2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第5講：空間直線平面的垂直（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第5講：空間直線平面的垂

直學(xué)生版

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

I.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果條直線與個(gè)平

/nUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂

判定定理

直，那么該直線與此平7

/_Lm

而垂直

ah

垂直于同一個(gè)平面的兩a-La]

性質(zhì)定理

條直線平行匚27

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的

角.一條直線垂直于平面，我冶說(shuō)它們所成的角是鷺；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，

我們說(shuō)它們所成的角是(2)范圍：［(),f.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面帶.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角。一/一尸的樓/上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)。為垂足，在半平

面a和小內(nèi)分別作垂直王撞1的射線OA和OB,則射戰(zhàn)OA和OB構(gòu)成的NAOB叫做二面角

的平面角.

第I頁(yè)共37頁(yè)

(3)二面用的范圍：10,E

4.平而與平而垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)

判定定理平面的垂線,那么這兩

￡,

個(gè)平面垂直_/

兩個(gè)平面垂直，如果一

aJJ、

個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直

a-6=a

性質(zhì)定理于這兩個(gè)平面的交線,

lA-a

那么這條直線與另一個(gè)r/

平面垂直

【常用結(jié)論】

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這

條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則LLa.()

(2)若直線a_La,則"〃〃.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()

(4)若aJL￡,a邛,則。〃a.()

【教材改編題】

1.(多選)下列命題中不正確的是()

A.如果直線a不垂直于平面”，那么平面〃內(nèi)一定不存在直線垂直于直線a

B.如果平面a垂直于平面尸，那么平面a內(nèi)一定不存在直線平行于平面夕

C.如果直線〃垂直于平面a,那么平面a內(nèi)?定不存在直線平行于直線”

第2頁(yè)共37頁(yè)

D.如果平面a_L平面從那么平面。內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

2.如圖，在正方形SGiG2G34，E,b分別是GIGI，G2G3的中點(diǎn)，3是政的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿

SE,Sr及E尸把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G”G.G,三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G,

則在四面體S-EFG中必有()

A.SG_LZ\￡7P所在平面

B.SO_LZkEFG所在平面

C.G"_LZ\SE”所在平面

D.GO_!_△$￡尸所在平面

3.已知P。垂直于正方形A8CO所在的平面，連接PB,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂

直的平面有對(duì).

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例I(1)已知/,〃?是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_!_〃？：②6〃a：?/±a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題.

(2)(2023?婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC-A^iC\中，點(diǎn)也在底面八8。內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.

①若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，且。A=O8,證明：A8_LCG.

②已知BiG=2,8C=2小,求△8CG的周長(zhǎng).

第3頁(yè)共37頁(yè)

跟蹤訓(xùn)練I如圖，在止方體43CD—4囪GG中，E,"分別是棱C。，4d的中點(diǎn).

(1)求證：ABilBFi

(2)求證:AELBFi

(3)棱CG上是否存在點(diǎn)兒使6EL平面若存在，確定點(diǎn)產(chǎn)的位置，若不存白，說(shuō)明

理由.

第4頁(yè)共37頁(yè)

題型二平面與平面垂直的判定與性偵

例2(2023?桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P-ABCO中，底面ABCD是矩形，平面PAD1

底面A3C。且/W=l,R\=AD=PD=2,E為PO的中點(diǎn).

(I)求證：平面PCOJ■平面ACE：

(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

第5頁(yè)共37頁(yè)

跟蹤訓(xùn)練2(2022?邯鄲模擬)如圖，在四棱錐產(chǎn)一八8C。中，AB//CD,ABA.AD,CD=2AB,

平面％。_1_平而八BCD,PAA.AD,E和尸分別是。。和PC的口點(diǎn)，求證：

平面八〃C￡＞：

(2)平面3E”〃平面PAD,

(3)平而8￡F_L平面PCD.

第6頁(yè)共37頁(yè)

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，已知人8。。一人向是底而為正方形的長(zhǎng)方體，乙4。4=60。，八功=4,點(diǎn)

尸是Ad上的動(dòng)點(diǎn).

