2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題壓軸題02均值不等式(原卷版+解析)

/壓軸題02均值不等式盤重點(diǎn)抓核心一、基礎(chǔ)不等式原理二元基本不等式的幾個(gè)變形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍（4）利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”2.n元均值不等式設(shè)均大于零，則記，，，，則，其中等號(hào)成立的條件是.分別稱為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均.二、基本原理簡(jiǎn)化不等式（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍三、均值不等遵循的原則利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.練壓軸沖高分壓軸題型一：三元型√滿分技法一般地，多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時(shí)要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出能整體處理的部分，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個(gè)：1.從元的個(gè)數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；2.從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；3.從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號(hào)取到的條件1．若是三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（

）A． B． C． D．2．，，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．5．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最大值是 D．的最大值是壓軸題型二：因式分解型·√滿分技法如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對(duì)分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）1．若，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為16 D．沒有最小值2．已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．以上答案都不對(duì)3．已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．4．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．壓軸題型三：代數(shù)換元型√滿分技法形如（a，b）==t，求型，則可以換元反解代換。令x=a+m。Y=b+n反解1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．113．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．4．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．壓軸題型四：三角換元型√滿分技法1.二次配方型，可以三角換元2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，1．已知實(shí)數(shù)滿足，則最大值為（

）A．2 B．3 C． D．2．已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為A．2 B．4 C． D．3．已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．4．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知正數(shù)滿足，則的最小值為．壓軸題型五：二元二次裂項(xiàng)型1．已知為正實(shí)數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．2．若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為()A．23 B． C．2 D．23．是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為.5．若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值是．壓軸題型六：構(gòu)造函數(shù)型1．設(shè)a，b，c為ABC中的三邊長(zhǎng)，且a+b+c=1，則a2+b2+c2+4abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．4．已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知正數(shù)滿足，則的取值范圍是.壓軸題型七：均值法比大小√滿分技法常見的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)思維：在于轉(zhuǎn)化過程中，“分參”→“構(gòu)造”，得新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)尋找單調(diào)性涉及到比較多的對(duì)數(shù)比大小，可以借助均值不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算來比大小1．實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．3．已知，則（

