北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊期末22知識點(diǎn)管理及考點(diǎn)復(fù)習(xí)（原卷版）

第二章相交線與平行線第2節(jié)探索直線平行的條件目錄：知識點(diǎn)管理考點(diǎn)管理備考策略（原卷版）知識點(diǎn)管理思維導(dǎo)圖探索直線平行的條件系探索直線平行的條件系二、基本概念及公式知識點(diǎn)梳理1.三線八角：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截兩直線同一側(cè)的角（形如“F”型）。內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，在截線兩側(cè)，且在被截兩直線之間的角（形如“Z”型）。同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截兩直線之間的角（形如“U”型）。2.直線平行的判定條件判定1：同位角相等，兩直線平行符號語言：若∠1=∠5，則a//b.判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行符號語言：若∠3=∠5，則a//b。判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行符號語言：若∠3+∠6=180°，則a//b.平行公理推論：平行于同一條直線的兩條直線平行考點(diǎn)管理核心考點(diǎn)及題型歸納考點(diǎn)1：三線八角的識別考查方式：給出復(fù)雜圖形，判斷兩角是否為同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角。例1．（1）如圖，在所標(biāo)注的角中，可以看成是一對內(nèi)錯角的是（）A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2和∠4【解答】解：A．∠1和∠2是對頂角，故不符合題意；B．∠2和∠3是內(nèi)錯角，故符合題意；C．∠1和∠3是同位角，故不符合題意；D．∠2和∠4是同位角，故不符合題意．故選：B．（2）如圖，BC，DE被AB所截，則∠B的同旁內(nèi)角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【解答】解：∠B的同旁內(nèi)角是∠2．故選：B．（3）如圖，已知∠ABC與∠DEF，其中AB與EF相交，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠4與∠5是同旁內(nèi)角 B．∠2與∠4是對頂角 C．∠2與∠5是同位角 D．∠5與∠6是內(nèi)錯角【解答】解：A、∠4與∠5是同旁內(nèi)角，不符合題意；B、∠2與∠4是對頂角，不符合題意；C、∠2與∠5不是同位角，符合題意；D、∠5與∠6是內(nèi)錯角，不符合題意；故選：C．例2．（1）如圖，直線BF、DE被直線AC所截，則圖中∠FAE的內(nèi)錯角是．【解答】解：根據(jù)內(nèi)錯角的概念，∠FAE的內(nèi)錯角是∠AED，故答案為：∠AED．（2）如圖，給出下列結(jié)論：①∠1與∠2是同旁內(nèi)角；②∠1與∠3是同位角；③∠1與∠4是內(nèi)錯角；④∠1與∠5是同位角；⑤∠2與∠3是對頂角．其中說法正確的是．（填序號）【解答】解：逐項分析判斷如下：①∠1與∠2是同旁內(nèi)角，該說法符合題意；②∠1與∠3是同位角，該說法符合題意；③∠1與∠4不是內(nèi)錯角，該說法不符合題意；④∠1與∠5不是同位角，該說法不符合題意；⑤∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，該說法不符合題意；．①②符合題意，故答案為：①②．考點(diǎn)2：利用判定條件證明兩直線平行考查方式：已知角度關(guān)系，證明兩直線平行。例3．如圖所示，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC．請根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC，∠ADC（），∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC（∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠1＝∠2（）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠3（），∴AB∥CD（）．【解答】證明：∵BF，DE分別平分∠ABC，∠ADC（已知），∴∠1=12∠ABC∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代換）．∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3（等量代換）．∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：已知，角平分線的定義，已知，2，等量代換，已知，3，等量代換，AB，CD，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．例4．