專題4最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)-五年級上冊數(shù)學(xué)計算大通關(guān)（北師大版）

專題4最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)（考點梳理+通關(guān)練習(xí)）【考點梳理】1、幾個數(shù)相同的因數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公因數(shù);其中最大的一個叫作它們的最大公因數(shù)。2、求兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法：

（1）列舉法

（2）篩選法

（3）短除法

（4）分解質(zhì)因數(shù)法。3、幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個，叫作它們的最小公倍數(shù)。4、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法:先分別寫出兩個數(shù)各自的倍數(shù)，再從中找出它們的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。5、當(dāng)較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)時，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是較大數(shù)。6、當(dāng)兩個數(shù)只有公因數(shù)1時，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積?！就P(guān)練習(xí)】一、計算題1．求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。8和10

12和18

13和392．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。15和30

25和20

12和18

7和133．用短除法求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。12和48

32和284．寫出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。8和9

51和17

18和245．求下列每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。2和5

4和6

7和496．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。2和5

3和97．求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。7和11

24和96

12和188．求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。36和4813和199．寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。8和9

11和33

12和1510．找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。16和32

38和57

13和511．求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。8和9

36和54

17和5112．求下列各數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和27

75和60

42和1413．求出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。8和2

12和20

7和8

15和7514．寫出各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。（1）4和5

（2）6和9

（3）4和815．求下列每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。45和60

17和51

8和1916．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。24和36

11和13

16和3217．求下列各數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

8和9

65和1318．寫出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)．28和14

17和19

15和2019．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。6和10

18和24

34和1720．寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。2和8

12和18

10和25

7和921．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。10和9

14和42

16和24

8和3222．求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。9和15

22和33

7和1423．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。21和49

18和72

6和1324．用短除法求下列每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和30

36和1225．找出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。28和7

5和8

8和9參考答案1．40；36；39【分析】求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，先把它們分別分解質(zhì)因數(shù)，再將公有質(zhì)因數(shù)和獨有質(zhì)因數(shù)相乘即可；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則較大的數(shù)是它倆的最小公倍數(shù)?！驹斀狻?＝2×2×210＝2×5則8和10的最小公倍數(shù)：2×2×2×5＝4012＝2×2×318＝2×3×3所以12和18的最小公倍數(shù)：2×2×3×3＝3639÷13＝3所以13和39的最小公倍數(shù)是392．15和30的最大公因數(shù)是15；最小公倍數(shù)是30；25和20的最大公因數(shù)是5；最小公倍數(shù)是100；12和18的最大公因數(shù)是6；最小公倍數(shù)是36；7和13的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是91【分析】對于一般的兩個數(shù)來說，這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；對于兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積；據(jù)此解答。【詳解】因為30÷15＝2，即30和15成倍數(shù)關(guān)系，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是30；25＝5×520＝2×2×525和20的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)是：2×2×5×5＝100；12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是：2×2×3×3＝36；7和13是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是13×7＝91。3．12和48的最大公因數(shù)是12；最小公倍數(shù)是48；32和28的最大公因數(shù)是4；最小公倍數(shù)是224?！痉治觥坑枚坛ㄇ髢蓚€數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時，從兩個數(shù)公有的最小質(zhì)因數(shù)除起，一直除下去，直到除得的兩個商互質(zhì)為止。再把所有的除數(shù)連乘起來，所得積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。最小公倍數(shù)就是所有公因數(shù)連乘再乘最后的商。【詳解】所以12和48的最大公因數(shù)是2×2×3＝12，最小公倍數(shù)是2×2×3×4＝48；所以32和28的最大公因數(shù)是2×2＝4，最小公倍數(shù)是2×2×8×7＝224?！军c睛】熟練掌握用短除法求兩個數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。4．8和9的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是72；51和17的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是51；18和24的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72；【分析】如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；求最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，由此解決問題即可?！驹斀狻坑煞治龅茫海?）8和9是互質(zhì)數(shù)，所以8和9的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×9＝72。（2）51÷17＝3，51是17的倍數(shù)，所以51和17的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是51。（3）18＝2×3×3，24＝2×2×2×318和24的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是2×3×2×2×3＝72。5．最大公因數(shù)：1；2；7最小公倍數(shù)：10；12；49【分析】當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；除了以上兩種情況外，可以用分解質(zhì)因數(shù)或短除法去找兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。【詳解】由分析可得：2和5是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是2×5＝10；4和6：4＝2×26＝2×34和6的最大公因數(shù)為：2，最小公倍數(shù)是：2×2×3＝4×3＝127和49是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是49。綜上所述：2和5最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是10；4和6最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是12；7和49最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是49。6．1，10；3，9【分析】兩個數(shù)互質(zhì)，則最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的乘積；兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)?！驹斀狻恳驗?