專題863面面垂直的判定與性質(zhì)二面角

【專題8.6.3面面垂直的性質(zhì)與判定】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與?？碱}型【題型1：面面垂直的概念與理解】知識講解知識講解1.面面垂直的定義 若兩個平面相交，所成的二面角是直二面角（二面角的平面角為），就稱這兩個平面互相垂直，記作。二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 定義明確了面面垂直的本質(zhì)特征，即二面角的平面角為直角，但在實際證明中，由于直接度量二面角大小較困難，定義一般不作為常用判定方法，更多用于理解概念和推導其他性質(zhì)。2.面面垂直的判定定理 定理內(nèi)容：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。即若直線，，則。 理解要點：該定理將“面面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”和“線在面內(nèi)”兩個條件。證明時，關(guān)鍵在于找到或構(gòu)造一條直線垂直于其中一個平面，且這條直線在另一個平面內(nèi)。例如在長方體中，因為平面$ABCD$，平面，所以平面平面$ABCD$。3.面面垂直的性質(zhì)定理 性質(zhì)一：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。即若，，，，則。此性質(zhì)表明面面垂直可推出線面垂直，將“面面垂直”的條件轉(zhuǎn)化為“線面垂直”，常用于在已知面面垂直的情況下證明線面垂直關(guān)系。 性質(zhì)二：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)。例如已知平面，點，若直線，則。這一性質(zhì)進一步明確了面面垂直時直線與平面的位置關(guān)系。例題精選例題精選【例題1】（2425高一下·江蘇無錫·期中）已知、、是三條不重合的直線，、、是三個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【例題2】（2425高二下·陜西西安·期中）已知直線l、m、n與平面α、β，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【例題3】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則相似練習相似練習【相似題1】多選題（2025·遼寧·模擬預測）已知直線，和平面，，且，，則下列四個選項中正確的有（

）A．若，則過可作唯一平面與垂直B．若與所成角為60°，則過可作唯一平面與垂直C．若，則過可作唯一平面與垂直D．若，則過可作唯一平面與平行【相似題2】多選題（2425高三下·遼寧本溪·階段練習）已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【相似題3】多選題（2425高二下·貴州銅仁·階段練習）已知直線和平面，則下列命題中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【題型2：面面垂直的判定】知識講解知識講解【考向1：證明面面垂直】例題精選例題精選【例題1】多選題（2026高三·全國·專題練習）（多選）如圖，為圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不與點重合的點，于，于，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【例題2】（2425高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在正三棱柱中，為棱的中點，為棱中點，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.【例題3】（2025·上海長寧·二模）如圖，在直三棱柱中，，點D是棱的中點．(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離以及三棱錐的體積．相似練習相似練習【相似題1】（2025高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且．證明：平面平面；【相似題2】（2324高一下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在直角梯形中，已知，，，，E為對角線的中點，現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面．求證：(1)直線平面；(2)平面平面．【相似題3】（2025高三·全國·專題練習）已知三棱柱中，，，，，求證：平面平面【考向2：由垂直確定點的位置】例題精選例題精選【例題1】（2324高一下·湖南·階段練習）如圖，在正三棱柱中，為的中點.(1)證明：平面.(2)求異面直線與所成角的余弦值.(3)在上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【例題2】（2024高二·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，且其所在平面垂直于底面．(1)求證：；(2)若為邊的中點，則能否在棱上找到一點，使平面平面？并證明你的結(jié)論．相似練習相似練習【相似題1】（2122高二上·陜西安康·期末）如圖，在直四棱柱中，，，M是棱上一點．(1)求證：；(2)當M在上的何處時，有平面平面.【相似題2】（2324高二上·上海浦東新·期中）如圖，在四棱錐，底面正方形，為側(cè)棱的中點，.(1)求四棱錐體積；(2)在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由.【相似題3】（2324高二上·湖南長沙·開學考試）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點．

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由．【題型3：面面垂直的性質(zhì)】知識講解知識講解例題精選例題精選【例題1】（2324高一下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在直角梯形中，已知，，，，E為對角線的中點，現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面．求證：(1)直線平面；(2)平面平面．【例題2】（2425高二下·江蘇揚州·階段練習）如圖，正方形所在的平面與平面四邊形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，，(1)求證：平面；(2)設線段的中點分別為，求證：平面.相似練習相似練習【相似題1】（2025高三·全國·專題練習）如圖，在幾何體中，互相平行，四邊形與四邊形是全等的等腰梯形，平面平面，，點分別為的中點.證明：平面平面.

【相似題2】（2025高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.證明：是等腰三角形.【相似題3】（2025·安徽六安·模擬預測）如圖，矩形所在的平面和半圓弧所在的平面垂直，且，，是的中點．(1)證明：平面．(2)證明：．(3)求異面直線，所成角的余弦值．【題型4：線面垂直面面垂直綜合題型】例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·海南·階段練習）在長方體中，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．直線AB與平面平行 B．直線與平面垂直C．平面與平面平行 D．平面與平面垂直【例題2】（2223高一下·福建·期末）在矩形ABCD中，，沿AC將折起，當二面角為直二面角時，異面直線AB與CD所成角的余弦值為.相似練習相似練習【相似題1】（2023高三·全國·專題練習）如圖，在矩形中，，沿將折起，當三棱錐的體積取得最大值時，與平面所成角的正切值為.

