允許的范圍內(nèi)選

擇適當(dāng)?shù)纳唐返慕M合，使得自身的效用等級達(dá)到最大的過程。在其它條

件不變的情況下，當(dāng)消費(fèi)者獲得最大滿足時，他將保持這種狀態(tài)不變,

此時消費(fèi)者處于均衡。消費(fèi)者均衡是在既定的收入約束B的范圍內(nèi)選擇

商品組合，實(shí)現(xiàn)效用最大化的狀態(tài)，用公式表示為：

(2.1)

其中,xlzx2表示畫中商品的消費(fèi)量,pl,p2表示兩種商品的價格,

u(xlzx2)表示消費(fèi)兩種商品所帶來的效用，m為預(yù)算約束。

消費(fèi)者效用最大化行為表現(xiàn)為在預(yù)算約束范圍內(nèi)尋求使得效用等級最

高的商品組合。但是，這樣的均衡組合是否存在？回答是肯定的。根據(jù)

數(shù)學(xué)規(guī)劃的結(jié)論，如果消費(fèi)者預(yù)算約束集合B為有界閉集，而效用函數(shù)

u(x)是連續(xù)函數(shù),那么(2.1)式一定有滿足條件的解存在。

為了理論分析的簡單起見z(2.1)式常寫為

2.2效用最大化的必要條件

式給出的效用最大化的必要條件可以借助于拉格朗日乘數(shù)法得到說明。

為此，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

O

如果消費(fèi)者在消費(fèi)時獲得最大滿足，那么在這一點(diǎn)一定有

=0,

即下式成立

,i=l,2和，

從而得到

(2.2)

2.3效用最大化的充分條件

（2.2）式只給出了效用最大化商品組合所滿足的條件，但并不意味著

滿足這些條件的點(diǎn)一定使得消費(fèi)者獲得最大的效用滿足。因而有必要討

論效用最大化的充分條件。

現(xiàn)假定必要條件（2.2）式得到滿足，為討論充分條件，把預(yù)算約束方

程變形為

這樣，效用最大化的模型式可表示為

O

這樣，求解式的問題轉(zhuǎn)換為考察上述無約束條件下的效用最大化問題。

令，

即。

再次得到（2.2）式給出的必要條件（一階條件）

O

現(xiàn)在考察效用最大化商品組合的充分條件（二階條件）即滿足（2.2）

式的商品組合是否就是最優(yōu)解，因?yàn)?/p>

當(dāng)時，效用函數(shù)在一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)上取得最大值。據(jù)此并注意到。

可得到下面的充分條件

即

用行列式可表示為:

3利用數(shù)學(xué)期望求解經(jīng)濟(jì)決策問題

由于經(jīng)濟(jì)決策中所遇到的變量都是隨機(jī)變量，它的分布往往是比較復(fù)雜

的，我們可通過它的數(shù)學(xué)期望表達(dá)它的數(shù)學(xué)特征。因此，可利用隨機(jī)變

量的數(shù)學(xué)特征一■■數(shù)學(xué)期望來求解一些經(jīng)濟(jì)決策問題。

3.1確定生產(chǎn)批量問題

某企業(yè)為了確定今后5年內(nèi)生產(chǎn)某種服裝的批量，以便及早做好產(chǎn)前的

各項(xiàng)準(zhǔn)備工作。根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計資料及市場調(diào)查預(yù)測，未來市場銷

路好、中、差三種狀況的概率分別是0.3,0.5和0.2。若按大、中、小

三種不同生產(chǎn)批量投產(chǎn)，今后年不同銷售狀態(tài)下的損益值如表1:

狀態(tài)銷路好銷路中銷路差

概率0.30.50.2

大批量損益值XI2014-2

大批量損益值X2121712

大批量損益值X381010

試作出定量分析，確定今后5年的最佳生產(chǎn)批量。

分析：雖然損益值X的分布未知，但由于它的數(shù)學(xué)期望表示平均值，在

三種狀態(tài)的平均值是可求的，故可用它作為評判的標(biāo)準(zhǔn)，下面計算三個

批量的損益值的數(shù)學(xué)期望。

由此可見，中批量生產(chǎn)的損益均值最大，故應(yīng)選擇中批量生產(chǎn)較為合適。

3.2最佳進(jìn)貨量的問題

設(shè)某一超市經(jīng)銷的某種商品，每周的需求量X在10至30范圍內(nèi)等可

能取值，該商品的進(jìn)貨量也是在此范圍內(nèi)等可能取值（每周只在周一前

進(jìn)貨一次）o超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削

價處理，每處理一單位虧損100元；若供不應(yīng)求，可從外單位調(diào)撥，此

時一單位可獲利300元。試測算進(jìn)貨量是多少時超市可獲得最大利潤。

最大利潤的期望值為多少？

分析:由于該商品的需求量（銷售量隊是一個隨機(jī)變量，它在區(qū)間［10,

30］上均勻分布，而銷售該商品的利潤值Y也是隨機(jī)變量,它是X的函

數(shù)。本問題的解算過程是：先確定X和Y的函數(shù)關(guān)系，再求出Y的期

望，最后利用極值法求出的極大值點(diǎn)及最大值。并求出最大利潤的期

望值。

先假設(shè)每周的進(jìn)貨量為a,則

利潤Y的數(shù)學(xué)期望為

則由，

可得O

代入可得，的最大/直為9333.3元。

由計算結(jié)果可知，周最佳進(jìn)貨量為23.33單位，最大利潤期望值為

9333.3元。

3.3求職決策問題

有三家公司為大學(xué)畢業(yè)生甲提供應(yīng)聘機(jī)會，按面試時間順序，這三家公

司分別記為A、B、C。每家公司都可提供極好、好和一般三種職位。每

家公司根據(jù)面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位。按規(guī)定,

雙方在面試后要立即作出決定提供、接受或拒絕某職位，且不許毀約。

咨詢公司專家在為甲的學(xué)業(yè)成績和綜合素質(zhì)進(jìn)行評估后，認(rèn)為甲獲得極

好、好和一般的可能性依次為020.3和0.4,三家公司的工資承諾如

表2

公司極好好一般

A350030002200

B390029502500

C400030002500

如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的

各種職位應(yīng)作何種解釋?

分析：由于面試從A公司開始，甲在選擇A公司三種職位時必須考慮

后面B、C公司提供的工資待遇，同樣在B公司面試后,也必須C公司

的待遇。因此，先從C公司開始討論。由于C公司的工資期望值為

40000.2+30000.3+25000.4=2700（元）。

再考慮B公司，由于B公司一般職位工資只有2500，低于C公司的平

均工資，因此甲在面對B公司時，只接受極好和好兩個職位，否則去C

公司。如此決策時甲工資的期望值為

39000.2+29500.3+27000.5=3015（元）。

最后考慮A公司，A公司只有極好職位工資超過3015,因此甲只接受

A公司的極好職位，否則去B公司。

甲的整體決策應(yīng)該如此：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好職位就

接受之。否則去B公司，若B公司提供極好或好的職位就接受之，否則

去C公司應(yīng)聘任意一種職位。在這一決策下，甲工資的期望值為

35000.2+30150.8=3112（元）。

4利用不動點(diǎn)定理證明瓦爾拉斯一般均衡的存在性

一般均衡理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個很重要的理論，它考察市場相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量

之間的相互聯(lián)系。為了揭示這種聯(lián)系，其首要解決的問題是是否存在一

系列價格使所有市場同時處于均衡，即所謂的一般均衡的存在性問題。

一般均衡的存在性是借助于不動點(diǎn)定理證明的。

Schauder不動點(diǎn)定：假定S是一個非空、閉的、有界凸集合，如果

函數(shù)f是s到S的一個連續(xù)映射，那么在S中至少存在一個x是自我映

射,即x=f(x).

為方便起見，首先假定所論及的k個價格具有標(biāo)準(zhǔn)的形式,即所有價格

之和為1,以便所有的價格都是有界的。事實(shí)上，如果價格只有P1、

P2,那么可以把價格加以標(biāo)準(zhǔn)化。得到

和。

由于超額需求函數(shù)具有關(guān)于價格零次齊次性的特征，因而可以認(rèn)為和

與和具有相同的作用，故在下面分析中認(rèn)為價格具有標(biāo)準(zhǔn)形式。

利用這些標(biāo)準(zhǔn)形式的價格，定義一個集合

O

很顯然，通過價格的標(biāo)準(zhǔn)化，價格向量集合是有界的非空集合。首先

說明是閉集。任取收斂點(diǎn)列，設(shè)。記，。我們由的定義知，因?yàn)椋?/p>

等價地，的每一個分量都收斂于的對應(yīng)的分量，在式子兩邊令，同

時取極限可得，所以，由閉集定義知集合是閉集?，F(xiàn)在證明是凸集。

x,y，.所以，由的定義知有。則根據(jù)凸集的定義知是凸集。所以價

格向量集合是有界的非空閉凸集。

為了能應(yīng)用不動點(diǎn)定理，還需要構(gòu)造一個察的函數(shù)。對應(yīng)于任意的一

系列價格，每種商品的市場上均有一個確定的超額需求量與之相對應(yīng)。

如果能證明，存在一個價格向量P,使得超額需求等于零，則瓦爾拉斯

一般均衡存在?，F(xiàn)在利用這個超額需求函數(shù)z,比如Zl,Z2來構(gòu)造不

動點(diǎn)定理中的函數(shù)。

根據(jù)瓦爾拉斯關(guān)于經(jīng)濟(jì)當(dāng)事人行為的假定，如果超額需求大于零，價格

傾向于提高；反之，超額需求小于零，價格降低。因而，瓦爾拉斯一般

均衡實(shí)現(xiàn)的過程無非是把一個使得超額需求大于零的價格再〃提高〃一

些，以便使得超額需求更小，逐漸趨向與零，并且，價格需要〃提高〃

的數(shù)額與超額需求呈同方向變動。因此，按照〃提高〃價格的思路來構(gòu)

造下面的函數(shù)是自然的：。另一方面，為了得到的函數(shù)值能繼續(xù)位于

集合之中，也需要對〃提高〃后的價格加以標(biāo)準(zhǔn)化。這樣，定義集合到

上的一系列函數(shù)gjJ=L…,匕

最大值函數(shù)可寫成。由于每一個超額需求函數(shù)都是連續(xù)的，所以也

是連續(xù)的，因而k個函數(shù)是的連續(xù)函數(shù)，并且函數(shù)值也位于之中。這

樣，對所有的函數(shù)應(yīng)用不動點(diǎn)定理，從