和5互質(zhì)，所以2和5的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是2×5＝10；因為9÷3＝3，所以3和9的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是9。7．7和11最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是77；24和96的最大公因數(shù)是24；最小公倍數(shù)是96；12和18的最大公因數(shù)是6；最小公倍數(shù)是36?！痉治觥壳髢蓴?shù)的最小公倍數(shù)，就看兩個數(shù)之間的關(guān)系，兩個數(shù)互質(zhì)，則最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的乘積；兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；先把要求的兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把它們公有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數(shù)，把它們公有的質(zhì)因數(shù)和獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)?！驹斀狻?和11是互質(zhì)數(shù)，所以7和11的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×11＝77；因為96是24的4倍，所以24和96的最大公因數(shù)是24，最小公倍數(shù)是96；12＝2×2×318＝2×3×3所以12和18的最大公因數(shù)是2×3＝6最小公倍數(shù)是2×2×3×3＝4×3×3＝12×3＝368．12；1【分析】求最大公因數(shù)也就是求這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；若兩個數(shù)互為倍數(shù)關(guān)系，則較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)；若兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1。據(jù)此計算即可?！驹斀狻?6＝2×2×3×348＝2×2×2×2×3則36和48的最大公因數(shù)2×2×3＝12；13和19是互質(zhì)數(shù)，所以它們的最大公因數(shù)是1。9．1，72；11，33；3，60【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，就是兩個數(shù)的最大公因數(shù)；兩個數(shù)的最小公倍數(shù)：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每一個獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；如果兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，較小的數(shù)為最大公因數(shù)，較大的數(shù)為最小公倍數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)的乘積，據(jù)此解答。【詳解】8和98和9互質(zhì)，所以8和9的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×9＝72；11和3311和33是倍數(shù)關(guān)系，11和33的最大公因數(shù)是11，最小公倍數(shù)是33；12和1512＝2×2×315＝3×512和15的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是2×2×3×5＝60。10．16；19；1【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?6和3216和32是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是16；38和5738＝2×1957＝3×1938和57的最大公因數(shù)是19；13和513和5是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1。11．1；72；18；108；17；51【分析】如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積；求最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；由此解決問題即可?！驹斀狻?和9是互質(zhì)數(shù)，所以8和9的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×9＝72。36＝2×2×3×3，54＝2×3×3×3；所以36和54的最大公因數(shù)是2×3×3＝18，最小公倍數(shù)是2×3×3×2×3＝108。17和51是倍數(shù)關(guān)系，所以17和51的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是51。12．9和54；15和300；14和42【分析】把兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止，然后把所有除數(shù)連乘起來，所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；最后把所有除數(shù)和最后的商連乘起來，所得的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；據(jù)此計算。【詳解】18和2718和27的最大公因數(shù)是：3×3＝918和27的最小公倍數(shù)是：3×3×2×3＝5475和6075和60的最大公因數(shù)是：3×5＝1575和60的最小公倍數(shù)是：3×5×5×4＝30042和1442和14的最大公因數(shù)是：2×7＝1442和14的最小公倍數(shù)是：2×7×3×1＝4213．2，8；4，60；1，56；15，75【分析】成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，其中的較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。用質(zhì)因數(shù)分解法可以求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)?！驹斀狻浚?）8是2的倍數(shù)，則8和2的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是8。（2）12＝2×2×320＝2×2×512和20的最大公因數(shù)是2×2＝4，最小公倍數(shù)是2×2×3×5＝60。（3）7和8是互質(zhì)數(shù)，則7和8的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×8＝56。（4）75是15的倍數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是75。14．（1）1；20；（2）3；18；（3）4；8【分析】（1）互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公因數(shù)是l，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積。（2）對于一般的兩個數(shù)來說，這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；（3）對于兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：最大公因數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個數(shù)是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；【詳解】（1）4＝1×45＝1×54和5的最大公因數(shù)是：1；4和5的最小公倍數(shù)是：4×5＝20；（2）6＝2×39＝3×36和9的最大公因數(shù)是：3，6和9的最小公倍數(shù)是：2×3×3＝6×3＝18。（3）8是4的倍數(shù)，4和8的最大公因數(shù)是：4，4和8的最小公倍數(shù)是：8。15．45和60的最大公因數(shù)15，最小公倍數(shù)是180；17和51的最大公因數(shù)17，最小公倍數(shù)是51；8和19的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是152【分析】求最大公因數(shù)也就是求這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，若兩個數(shù)互為倍數(shù)關(guān)系，則較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；若兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是它們的乘積。據(jù)此計算即可。【詳解】45＝3×3×560＝2×2×3×5則45和60的最大公因數(shù)3×5＝15，最小公倍數(shù)是3×5×3×2×2＝180；因為51÷17＝3，所以17和51互為倍數(shù)關(guān)系則17和51的最大公因數(shù)17，最小公倍數(shù)是51；因為8和19是互質(zhì)數(shù)則8和19的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×19＝152。16．24和36的最大公因數(shù)是12；最小公倍數(shù)是72；11和13的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是143；16和32的最大公因數(shù)是16；最小公倍數(shù)是32【分析】當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；其他情況可以用分解質(zhì)因數(shù)或短除法找兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。用分解質(zhì)因數(shù)法：最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的乘積?！驹斀狻浚?）24＝2×2×2×336＝2×2×3×324和36的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12；24和36的最小公倍數(shù)是：2×2×2×3×3＝72；（2）11和13是互質(zhì)數(shù)；11和13的最大公因數(shù)是：1；11和13的最小公倍數(shù)是：11×13＝143；（3）16和32是倍數(shù)關(guān)系；16和32的最大公因數(shù)是16；16和32的最小公倍數(shù)是32。17．（1）最大公因數(shù)6，最小公倍數(shù)72；（2）最大公因數(shù)1，最小公倍數(shù)72；（3）最大公因數(shù)13，最小公倍數(shù)65【分析】用質(zhì)因數(shù)分解法可以求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，其中的較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。【詳解】（1）18＝2×3×324＝2×2×2×3則18和24的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是2×3×3×2×2＝72。（2）8和9是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×9＝72。（3）65是13的倍數(shù)，則65和13的最大公因數(shù)是13，最小公倍數(shù)是65。18．14