⑴試判斷不論點(diǎn)尸在月外上的任何位置.，是否都有平面8兩_L平面AAQiQ,并證明你的結(jié)

論:

(2)當(dāng)尸為AG的中點(diǎn)時(shí)，求界面直線AAi與8P所成的角的余弦值;

(3)求PB】與平面AAA。所成的角的正切值的最大值.

第7頁(yè)共37頁(yè)

跟蹤訓(xùn)練3(2023?柳州模擬)如圖，在三棱錐產(chǎn)一48c中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=26，。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：。0_1_平面48。；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且PM與平面A8C所成角的正切值為乖，求二面角的平

面角的余弦值.

第8頁(yè)共37頁(yè)

第9頁(yè)共37頁(yè)

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.（多選）若平面a,//滿足al/?，aCB=l，P《a,用/,則下到命題中是真命題的為（）

A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面a的直線平行于平面￡

B.過(guò)點(diǎn)/）垂直于直線/的直線在平面〃內(nèi)

C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面夕的直線在平面a內(nèi)

D.過(guò)點(diǎn)。且在平面a內(nèi)垂直于/的直線必垂直于平面/?

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，與△PBC是正三角形，平面見B_L平面PBC^ACLBD,

則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.BPA.ACB.。。_1_平面48。。

C.ACA.PDD.平面PBO_L平面ABCQ

3.如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiG中,ZBAC=90°,5G_LAC,則Ci在底面A8C上的射影

H必在（）

A.直線八8上

B.直線AC上

C.直線八C上

D.ZSABC內(nèi)部

4.（多選）如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A8與平面COE垂直的是（）

5.（多選）（2022?齊齊哈爾模擬）若〃?，〃是兩條不同的直線，a,7是三個(gè)不同的平面，則下

第10頁(yè)共37頁(yè)

列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若〃JU夕，a邛,則切_La

B.若〃，〃a,〃〃a,則〃

C.若m//a,則a_L/?

D.若a_Ly,a_L夕，則夕_Ly

6.（多選）在長(zhǎng)方體ABC。-A18iCQ中,已知小。與平面A8C。和平面448由所成的角均

為30。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AB=yf2AD

B.AB與平面A3CN所成的用為30。

C.AC=CB\

D.DD與平面33CC所成的角為45。

7.如圖所示，在四棱錐尸一4BCO中，附_L底而A8C。，且底面各邊都相等，M是PC上的

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足條件：①8M_LOM,②OM_LPC,③BM_LPC中的時(shí)，平面

M8Q_L平面PCQ（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可）.

8.在矩形48C。中，AB<BC,現(xiàn)將△ABO沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻

折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線3。垂直；

②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線C。垂直：

③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線8C垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

9.如圖所示，在四棱錐中，底面八8CZ）是N￡M8=60咀邊長(zhǎng)為。的菱形，側(cè)面必。

為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，若G為A。的中點(diǎn).

第II頁(yè)共37頁(yè)

(1)求證：8G_L平面BW：

(2)求證：ADIPBt

(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在樓。C上找到一點(diǎn)尸，使平面D￡FJ_平面4BC。？并證明你

的結(jié)論.

10.(2023?廣州模擬)如圖，在三棱錐P-A8C中，平面見C_L平面P8C,抄1_L平面A8C

第12頁(yè)共37頁(yè)

AB

(1)求證：8cL平面以C；

(2)若AC=8C=%,求二面角A-P8-C的平而角的大小.