如圖，直線a，b，c被直線l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．試說明：a∥c．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，∴∠3＝∠4，∴b∥c，∴a∥c．例5．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，連接OF．（1）試說明：OC⊥OD；（2）若∠D與∠1互余，試說明：ED∥AB．【解答】解：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，∴∠COF=12∠AOF∴∠COD=∠COF+∠DOF=1∴OC⊥OD；（2）∵∠COD＝90°，∴∠1+∠BOD＝90°，∵∠D與∠1互余，∴∠1+∠D＝90°，∴∠D＝∠BOD，∴ED∥AB．例6．如圖，直線a⊥b，垂足為O，△ABC與直線a、b分別交于點(diǎn)E、F，且∠C＝90°，EG、FH分別平分∠MEC和∠NFC．（1）填空：∠OEC+∠OFC＝；（2）試說明：EG∥FH．【解答】解：（1）在四邊形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，故答案為：180°；（2）在四邊形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，因為∠MEC＝180°﹣∠OEC，∠NFC＝180°﹣∠OFC，所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）＝360°﹣180°＝180°，因EG，F(xiàn)H分別平分∠MEC和∠NFC，所以∠CEG=12∠MEC，∠CFH=1所以∠CEG+∠CFH=12（∠MEC+∠NFC）過C點(diǎn)作CD∥EG，所以∠CEG＝∠DCE，因為∠DCE+∠DCF＝90°，∠CEG+∠CFH＝90°，所以∠DCF＝∠CFH，所以CD∥FH，又因為CD∥EG，所EG∥FH．考點(diǎn)3：角度計算與平行判定綜合考查方式：結(jié)合三角形內(nèi)角和、對頂角、補(bǔ)角等知識，通過角度計算推導(dǎo)平行關(guān)系。例7．【新定義應(yīng)用】【新定義】物理學(xué)中把經(jīng)過入射點(diǎn)O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角（如圖①）．由此可以歸納出如下的規(guī)律：在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一平面內(nèi)；反射光線、入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角等于入射角．這就是光的反射定律（reflectionlaw）．【數(shù)學(xué)推理】如圖1，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD．由以上光的反射定律，可知入射角與反射角相等，進(jìn)而可以推得他們的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在這樣的條件下，求證：AB∥CD．【嘗試探究】兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON＝α，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD．（1）如圖2，光線AB與CD相交于點(diǎn)E，則∠BEC＝；（2）如圖3，光線AB與CD所在的直線相交于點(diǎn)E，∠BED＝β，則α與β之間滿足的等量關(guān)系是．【解答】解：如圖1，∵OM⊥ON，∴∠CON＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，AB∥CD；【嘗試探究】（1）如圖2，在△OBC中，∵∠MON＝α，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣a）﹣180°＝180°﹣2α，故答案為：180°﹣2α；（2）如圖4，B＝2a，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，∴β＝2a．故答案為：β＝2a．（三）備考策略1.概念辨析：精準(zhǔn)識別三類角關(guān)鍵：抓住角的位置關(guān)系（同位角“同旁同側(cè)”、內(nèi)錯角“兩側(cè)中間”、同旁內(nèi)角“同旁中間”），可通過標(biāo)注圖形輔助判斷。易錯點(diǎn)：避免因圖形復(fù)雜而混淆角的類型，建議先確定截線和被截線。2.判定條件：理清邏輯關(guān)系口訣：同位角相等→平行（“F型相等則平行”）；內(nèi)錯角相等→平行（“Z型相等則平行”）；同旁內(nèi)角互補(bǔ)→平行（“U型互補(bǔ)則平行”）。注意：判定條件是“由角的關(guān)系推線的平行”，與后續(xù)“平行線的性質(zhì)”（由線的平行推角的關(guān)系）區(qū)分開。3.典型題型：規(guī)范幾何推理步驟標(biāo)注已知條件（角度相等或互補(bǔ)）；選擇對應(yīng)的判定定理（同位角/內(nèi)錯角/同旁內(nèi)角）；寫出結(jié)論（兩直線平行）。4.易錯點(diǎn)突破忽略前提條件：“在同一平面內(nèi)”是平行的必要