【相似題2】（2122高二上·北京·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐，使平面平面BCD，在下列結(jié)論中：①直線CD平面；②平面平面BCD；③BC與成角的大小為45°；④棱上存在一點到頂點、B、C、D的距離相等；⑤點B到平面的距離為；所有正確結(jié)論的編號是．【題型5：求二面角】【策略1：定義法求二面角】【策略2：三垂線法求二面角】【策略3：垂面法求二面角】【策略4：射影面積法求二面角】知識講解知識講解1.定義法 解題思路：直接在二面角的棱上取一點，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這兩條垂線所成的角就是二面角的平面角。然后通過解三角形來求出這個角的大小。 適用情況：當二面角的棱比較明確，且在棱上容易找到合適的點來作垂線時，適合使用定義法。例如，在一些規(guī)則的幾何體中，如正方體、長方體等，二面角的棱與幾何體的棱重合，可直接利用棱上的頂點來構(gòu)造二面角的平面角。 示例：在正方體中，求二面角的大小?？稍诶?BD$上取中點，連接$AO$、，因為，，所以就是二面角的平面角，再通過正方體的棱長計算出的大小。2.垂面法 解題思路：過二面角內(nèi)一點作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個半平面分別相交，得到兩條交線，這兩條交線所成的角就是二面角的平面角。 適用情況：當已知條件中存在與二面角的棱垂直的平面，或者能夠容易地作出這樣的垂面時，垂面法是比較好的選擇。比如在一些具有特殊對稱性的幾何體中，或者已知某些直線與平面垂直的關(guān)系時，可利用這些條件作出垂面。 示例：在三棱錐中，若平面$ABC$，，求二面角的大小?？蛇^點作于，連接$PD$，因為平面$ABC$，所以，又，則平面$PAD$，所以就是二面角的平面角，然后通過已知條件計算出的度數(shù)。3.三垂線定理法 解題思路：利用三垂線定理或其逆定理來構(gòu)造二面角的平面角。首先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連接斜足和垂足，得到的角就是二面角的平面角。其原理是通過線面垂直得到線線垂直，從而確定二面角的平面角。 適用情況：在已知條件中存在線面垂直關(guān)系，且能夠方便地找到或作出平面的垂線以及相關(guān)的斜線和射影時，三垂線定理法較為常用。它在解決一些非規(guī)則幾何體中的二面角問題時經(jīng)常發(fā)揮作用。 示例：在四棱錐中，底面$ABCD$是矩形，底面$ABCD$，求二面角的大小。過點作于，連接$PE$，因為底面$ABCD$，所以，又，則平面$PAE$，所以，就是二面角的平面角，再根據(jù)已知條件求出的度數(shù)。4.面積射影法 解題思路：如果一個多邊形在一個平面內(nèi)的射影是另一個多邊形，設原多邊形的面積為，射影多邊形的面積為$S'$，二面角的大小為，則。通過計算兩個多邊形的面積，進而求出二面角的余弦值，再根據(jù)余弦值求出二面角的大小。 適用情況：當二面角的兩個半平面中，一個平面圖形的面積及其在另一個平面上的射影面積容易計算時，面積射影法非常有效。特別是對于一些不易直接找到二面角的平面角，但圖形的面積關(guān)系比較明確的情況。 示例：在一個斜三棱柱中，已知的面積為，在底面$ABC$上的射影是，且的面積為$S'$，設平面與底面$ABC$所成的二面角為，則，由此可求出的值。例題精選例題精選【例題1】（2223高二上·甘肅蘭州·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點M，N分別為的中點．(1)取的中點H，連接，若平面平面，求證：；(2)已知，求平面與平面的夾角的余弦值．【例題2】（2425高二上·上海閔行·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是的中點.(1)求證：平面；(2)求側(cè)面與底面所成二面角的正切值.【例題3】（2425高二上·江蘇蘇州·期末）如圖，在三棱錐中，已知平面平面ABC，，D，E分別是棱PA，PC的中點，，，三棱錐的體積為．(1)求直線BD與直線CP所成角的大??；(2)求平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值．相似練習相似練習【相似題1】（2324高一下·福建福州·期末）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，．(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面的夾角為（i）證明；（ii）求二面角的正弦值．【相似題2】（2324高一下·福建莆田·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為棱的中點，，，直線與所成的角的大小為．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的正切值．【相似題3】（2324高一下·福建福州·期末）在四棱錐中，四邊形為矩形，平面為垂足，，平面．(1)證明：為等腰三角形．(2)若為等腰直角三角形．設平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．（2122高一下·福建福州·期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》第五卷“商功”中，把底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.今有“陽馬”，平面，，分別為棱的中點，則下列選項錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面2．（2223高一下·吉林·期末）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則的面積為（

）A． B．2 C． D．3．（2324高一下·福建莆田·期末）設，是兩個平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則4．（2324高一下·福建泉州·期末）已知直線，平面，則的充分條件可以是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2324高一下·福建福州·期末）在棱長為1的正方體中，點分別為的中點，則下列說法正確的是（

）A．與所成角為B．點到平面的距離為C．直線與平面所成角的正弦值為D．二面角平面角的正切值為6．（2324高二下·福建寧德·期末）如圖，正八面體的每個面都是正三角形，四邊形是邊長為2的正方形，是中點，在正方形（含邊界）內(nèi)運動，點分別在線段和上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．點到平面的距離為B．二面角的余弦值為C．當//平面時，點的軌跡長度為D．線段長度的最小值為2三、填空題7．（2223高一下·福建莆田·期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是正三角形，平面平面，則二面角的大小是．

8．（2122高一下·福建莆田·期末）在空間四邊形中，，，，二面角的平面角為，為的中點，則與所成的角為．若點為的重心，則＝．9．（2021高一下·福建南平·期末）如圖，已知邊長為4的菱形中，，將沿對角線翻折至所在的位置，若二面角的大小為，則過，，，四點的外接球的表面積為