巳綜合提升練

第13頁(yè)共37頁(yè)

II.如圖，止三角形外。所在平面與止方形A3CD所在平面互相垂直，O為止方形A8C。的

中心，M為正方形八8c。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP=M。，則點(diǎn)M的軌跡為（）

C

12.（多選）如圖所示，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為4,B,C,。分別是其四條邊的

中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得外，巳，B，A四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面

體.下列關(guān)于該多面體的命題正確的是（）

Pu------2——A

八

//、、

//、、

//、

O

A.該多面體是四棱錐

B.平面3ADJL平面8C。

C.平面區(qū)4。，平面AC。

D.該多面體外接球的表面積晶/

13.（多選）如圖，在正方體4/3CO—48iG小中，點(diǎn)P在線段SC上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.直線平面ACQ

B.三棱錐/＞一4G。的體積為定值

C.異面直線AP與A0所成角的取值范圍是后，

第14頁(yè)共37頁(yè)

D.直線GP與平面AC。所成角的正弦值的最大值喈

2

14.如圖，在矩形A8C。中，點(diǎn)后"分別在線段AB,AD上，AE=EB=AF=^FD=4,沿

直線E廠將尸翻折成EF,使平面A'￡r_!_平面則二面角A'一尸。一。的平

面角的余弦值為.

巳拓展沖刺練

15.劉徽注《九章算術(shù)?商功》“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其?為陽(yáng)馬，?為鱉膈.陽(yáng)

馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉，嚅三而一，驗(yàn)之以蒸，其形露矣.”如圖1解釋了

由一個(gè)長(zhǎng)方體得到'’望堵”“陽(yáng)馬”“鱉席”的過(guò)程.空堵是底面為直角三角形的直棱柱；

陽(yáng)馬是一條側(cè)梭垂直于底而且底面為矩形的四棱錐:鱉脯是四個(gè)面都為直角三角形的四而體.

圖1

圖2

在如圖2所示由正方體ABCO-AiBiGG得到的塹堵48。-48心中，當(dāng)點(diǎn)P在下列三個(gè)位

置:A/中點(diǎn)，48中點(diǎn)，4C中點(diǎn)時(shí)，分別形成的四面體P-ABC中，鱉嚅的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

16.在長(zhǎng)方體八3c。-ASCQi中，已知八8=2,BC=t,若在線段A8上存在點(diǎn)E,使得

EG1ED,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

第15頁(yè)共37頁(yè)

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第5講：空間直線平面的垂

直教師版

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平而〃內(nèi)的任意二直線都垂直，就說(shuō)直線/與平而a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一條直線與一個(gè)平/Ua、

面內(nèi)的兩條相交宜線垂

判定定理〉今LLa

直，那么該直線與此平7

/_L

面垂直

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩“■La

性質(zhì)定理匚■^a//b

條直線平行27b工a

2.直線和平面所成的角

⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的

角.一條直線垂直于平面，我均說(shuō)它們所成的角是維：一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，

我們說(shuō)它們所成的角是￡.

(2)范圍：［o,升

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面旃.

(2)二面角的平面角：如圖，在一面角口一/一4的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平

而a和尸內(nèi)分別作垂直于棱/的射線OA和08,則射線OA和0B構(gòu)成的NA08叫做二面角

的平面角.

第16頁(yè)共37頁(yè)

BB

(3)二面角的范圍：10,汨.

4.平面與平面垂直

(I)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表不符號(hào)表示

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)

判定定理平面的垂線,那么這兩

個(gè)平面垂直￡」

兩個(gè)平面垂直，如果一

、

個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直a±/?

性質(zhì)定理于這兩個(gè)平面的交線,>=>/±a

LLa

那么這條直線與另一個(gè)

力2J/u〃,

平面垂直

【常用結(jié)論】

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這

條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則LLa.(X)

(2)若直線a_La,bLa,則a〃〃.(J)

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直寸月一個(gè)平面.(X)

(4)若a",a",則。〃a.(X)

【教材改編題】

I.(多選)下列命題中不正確的是()

A.如果直線a不垂直于平而”，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于直線a

第17頁(yè)共37頁(yè)

B.如果平面a垂直于平面從那么平面a內(nèi)一定不存在直線平仃于平面尸

C.如果直線。垂直于平面a,那么平而?內(nèi)一定不存在直線平行于直線a

D.如果平面a_L平面由那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

答案ABD

解析若直線。垂直于平面a,則直線〃垂直于平面a內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項(xiàng)

均不正確.

