第9講期中復(fù)習(xí)（講義）原卷版

期中復(fù)習(xí)（講義）知識梳理弧度制、任意角角度制：圓周角的為1度的角，這種用度做單位來度量角的單位制叫做角度制．弧度制：我們把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位來度量角的單位制叫做弧度制．它的單位符號是，讀作弧度．角度制與弧度制的換算:【不必強記公式，只要牢牢把握的關(guān)系即可。】（1）；（2）；（3）扇形弧長公式，扇形面積公式：．在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角（或說這個角屬于第幾象限）；角的終邊落在坐標(biāo)軸上時，且不屬于任何象限，我們稱它為軸線角．終邊相同的角：兩個角的始邊重合，終邊也重合時，稱這兩個角為終邊相同的角，與角終邊相同的角的集合可記為．注意：終邊相同的角不一定相等，它們之間相差360°的整數(shù)倍．相等的角終邊一定相同．任意角的三角比可以用其終邊上的點的坐標(biāo)來定義．設(shè)P是角終邊上任意一點（點P不能是角的頂點），它的坐標(biāo)為，則P到坐標(biāo)原點O的距離，定義正弦，余弦，正切，余切，正割，余割．當(dāng)時，無意義；當(dāng)時，無意義．三角函數(shù)的符號：同角三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式1. 同角三角函數(shù)的三個關(guān)系：（1）倒數(shù)關(guān)系：；；；（2）商數(shù)關(guān)系：；；（3）平方關(guān)系：；；.【在的兩邊同除，得；在的兩邊同除，得；】2. 這些關(guān)系式還可以如圖樣加強形象記憶：（1）對角線上兩個函數(shù)的乘積為1(倒數(shù)關(guān)系)。（2）任一角的函數(shù)等于與其相鄰的兩個函數(shù)的積(商數(shù)關(guān)系)。（3）陰影部分，頂角兩個函數(shù)的平方和等于底角函數(shù)的平方(平方關(guān)系)。注意：“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，如：，。2）上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立。3）由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用，若使用時，要注意討論符號。3. 誘導(dǎo)公式第一組：；；；.第二組：；；；.第三組：；；；.第四組：；；；.第五組：；；；.第六組：；；；.4. 記憶技巧：奇變偶不變，符號看象限兩角和差的正余弦、正切公式及二倍角公式1. 兩角和差展開公式 2. 二倍角公式 降冪公式：，，。萬能公式 ，，正余弦定理1、正弦定理：（1）中：(為的外接圓的半徑)已知邊邊角或角角邊，一般用正弦定理。(2)推論：正余弦定理的邊角互換功能①，，②，，③==④2、余弦定理：3、三角形面積公式：（1）==（2）=（3）六、三角函數(shù)1.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)及圖形特點：三角函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性在上遞增在上遞減在上遞增在上遞減遞增最值時，最大值1時，最小值時，最大值1時，最小值無最大值無最小值圖像2.周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果存在非零常數(shù)，使對于中讓每一個都成立，那么是周期函數(shù)，是它的一個周期.3.函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；對稱軸是直線，凡是該圖像與直線的交點都是該圖像的對稱中心.4.“五點法”作圖法在精度要求不高的情況下，利用這5個點畫出函數(shù)的簡圖，一般把這種畫圖方法叫“五點法”.例題解析一、三角例1．（2020·上海高一課時練習(xí)）在中，，則C等于（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上結(jié)論都不對例2．（2020·上海高一課時練習(xí)）對于集合和常數(shù)，定義：為集合相對的“余弦方差”．集合相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個常數(shù)，這個常數(shù)是___________．例3．（2020·上海高一課時練習(xí)）在中，，則__________．例4．（2020·上海高一課時練習(xí)）如圖是的小正方格，則__________．例5．（2020·上海高一課時練習(xí)）若，則_________．例6．（2020·上海高一課時練習(xí)）若則_________．例7．（2020·上海高一課時練習(xí)）如果，那么_______．例8．（2020·上海高一課時練習(xí)）若角的終邊上一點，則_________．例9．（2020·上海高一課時練習(xí)）將化為（其中）的形式為_________________．例10．（2020·上海高一課時練習(xí)）若是同一個象限的角，，則________．例11．（2021·上海高一課時練習(xí)）終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合：______________．例12．（2021·上海高一）已知：，，求證：．例13．（2021·上海高一）已知，求下列各式的值.（1）；（2）.例14．（2020·上海）已知為銳角，試用三角函數(shù)線證明.例15．（2020·上海）已知為銳角，求證：.例16．（2021·上海高一）已知，且，求的值.例17．（2019·上海市金山中學(xué)高一月考）已知△中，，，.求：（1）角的大小；（2）△ABC中最小邊的邊長.例18．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知，，，求：、.（2021·上海高一）已知，且例20．（2021·上海高一專題練習(xí)）證明：（1）求證：（2）在中，，求證：例21．（2021·上海高一）設(shè)的內(nèi)角的對邊長分別為，且（1）求證：；（2）若，求角的大小.例22.在中，下列結(jié)論：①若，則此三角形為鈍角三角形；②若，則此三角形為等腰三角形；③若，則；④，其中正確的個數(shù)為 ．例23.在銳角中，角、、對應(yīng)的邊分別為、、，若，則的值是 ．例24.如圖，，是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于點北偏東，點北偏西的點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于點南偏西且與點相距海里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為海里/小時，該救援船到達(dá)點需要多長時間？【鞏固訓(xùn)練】1、若是第二象限角，那么和都不是（ ）．第一象限角．第二象限角．第三象限角 ．第四象限角2、下列關(guān)系式中正確的是（ ） ． ． ． ．3、已知，則（ ） ． ． ． ．4、記，那么（ ） ． ． ． ．5、已知，則（ ）、已知，則（ ）7．若，，則的取值范圍是（ ） ．．．．8、在中，，則中最大角9.在中，若，則=10.中，分別為的對邊，，則_____11、設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀為（） A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定12、三條直線兩兩平行、、，到的距離為1，到的距離為2，等邊三角形三個頂點分別在這三條直線上，則該三角形的面積為。13、某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面ABC的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，路寬米．設(shè)（1）求燈柱AB的高（用表示）；（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最?。孔钚≈禐槎嗌?？（第（第2題圖）ABCD二、三角函數(shù)例1．（2020·上海高一課時練習(xí)）若在內(nèi)有兩個相異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是____________.例2．（2020·上海高一課時練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是________.例3.已知函數(shù)，（其中,,）的周期為，且圖像上一個最低點為，則=_____．例4.為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（）(A)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）(B)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）(C)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）(D)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）例5.已知函數(shù)，．（1）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值．（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．例6.函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號).①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.例7.函數(shù)，對任意實數(shù)在區(qū)間上取到的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則的值為.例8.（2020·上海高一課時練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【鞏固訓(xùn)練】1．如圖，函數(shù)（其中）的圖像與軸交于點．（1）求的值；（2）設(shè)是圖像上的最高點，是圖像上與軸的交點，求．2．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像（）（A）向右平移個單位長度（B）向右平移個單位長度（C）向左平移個單位長度（D）向左平移個單位長度3．設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線。（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。4．已知函數(shù)，（1）求的最小正周期及取得最大值時的集合；（2）求證：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．5．為了使y=sinωx（ω＞0）在區(qū)間［0，1］上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值是．6．求函數(shù)的最小值．反思總結(jié)1.同角三角函數(shù):

