2024年高考數(shù)學考前訓練題

2024年高考數(shù)學考前訓練題

1.如圖，在三棱臺ABC-AiBCi中,平面A4CCJ_平面ABC,NABC=90°,AA\=AiCi

=CiC=2,AC=4,8C=2,點。是AC的中點.

(I)求證：0。〃平面AB814：

(II)求直線BCi與平面所成角的正弦值.

A

B

【分析】(【)證明OG〃A4得出0?！ㄆ矫鍭MiAi；

(II)建立空間坐標系，求出平面A6加4的法向量云計算％和虎］的夾角得出線面角.

【解答】(［)證明：由題意可知：/IJG=^AC=A0,A\C\//AO,

所以四邊形AAxCxO為平行四邊形，

所以OG〃A4i,又仁平面人AAiu平面A8814,

所以0?！ㄆ矫嫒?8M1.

(II)解：建立如圖所示空間直角坐標系A-x)，z,

則A(0,0,0),3,0),C(0,4,0),&(0,1,V3),G(0,3,V3),

：.BCi=(-V3,0,V3),AB=(百，3,0),AAX=(0,I,百)，

設］=(x,y,z)是平面ABB\A\的法向量,

則”=0即yx+3y=0

取y=-Vl貝比=（3,一百，1）,

ly+V3z=0

n-AAX=0

設BC\與平面ABB\A\所成角為仇

._.":InKCd273726

則linlsinn8=|cosVBCi,n>|=——4=,亡=TT-

IM-'13XV6-

-A

y

【點評】本題考查了線面平行的判定，考查空間向量與線面角的計算，屬于中檔題.

2.如圖，?。_1_平面/18。。，DCLAD,BC//AD,PD：DC：BC=\：1：41.

(1)若AD=DC,求異面直線附，8c所成的角：

(2)求P8與平面PDC所成角大?。?/p>

(3)求二面角。?C的正切值.

【分析】(I)根據(jù)異面直線所成角的定義進行求解，

(2)根據(jù)直線和平面所成用的定義進行求解，

(3)根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進行求解.

【解答】(1)解：由已知得異面直線附，BC所成的角為直線以與4。所成的角為/附。

=45°

(2)解：由已知得8C與平面POC垂直，所以巴?與平面POC所成角為/CP8=45°

(3)解：取PC中點E,連接?！陝tDE1PC

由于8C_L平面PDC,所以P8C_L平面PDC,從而。E_L平面C,做EFLPB于點F,連

接。尸，可得OF1P8

所以/DFE為二面角。-C的平面角.

計算可得QE=?，

所以二面角D-PB-C的正切值為戒.

【點評】本題主要考查空間角的計算，涉及根據(jù)異面直線，線面角以及二面角的定義分

別作出對應的平面角是解決本題的關鍵.

3.如圖，在四梭錐尸-A8CO中，底而ABCD為直角梯形,AD//BC,BC=工。=1且CD=V5,

E為A。的中點，尸是棱際的中點，PA=2,尸E_L底面A8C。，ADLCD.

（I）證明：引"平面PCD；

（II）求二面角P-3。-尸的正弦值；

（III）在線段PC（不含端點）上是否存在一點M,使得直線8M和平面廠所成角的

V39

正弦值為-7??？若存在，求出此時PM的長：若不存在，說明理由.

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【分析】（I）取PO的中點為從連接尸”，證明四邊形8C”尸為平行四邊形，推

出B尸〃“C,然后證明Bf//平面FCD.

（I）證明四邊形8COE為矩形，如圖建立空間直角坐標系E-.pz,求出平而PCO的法

向量，通過晶?藐二0,證明B尸〃平面BCD.

（H）求出平面PBD的法向量，平面BDF的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角

的余弦值，轉化求解正弦值.

（HI）求出平面8?！钡姆ㄏ蛄?，求出俞=加+。力=（一九-V3+V3A,V3-V3A）,

利用空間向量的數(shù)量積，求入=1,然后求解|P%|.

【解答】解：（I）法一：取P。的中點為從

連接”H,HC.因為尸為雨的中點，所以產(chǎn)

又因為BC||%D,所以8CIIFH,所以四邊形為平行四邊形,

所以BF//HC,

又因為HCu平面PCD,3Mt平面尸CD,所以平面尸CD.

(I)法二：由題意得：BCIIDE,NAZ)C=9(T,

所以四邊形8CQE為矩形，

又2￡1_面人以笫，

如圖建立空間直角坐標系￡-X”，

則E(0,0,0),4(1,0,0),8(0,VI,0),。(?1,0,0),P(0,0,百)，。(-1,

V3,0),F8，0,孚)

設平面PCQ的法向量為益=Q,y,z),DC=(0,V3,0),而=(1,0,V3)

則DC./=加=0,

DPm=.r4-y/3z=0

則y=0,不妨設％=—73,則z=I,

可得藍=(―V3,0,1)

又BF=&,—43,竽)，可得BFm=0,

又因為直線8尸C平而BCD,所以8F〃平面BCD.

(H)設平面P8。的法向量為%二(不，為，Zi),DB=(L遍，0),BP=(0,-V3,

6),

則空空二°,即■看"不妨加3可嗝3f7,

BP?%=0

設平面8/)F的法向量為改=(0，y2,Z2),。卜=6，0,

空.弓=0,即必+、哥2=0…L,Tr-

則3同，不妨設％2=百，可得?12=(-6，1，3),

尹2+^Z2=°

DF-n2=0

因此有COS{3，=弓目=

65

|nil|n2|

(注：結果正負取決于法向量方向)

2

于是sizi近，n2)=11—cos(nj,n2)=

4v,65

所以二面角P-BD-F的正弦值為丁丁

（注：前面設角后面不寫答話不扣分）

（IH）設茄=/1而=4（一1,V5,一6）=（一九6九-\/3A）,Ae（O,\）BM=BP+

PM=（-A,-x^3+V3/l,V3-V3A）,

T-

由（II）可知平面RDF的法向量為6=（一通,