2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E,E分別是GO?，G2G3的中點(diǎn)，。是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿

S￡,SF及石廠杷這個(gè)正方形折成?個(gè)四面體.使G.G2.G3:點(diǎn)重合.重合后的點(diǎn)記為G.

則在四面體S-EFG中必有（）

A.SG_LaEFG所在平面

B.SO_LZ\￡FG所在平面

C.GF_L所在平面

D.GO_LZ\S￡尸所在平面

答案A

解析四面體S-EFG如圖所示，由SG_LGE,SG±GFt

GERGF=G且GE,G"<=平面EFG得SG_LAE"G所在平面.

3.已知P。垂直于正方形ABC。所在的平面，連接PB,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂

直的平面有對(duì).

答案7

解析如圖，由于尸。垂直于正方形ABC。,故平面PDAJL平面ABC。,平面尸DB_L平面ABCD,

平面。。。_1平面ABCD,平面PD4J_平面PDC,平面/%C_L平面PDB,平面附8_L平面PAD,

平面尸4。_1平面尸。C,共7玄.

第18頁(yè)共37頁(yè)

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例I（1）已知是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_!_/〃；②〃i〃a；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題________.

答案②③今①（或①③=>②）

解析已知/，川是平面a外的兩條不同直線，由①/_!_州與②"〃a,不能推出③LLa,因?yàn)?/p>

/可以與a平行，也可以相交不垂直；由①/與③/_La能推出②"?〃a；由②用〃a與③/_La

可以推出①

⑵（2023?婁底模擬）如圖，在三棱柱ABC-4SG中，點(diǎn)所在底面A8C內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.

①若點(diǎn)。是AC1的中點(diǎn)，DA=DB,證明：A8_LCCi.

②己知81G=2,B1C=2小,求△BCG的周長(zhǎng).

（宓明???點(diǎn)Bi在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)C,

平面ABC,

〈ABU平面ABC,

在△ABC中，DA=DB=DC,:,BC工AB,

VBCnB|C=GBC,8|CU平面BCGBi,

???4H_L平面BCCiBi,

〈CGU平面8CG&,：.AB1CC\.

②解如圖，延長(zhǎng)3c至點(diǎn)￡使3C=CE,

連接GE,則四邊形閉CEG為平行四邊形,

則GE繡51c.

由①知8C_L平面ABC,???CiE_L平面A3C,

,:CE、8EU平面48C,

:CE工CE,CiELBE,

第19頁(yè)共37頁(yè)

?；GE=BiC=2木,CE=BC=BC=2,BE=4,

/.CCi=yJCE2+CiE2=4,BCi=y/BE2+CiE2=277,

.??△BCG的周長(zhǎng)為2+4+2干=6+2市.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

⑴證明直線和平面垂直的常用方法:①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃〃,"_La吟"La);

③面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃我=>a_L/O；④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體A3CD4囪。。中，E,尸分別是楂CD,45的中點(diǎn).

(1)求證：A8i_L3F：

(2)求證：AElBFx

(3)棱CG上是否存在點(diǎn)兒使平面AEP?若存在，確定點(diǎn)〃的位置，若不存在，說(shuō)明

理由.

⑴證明如圖，連接4波,則A5J_4山,

因?yàn)锳iF_L平面A見Mi,A&U平面A8&A,

所以A/_LABi,

又48nAF=A,

所以A8i_L平面ABE又BFU平面AiBF,所以八S_LBE

(2)證明如圖，取棱AO的中點(diǎn)G,連接bG,BG,則FG_L4E,

因?yàn)榘?=。人，AG=DE,ZBAG=ZADE,所以△加G烏△?/)￡,所以NA8G=/D4E.

所以AE18G.又因?yàn)?GC"G=G,所以AE_L平面8"G.

又BFU平面BFG,所以AEA.BF.

