第2章 一元一次不等式和一元一次不等式組（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）（北師大版）

第2章一元一次不等式和一元一次不等式組（知識(shí)歸納+題型突破）1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會(huì)利用不等式的三個(gè)基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會(huì)根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；一、不等式1.不等式：用符號(hào)“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.要點(diǎn)：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡(jiǎn)的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．二、一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式．要點(diǎn)：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.要點(diǎn)：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過(guò)”“超過(guò)”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.要點(diǎn)：列一元一次不等式解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過(guò)”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)，弄清它們的含義是列不等式解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、一元一次不等式組關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.要點(diǎn)：（1）不等式組的解集：不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個(gè)不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)際意義確定問(wèn)題的答案．四、一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）方程（組）、不等式問(wèn)題函數(shù)問(wèn)題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo).求關(guān)于、的二元一次方程組的解．為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.目錄：題型一不等式的定義題型二不等式的基本性質(zhì)題型三不等式的解集題型四一元一次不等式（組）的解法題型五一元一次不等式（組）的解法題型六一元一次不等式（組）的應(yīng)用（整數(shù)解、求參數(shù)等）題型七一元一次不等式與一次函數(shù)題型八一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用題型九一元一次不等式（組）解答題綜合題題型一不等式的定義【例題】1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓(xùn)練：2．如圖所示，表示三人體重，，的大小關(guān)系正確的是（

）

A． B． C． D．3．高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100克內(nèi)含鈣150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過(guò)150毫克題型二不等式的基本性質(zhì)【例題】4．由m＞n，可得（

）A．mc2＞nc2 B．m2＞n2C． D．m－2021＜n－2021鞏固訓(xùn)練：5．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若ac＞bc，則a＞bB．若a＞b，則a（m－n）＞b（m－n）C．若，則a＞bD．若a＞0，b＞0，且，則a＞b6．如果，那么下列結(jié)論一定正確的是（

）．A． B． C． D．7．已知x＞y，xy＜0，a為任意有理數(shù)，下列式子一定正確的是（

）A．－x＞－y B．a(chǎn)2x＞a2yC．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y題型三不等式的解集【例題】下列解集中，包括2的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：9．如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值是（

）A． B． C． D．10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集11．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個(gè)解C．不等式的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè) D．不等式的正整數(shù)解有4個(gè)題型四一元一次不等式（組）的解法【例題】．12．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)鞏固訓(xùn)練：13．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝．14．下列不等式組，其中是一元一次不等式組的個(gè)數(shù)（

）①；②；③；④；⑤A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)15．下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個(gè)數(shù)（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)題型五一元一次不等式（組）的解法【例題】．不等式表示下列語(yǔ)句并寫出解集，并在數(shù)軸上表示解集：(1)的與5的和大于6；(2)的3倍與2的差不小于4．鞏固訓(xùn)練：17．解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：(1)；(2)．18．解不等式組下面是某同學(xué)的部分解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：解：解不等式①，得

第1步合并同類項(xiàng)，得

第2步兩邊都除以，得

第3步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過(guò)程中第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，這一步的依據(jù)是，不等式①的正確解是．任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．19．解下列一元一次不等式（組）：(1)(2)．20．解下列不等式組：(1)(2)題型六一元一次不等式（組）的應(yīng)用（整數(shù)解、求參數(shù)等）【例題】．21．已知關(guān)于x的不等式x＞的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則a的值為．鞏固訓(xùn)練：22．若關(guān)于x的不等式僅有的正整數(shù)解是1，2，3，則a的取值范圍是．23．不等式的正整數(shù)解是．24．已知不等式組的解集中共有3個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是：．25．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在第二象限，且為負(fù)整數(shù)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．26．已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足，求m的取值范圍．27．一個(gè)運(yùn)算程序，若需要經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，則x的取值范圍為．題型七一元一次不等式與一次函數(shù)【例題】．28．若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為．鞏固訓(xùn)練：29．如圖，直線：與直線：交于點(diǎn)，則不等式的解集為．30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與直線相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是 D．方程組的解是題型八一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用【例題】．31．2022年某地區(qū)空氣質(zhì)量良好（二級(jí)以上）的天數(shù)與全年天數(shù)（365）之比達(dá)到，如果2023年（365天）這樣的比值要超過(guò)，那么2023年空氣質(zhì)量良好的天數(shù)比去年至少要增加的天數(shù)是（

）A．34 B．35 C．36 D．37鞏固訓(xùn)練：32．小明要從甲地到乙地，兩地相距．已知他步行的平均速度為，跑步的平均速度為．若他要在不超過(guò)的時(shí)間內(nèi)從甲地到達(dá)乙地，則至少需要跑步多少分鐘？設(shè)他需要跑步，則列出的不等式為（

）A． B．C． D．33．疫情期間，有一批患者要入住邵陽(yáng)市中心醫(yī)院的某棟大樓，若每間住4人，則有38人無(wú)法入住；若每間住5人，則最后一間沒(méi)住滿．若設(shè)房間數(shù)為x間，則可列不等式組為：．34．小明沿著某公園的環(huán)形跑道（周長(zhǎng)大于）按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑⒂门懿杰浖涗涍\(yùn)動(dòng)軌跡，他從起點(diǎn)出發(fā)，每跑，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，當(dāng)小明跑了2圈時(shí)，他的運(yùn)動(dòng)里程數(shù)（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到時(shí)恰好回到起點(diǎn)，那么此時(shí)小明總共跑的圈數(shù)為．

題型九一元一次不等式（組）解答題綜合題【例題】．35．根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列出不等式：(1)x的6倍減去2是負(fù)數(shù)．(2)的與的和不大于0．(3)正數(shù)與2的和的算術(shù)平方根大于等于1．鞏固訓(xùn)練：36．解下列不等式（組）：(1)；(2)；(3)．37．已知關(guān)于x的不等式組的解集為，求的值．38．近年來(lái)國(guó)家教育部要求學(xué)校積極開(kāi)展素質(zhì)教育，落實(shí)“雙減”政策，藍(lán)山縣某中學(xué)把足球和籃球列為該校的特色項(xiàng)目．學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)某種籃球和足球．若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490元，購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元．(1)籃球、足球的單價(jià)各是多少元；(2)根據(jù)學(xué)校的實(shí)