）A． B．C． D．4．若，則（

）A．B．C．D．5．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是．

壓軸題02均值不等式盤重點(diǎn)抓核心一、基礎(chǔ)不等式原理二元基本不等式的幾個(gè)變形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍（4）利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”2.n元均值不等式設(shè)均大于零，則記，，，，則，其中等號(hào)成立的條件是.分別稱為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均.二、基本原理簡(jiǎn)化不等式（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍三、均值不等遵循的原則利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.練壓軸沖高分壓軸題型一：三元型√滿分技法一般地，多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時(shí)要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出能整體處理的部分，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個(gè)：1.從元的個(gè)數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；2.從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；3.從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號(hào)取到的條件1．若是三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，令，可得，故，則求得t的范圍，即可求得t的最小值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，，所以，等?hào)成立的條件是．令，解得，所以，即，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由已知式聯(lián)想基本不等式，由于不等式一側(cè)只有兩項(xiàng)：，把拆成兩項(xiàng)，分別與相加應(yīng)用基本不等式，構(gòu)成形式上的一致，再利用系數(shù)關(guān)系求得參數(shù)，然后由不等式恒成立可得結(jié)論．2．，，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以，時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等.3．已知，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，利用換元法可將原式變形再利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，且因此，令，則；又；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將未知數(shù)個(gè)數(shù)減少，并合理變形利用基本不等式求解.4．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】將代入后剩下關(guān)于的二元等式，經(jīng)齊次化處理后使用基本不等式在時(shí)最大值時(shí)，將代入原式可得，代入，得到二次函數(shù)利用配方法即可求得其最大值.【詳解】，，又均為正實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"=")，，此時(shí).，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得"="，滿足題意.的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)含有多元變量的函數(shù)求最值時(shí)通常要減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量的個(gè)數(shù)方法有:①代入消元，把其中一個(gè)變量用其它變量表示后代入消元;②對(duì)齊次式可通過構(gòu)造比值消元.5．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【分析】利用判別式非負(fù)可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式及不等式性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)；利用特例判斷A選項(xiàng).【詳解】對(duì)于C，由，整理得，，可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即，可以看作關(guān)于的一元二次不等式，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以x的最大值是，故C正確；對(duì)于B，由，即，即，令，，，則，即，即，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以即，即，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，對(duì)于D，所以的最大值是，故B正確；由，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是，故D正確；對(duì)于A，取，，，則，而，又，而，所以，故A錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于多變量的恒等關(guān)系，可利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可以將其中一個(gè)變量看成主變量，從而可判斷方程有解的角度分析問題.壓軸題型二：因式分解型·√滿分技法如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對(duì)分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）1．若，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為16 D．沒有最小值【答案】A【分析】先將題意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后檢驗(yàn)是否成立即可【詳解】由，得.因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.由得,設(shè)函數(shù)，則由，得在上至少一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，故存在，使得不等式中的等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方在于檢驗(yàn)是否成立，需要構(gòu)造，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行驗(yàn)證2．已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【詳解】，，，所以，，當(dāng)時(shí)可取等號(hào).因此所求代數(shù)式的最大值為1．故選：A.3．已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進(jìn)一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時(shí)除以4得：，即，令，，則，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立）.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于難題.4．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,對(duì)不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形,然后必須滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等.5．已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意，直接利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，又，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A.壓軸題型三：代數(shù)換元型√滿分技法形如（a，b）==t，求型，則可以換元反解代換。令x=a+m。Y=b+n反解1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡(jiǎn)后，根據(jù)基本不等式計(jì)算【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故有最小值．故選：B2．已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)，，，即可表示出a、、，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)，，，則，，，且，，，∴，，，∴，令，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.（如，即時(shí)等號(hào)成立）.∴的最小值為；故選：B．3．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)條件有，令則有、，應(yīng)用基本不等式求范圍且恒成立，進(jìn)而求的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，且，所以，令，則，且，所以，即，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，對(duì)于恒成立，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，若，則，而，則，只需，所以，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以目標(biāo)式最小值為.故選：C4．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用換元法將分式變形為整式，進(jìn)而得，再根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】令，，則，，所以，則，又，，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立；故選：B.5．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：B．壓軸題型四：三角換元型√滿分技法1.二次配方型，可以三角換元2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，1．已知實(shí)數(shù)滿足，則最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】解法（1）采用三角換元，令，再結(jié)合余弦函數(shù)的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可；【詳解】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，即最大值為2，故選：A.2．已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為A．2 B．4 C． D．【答案】B【詳解】分析：將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出圓的參數(shù)方程，利用三角恒等變換得到計(jì)算出的最大值，則利用基本不等式進(jìn)行求解．詳解：將化為，令，則，又，所以，即．點(diǎn)睛：（1）本題巧妙地利用三角代換設(shè)出圓的參數(shù)方程，使解題思路變得明了、清晰；（2）本題的關(guān)鍵是合理將絕對(duì)值符號(hào)去掉，為了避免討論，合理利用基本不等式的變形進(jìn)行放縮．3．已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結(jié)果.【詳解】令，等號(hào)在時(shí)取到．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，考查了三角換元法，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.4．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據(jù)式子特征，設(shè)，，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式去除最小值；法二：采用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，利用三角函數(shù)有界性求出最小值.【詳解】法一：∵，∴可設(shè)，，∴，代入所求式子得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.法二：設(shè)，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值為.故選：D5．已知正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】1【分析】記，其中，可求得，進(jìn)而可得，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】由，得，記，其中，原不等式化為，所以，所以，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角代換是解題的關(guān)鍵，進(jìn)而得出是利用基本不等式求得最小值的基礎(chǔ)，進(jìn)而考查運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).壓軸題型五：二元二次裂項(xiàng)型1．已知為正實(shí)數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造不等式湊出定值求解即可.【詳解】由于求的是最大值且為正實(shí)數(shù)，由，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：B【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要把握四個(gè)方面，即“一正各項(xiàng)都是正數(shù)；二定和或積為定值；三相等等號(hào)能否取得（對(duì)于不滿足‘相等’的函數(shù)求最值，可考慮利用函數(shù)單調(diào)性解題）；四同時(shí)多次使用基本不等式時(shí)，等號(hào)要同時(shí)取得”求最值時(shí)，這四個(gè)方面缺一不可．若忽視了某個(gè)條件的驗(yàn)證，可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為()A．23 B． C．2 D．2【答案】B【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a=1取等，即a=1,b=2取等即則的最大值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，熟練變形是關(guān)鍵，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致，是難題.3．是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】若要使最大，則均為正數(shù)，即符號(hào)相同，不妨設(shè)均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號(hào)，即則的最大值為，故選：A．4．已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為.【答案】【分析】將變?yōu)?，然后利用基本不等式求解即?【詳解】因?yàn)閤，y，z均為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用基本不等式，配湊出一個(gè)定值出來，從而得解.5．若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值是．【答案】【分析】將拆開為，同時(shí)用兩次均值不等式構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)即可.【詳解】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故答案為：壓軸題型六：構(gòu)造函數(shù)型1．設(shè)a，b，c為ABC中的三邊長(zhǎng)，且a+b+c=1，則a2+b2+c2+4abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，則f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc，再根據(jù)三角形邊長(zhǎng)性質(zhì)可以證得f(a，b，c).再利用不等式和已知可得ab，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=，再利用求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性可以推得a2+b2+c2+4abc，繼而可以得出結(jié)果.【詳解】記f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，則f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)=2(c+ab)2﹣2a2b2﹣2(ab+c)+1=2[c+ab﹣]2﹣2a2b2+=4(c﹣)(a﹣)(b﹣，又a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)，所以1﹣2a>0，1﹣2b>0，1﹣2c>0，所以f(a，b，c).另一方面f(a，b，c)=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)，由于a>0，b>0，所以ab，又1﹣2c>0，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=，不妨設(shè)a≥b≥c，且a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)，所以.令y=，則y′=3c2﹣c=c(3c﹣1)≤0，所以ymin=﹣=，從而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.2．正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題干中等式變形，得到，對(duì)變形后使用基本不等式求解最小值.【詳解】變形為，則，即，令，（），則恒成立，則，（）單調(diào)遞增，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2故選：A3．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】將已知的式子，然后判斷函數(shù)，，的單調(diào)性，從而可得，即，再利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)，，易知在上單調(diào)遞增，故，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將已知等式轉(zhuǎn)化為等式兩邊結(jié)構(gòu)相同的形式，然后構(gòu)造函數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可得，再利用基本不等式可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題4．已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C5．已知正數(shù)滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得的取值范圍，將平方后整理為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可容易求得其值域，從而求得的取值范圍.【詳解】由可得：，因?yàn)椋约?，可得，故，令，則，又在單調(diào)遞增，故可得，于是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解決問題的關(guān)鍵是如何觀察得目標(biāo)式和已知條件的聯(lián)系，用作自變量取求解函數(shù)的值域，屬綜合困難題.壓軸題型七：均值法比大小√滿分技法常見的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)思維：在于轉(zhuǎn)化過程中，“分參”→“構(gòu)造”，得新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)尋找單調(diào)性涉及到比較多的對(duì)數(shù)比大小，可以借助均值不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算來比大小1．實(shí)數(shù)，，分別滿足，