⑶解存在.如圖，取棱CG的中點(diǎn)P,即為所求.連接EP,AP,CiD,因?yàn)镋P〃GZ),

C\D//AB\,所以EP〃A8i.

由⑴知ABi_L3尸，所以BF_LEP.

又由(2)知A￡LA凡且4ECEP=E,

第20頁(yè)共37頁(yè)

所以5”_L平面AEP.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2023?桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P—A8C。中，底面ABCD是矩形，平面PADA.

底面A8c。且48=1,l^=AD=PD=2,￡為/少的中點(diǎn).

(1)求證：平面PCO_L平面ACE；

(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

(1)證明由21=/1O=P。，E為PD的中點(diǎn)、,可得A￡_LP。，

因?yàn)镃OJLA。，平面小。_1_平面48C。，平面出0n平面48c7)=A。，COU平面ABC。，所

以CO_L平面PAD.

而AEU平面以。，所以CQJLAE,

由CDCPD=D,則A￡_L平面PCD,

又AEU平面AC￡,所以平面PC。_L平面ACE.

⑵解如圖，連接8。，與4C交于O,則。為8。的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。到平面ACE的距離即為點(diǎn)8到平面ACE的距離.

由平面PCO_L平面ACE,過(guò)Z)作。M_LCE,垂足為M,

則DW_L平面ACE.則DM為點(diǎn)D到平面ACE的距離.

由CO_L平面%O,可得CD1PO,

又CD=DE=1,所以O(shè)M=TcE=乎，

即點(diǎn)8到平面ACE的距離為理.

思維升華(I)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直

線”.②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

跟蹤訓(xùn)練2(2022?邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P—48C。中，AB//CD,ABA.AD,CD=2AB,

第21頁(yè)共37頁(yè)

平面以"_L平面A8C。，PA±AD,E和”分別是C。和尸。的白點(diǎn)，求證:

⑴%J_平面ABC。；

⑵平面BEF//平面PAD,

(3)平面平面PCD.

證明(I)；平面/%QJ_平面ABCDt

且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AO,

，/%_L平面ABCD.

(2Y：AB//CD,CD=2AB,E是C。的中點(diǎn)，

：.AB//DE,且

.??四邊形ABE。是平行四邊形，：.AD//BE,

???BEC平面用。，AOU平面以。，〃平面附D,

YE和尸分別是CO和PC的口點(diǎn)，尸〃PO,

「足/口平面以。，POU平面外。，???￡：〃〃平面力￡),

*：BECEF=E,BE,EFU平面8EE,

.??平面8E/〃平面PAD.

(3)V45±4D,，平行四邊形ABE。是矩形，工BE1.CD,ADICD,

由①知出_L平面ABC。，._LCD,

PAQAD=A,

???CD_L平面PAD,：.CD±PDt

TE和"分別是CD和PC的口點(diǎn),:?PD〃EF,

：,CD±EFf又?：BECEF=E,:?CD工平面BEF,

VCDC平面PCD,平面BEFL平面PCD.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，已知A8CD—ABiGG是底面為正方形的長(zhǎng)方體,ZADiAi=60°,孫=4,點(diǎn)

一是4/%上的動(dòng)點(diǎn).

第22頁(yè)共37頁(yè)

⑴試判斷不論點(diǎn)P在上的任何位置，是否都有平面B%_L平面A4。。，并證明你的結(jié)

論：

（2）當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線A/L與8P所成的角的余弦值；

⑶求PBi與平面AA^D所成妁角的正切值的最大值.

解（1）是.???84_L平面/Ui。。，84U平面8月1,

???平面8網(wǎng)_1_平面AAiDiDt

...無(wú)論點(diǎn)P在人。上的任何位置，都有平面8布_1_平面AA}DiD.

⑵過(guò)點(diǎn)尸作PELAIOI,垂足為區(qū)連接叢E,如圖，

則PE//AAif

???NB|PE（或其補(bǔ)角）是異面直線AAi與8/所成的角.