1

5【解析】略19．2；6；17【分析】根據(jù)求兩個數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，最大公因數(shù)是1，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?0＝2×56＝2×3所以6和10的最大因數(shù)是2；18和2418＝2×3×324＝2×2×2×3所以18和24的最大公因數(shù)是6；34和1717和34是倍數(shù)關(guān)系，所以34和17的最大公因數(shù)是17。20．2；6；5；1【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，把這兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它們公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是最大公因數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，最大公因數(shù)是較小數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是1；據(jù)此解答?！驹斀狻?÷2＝4，8是2的倍數(shù)，2和8的最大公因數(shù)是2；12＝2×2×3，18＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6；10＝2×5，25＝5×510和25的最大公因數(shù)是5；7和9是互質(zhì)數(shù)，7和9的最大公因數(shù)是1。21．1；14；8；8【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)是1；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)；如果兩個數(shù)是一般關(guān)系，可以利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，把兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)的積就是最大公因數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】10和9互質(zhì)，所以10和9的最大公因數(shù)是1；42是14的3倍，所以14和42的最大公因數(shù)是14；16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3所以16和24的最大公因數(shù)是2×2×2＝8；32是8的4倍，所以8和32的最大公因數(shù)是8。22．9和15的最大公因數(shù)為3，最小公倍數(shù)為45。22和33的最大公因數(shù)為11，最小公倍數(shù)為66。7和14的最大公因數(shù)為7，最小公倍數(shù)為14?！驹斀狻柯?3．最大公因數(shù)：7；18；1最小