① 特別注意題干中的角的關(guān)系與角的范圍；

② 熟記基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的口訣；其中誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”的含義如下:誘導(dǎo)公式的左邊為的正弦(正切)或余弦余切的三角比，當(dāng)k為奇數(shù)時，右邊的三角比名稱正余互換；當(dāng)k為偶數(shù)時，右邊的三角比名稱不改變；將視為銳角，后分析角所處象限，隨后判斷公式左邊的三角比在該象限的符號是正是負(fù)，將其作為公式右邊的符號.2. 兩角和差及倍角公式： ① 三角函數(shù)式化簡:

⑴ 發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運算間的差異(如角的關(guān)系、角的范圍)，即差異分析；

⑵ 尋找聯(lián)系:運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系；

⑶ 合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化； ② 化簡目標(biāo):項數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母中不含有三角函數(shù)，能求值的盡可能求值；

一般方法:⑴角的變換:拆角、拼角；⑵名的變換:化弦或化切；

⑶次數(shù)的變換:升、降冪公式；⑷形的變換:同一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算； ③ 求值、化簡、證明的一般思路:

⑴切割化弦；⑵遇多元，想消元；⑶遇差異，想聯(lián)系； ⑷遇高次，想降次； ⑸遇特角，想求值；⑹想消元，引輔角.3. 易錯、易漏點:

① 特別注意正切公式成立時角滿足的條件；注意三角公式中角的范圍、三角比的符號；注意倍角公式的相對性；

② 半角公式中的號，應(yīng)根據(jù)角所在的象限判斷；

③ 注意三角公式中基本公式(包括拓展中的積化和差與和差化積公式)均源于兩角和差的余弦、正弦公式推導(dǎo)出，應(yīng)當(dāng)特別重視；對于公式，應(yīng)掌握正用、逆用、變形使用.4. 三角函數(shù)主要方法:

① 求三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最值、周期等的問題中通常都要先把表達(dá)式化簡，盡量使表達(dá)式成為關(guān)于一個角的一個函數(shù)名的一次表達(dá)式，同時一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化；

② 對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖像時只要作