在RtAMiDi中，

???Z4D|A|=60°,

???NAMDi=30。，

=A[I)i=54。|=2,

====

??A\E"QA\1)\I(AA\yj3A\D\2,^3,

，PE=y人產(chǎn)小，&E=*\/4歷+4序=小,

???在RtZiBiPE中,

B/=、B/序=26,

一“PEA/3_A/6

3/5「石=布=苑=%

.?.異面直線44與8儼所成的角的余弦值為乎.

(3)由⑴知,歷4」平面A4QiD,

:.N8iM是PBi與平面AAiDiD所成的角，

第23頁(yè)共37頁(yè)

..tanZBiB4i-4ip-4iP

???當(dāng)AP最小時(shí),tanN51Pl最大,

這時(shí)A|P_LAOi,

A\DVAA

4P=AD\

2行

得tanZ/ii/!4i="2?

即PD｛與平面A/1|D,D所成的角的正切值的最大值為乎.

思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相

關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

跟蹤訓(xùn)練3(2023?柳州模擬)如圖，在三棱錐/,一48。中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=2?O為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面八8C：

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且與平面ABC所成角的正切值為#,求二面角歷一附一。的平

而角的余弦值.

⑴證明方法一如圖，連接。及

:AB=BC=2,AC=2?

222

：.AB-l-BC=ACt

即aABC是直角三角形，

又。為4c的中點(diǎn)，

：.OA=OB=OC,

又,：M=PB=PC,

△POAg△POB邊△POC,

第24頁(yè)共37頁(yè)

:./POA=4POB=ZPOC=90°.

：.POA.AC,POLOB,

?：OBOAC=O,OB,4C<=平面A5C,

平面ABC.

方法二如圖，連接OB,

*：PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，M=PB=PC=AC=26,

：.PO1AC,。。=#,

又???A"=〃C=2,

：.ABLBC,BO=?

；?PG+OB2=PB,

：.POLOB,

\'OBC\AC=O,OB,ACU平面ABC,

??.〃O_L平面ABC.

(2)解由(1)知，PO±平面ABC,

：,OM為PM在平面48c上的射影，

...ZPMO為PM與平面ABC所成角，

,：tan々“0=焉=急=瓜

：.OM=\t

在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC=1,

為8c的中點(diǎn).

如圖，作M￡_LA。交人。于E,

則E為OC的中點(diǎn)，作E凡!_必交附于凡連接MF,

：.MF±E\,

???/MFE即為所求二面角“一小一。的平面角，ME=^,

近

孚

多33

沂

E尸EX-X

-24

MF=y/ME2+EF2=^,

第25頁(yè)共37頁(yè)

“_3屈

/.cosZMFE—~MF=31

故二面角M—附一C的平面角的余弦值為嘴.

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（多選）若平面a,夕滿足a±AaCifi=l,P^a,Pdl,則下歹I命題中是真命題的為（）

A.過(guò)點(diǎn)。垂直于平面a的直線平行于平面夕

B.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線/的直線在平面a內(nèi)

C.過(guò)點(diǎn)。垂直于平面0的直線在平面。內(nèi)

D.過(guò)點(diǎn)/，且在平面a內(nèi)垂直于/的直線必垂直于平面小

答案ACD

解析由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面a的直線必平行于平面;?內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于

平面夕，因此A正確；過(guò)點(diǎn)「垂直于直線/的直線有可能垂直于平面a,不一定在平面a內(nèi)，

因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C,D正確.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，與△PBC是正三角形，平面見B_L平面PBC.ACA.BD,

則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.BPLACB.PO_L平面48C。

C.ACA.PDD.平面PBO_L平面ABCQ

答案B

解析如圖，取線段8P的中點(diǎn)0,連接。A,0C,易得8P_LQ4,BPLOC,又

O,所以3匕L平面O4C,所以8尸_LAC,故選項(xiàng)A正確；又AC_L8。，所以

AC_L平面P8O,所以4C_LPD,故選項(xiàng)C正確；又ACU平面八BCD,所以平面平面

ABCD,故選項(xiàng)D正確.

3.如圖,在斜三棱柱ABC-Ai8iG中,ZBAC=90°,BG_LAC,則G在底面48。上的射影

H必在（）

第26頁(yè)共37頁(yè)

B.

導(dǎo)、

A.直線AB上

B.直線BC上

C.直線AC上

D.△ABC內(nèi)部

答案A

解析連接AG（圖略），由AC1ASACIBCi,ABCBG=B,得ACJL平面ABG.TACu平

面ABC,，平面48G_L平面ABC..,.Ct在平面ABC上的射影H必在平面ABCs與平面ABC

的交線AB上.

4.（多選）如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A8與平面COE垂直的是（）

答案BD

解析對(duì)于A,顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于B,因?yàn)锳B1CE,

AB±EDt且CECED=E,所以A8_L平面COE；對(duì)于C,顯然A8與CE不垂直，所以直線

AB與平面CDE不垂直；對(duì)于D,因?yàn)镋￡）_L平面ABC,則EDA.AB,同理CE_LAB,因?yàn)?/p>

EDRCE=E,所以A8_L平面

5.（多選）（2022?齊齊哈爾模擬）若/〃，〃是兩條不同的直線，a,5y是三個(gè)不同的平面,則下

列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若a±/??則〃】_La

B.若/"〃a,n//a,則“?〃“

C.若/〃_L夕，/〃〃a,貝ija_L〃

D.若a_L7,a邛,則4_L>

答案ABD

解析由/〃，〃是兩條不同的直線，a,夕，y是三個(gè)不同的平面，

在A中，若〃?U“，aLp,則決與a相交、平行或mUa,故A錯(cuò)誤；

在B中，若,〃〃a,則加與〃相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；

在C中，若m//a,則占面面垂直的判定定理得al",改C正確；

在D中，若a_L>,a邛,則/與y相交或平行，故D錯(cuò)誤.

6.（多選）在長(zhǎng)方體ABCO—ABiGd中，6知BQ與平面A8CD和平面相必歸所成的角均

第27頁(yè)共37頁(yè)

為30。，則卜列說(shuō)法止確的是（）

A.AB=y[2AD

B.AA與平面A%G。所成的%為30。

C.AC=CBi

D.8力與平面BBCC所成的角為45。

答案AD

解析如圖，連接3D,易知是直線5。與平面A3C。所成的角,

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30°,

設(shè)4%=1,則8］。=28%=2,

BD=7BD-BBY=P

易知NA?。是直線BiD與平面AA^B所成的角,

所以在RtAADfii中，ZABiD=30°.

因?yàn)镕。=2,所以4。=；%。=1,

ABEBD-AD2：5

所以在RtZ\A88i中，AH=y/A^~B^=y/2=y/2AD,所以A項(xiàng)正確；

易知NBAS是直線AB與平面ASGO所成的角，

因?yàn)樵趕inN8A8尸耦呼鳥,

所以NBASH30。，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；

在RtAC?/?i中，CBi=7BC2+BB：=巾,

而AC=y/AB?+BC2=小,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；

易知NO8C是直線81。與平面KBiGC所成的角，

因?yàn)樵赗iZWB〈中，C3I=CD=JL所以NO5C=45。，所以D項(xiàng)正確.

7.如圖所示，在四棱錐P-A6CO中，用_1_底面A8CO,且底面各邊都相等，M是。。上的

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足條件：①②。M_LFC,③6M_LPC中的時(shí)，平面

MW）_L平面〃CD（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是止確的條件序號(hào)即可）.

第28頁(yè)共37頁(yè)

M

答案②（或③）

解析連接AC（圖略）???用，底面ABCD,.?.%_L4D...?底面各邊都相等，：,AC1BD.

V/Mn4C=4,.?.8。_1_平面用€\:.BD工PC.

當(dāng)OM_LPC（或BMJ_PC）時(shí)，印有PC_L平面MBD,

而PCU邛面PCD,：.邛面M3。_L邛面PCD.

8.在矩形ABC。中，AB<BC,現(xiàn)將AAB。沿矩形的對(duì)角線8。所在的直線進(jìn)行翻折，在翻

折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線8。垂直：

②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線C。垂直；

③存在某個(gè)位置，使得直線A0與直線8C垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案②

AELBD

解析①假設(shè)AC與3。垂直，過(guò)點(diǎn)A作AE_L3。于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示.則\

BDLAC]

=>8/）_L平面AEG則8OJ_CE,而在平面8c。中，CE與8。不垂直，故假設(shè)不成立，①不

正確；

②假設(shè)人?.?八8_L/1。，。。0人。=。，平面八CO,.?.八8_L/1C,由人8<BC可知，

存在這樣的直角三角形，使ABJ_AC,故假設(shè)成立，②正確；

③假設(shè)AO_L8C,,:CD工BC,ADC\CD=Dt，8C_L平面ACO,：.BC±AC,即△ABC為直

角三角形，且AB為斜邊，而A8<3C,故矛盾，假設(shè)不成立，③不正確.

9.如圖所示，在四極錐。一A8CO中，底面相。3是ND48=60。且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD

為正三角形，其所在平面垂直于底面A5CO,若G為A。的中點(diǎn).

（1）求證：BG_L平面小Q；

（2）求證：ADA-PB-.

第29頁(yè)共37頁(yè)

(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面DE/LL平面ABCDi并證明你

的結(jié)論.

⑴證明在菱形A8C。中，ND43=60。，G為A。的中點(diǎn)，

所以BGA-AD.

又平面出。，平面ABC。，平面以0n平面ABCO=A。，BGU平面ABC。，所以BG_L平面

PAD.

(2)證明如圖，連接PG,因?yàn)椤饕?。為正三角形，G為線段乂。的中點(diǎn)，

所以PG1AD.

由(1)知8G_LA。，又PGCBG=G,所以4D_L平面PGA

因?yàn)镻8U平面PG&所以AZ)_LP5.

(3)解能，當(dāng)/為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，平面。E以L平面證明如下：

如圖，取線段PC的中點(diǎn)F,連接?！闑F,DF.

在中，F(xiàn)E//PB,在菱形ABCD中,GB//DE.

而產(chǎn)EU平面DEF,OEU平面DEFtEFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PGB,PBCGB

=B,所以平面?！ㄆ矫鍼G及

因?yàn)槠矫嫘?。_L平面ABC。，平面小OG平面4800=八。，PGU平面％。，PG±ADt所以

PG_L平面ABCD.

又PGU平面PG從所以平面PG8_L平面ABCD,

所以平面DE尸上平面ABCD.

10.(2023?廣州模擬)如圖，在三核錐〃一A6c中，平面掰CJ■平面/%C,E4_L平面ABC.

(1)求證:BCJL平面B4C；

(2)若4C=3C=B4,求二面角4一/>8—。的平面角的大小.

⑴證明如圖，作AO_LPC交PC于點(diǎn)。，

第30頁(yè)共37頁(yè)

因?yàn)槠矫娓紺J_平面尸8C,平面%CC平面PBC=PC,4。仁平面以C,

所以AOJ_平面P8C,

又4CU平面PBC,所以AO_LZ?C,

又因?yàn)榍衅矫鍭BC,8CU平面A8C,

所以PAYBC,

又布，AOU平面B4C,附04。=4,

所以BC_L平面PAC.

⑵解如圖，作4。_1_尸。交尸C于點(diǎn)。，交/,8于點(diǎn)E,連接AE,

由（1）知A￡）_L平面PBC,

因?yàn)镻BU平面PBC,則AD1PB,

又人。，OEU平面AOE,ADQDE=D,

所以尸8JL平面4DE,

因?yàn)?￡<=平面ADE,

所以PBLAE,

則N4EO即為二面角4—P3—C的平面角.

又DEU平面PBC,則ADLDE,

不妨