必修四平面向量基本定理(附答案)

平面向量基本定理[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．知識點一平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．思考如圖所示，e1，e2是兩個不共線的向量，試用e1，e2表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，a.答案通過觀察，可得：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－e1＋4e2，eq\o(EF,\s\up6(→))＝4e1－4e2，eq\o(GH,\s\up6(→))＝－2e1＋5e2，eq\o(HG,\s\up6(→))＝2e1－5e2，a＝－2e1.知識點二兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個非零向量a和b，如圖，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a與b的夾角．①范圍：向量a與b的夾角的范圍是[0°，180°]．②當(dāng)θ＝0°時，a與b同向．③當(dāng)θ＝180°時，a與b反向．(2)垂直：如果a與b的夾角是90°，則稱a與b垂直，記作a⊥b.思考在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角．①eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))；③eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→)).答案①eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為60°；②eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角為120°；③eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角為60°；④eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的夾角為180°.題型一對向量的基底認(rèn)識例1如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.答案②③解析由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是惟一的．對于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是______．(寫出所有滿足條件的序號)答案①②④解析對于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2與4e2－2e1共線，不能作為基底．題型二用基底表示向量例2如圖所示，已知?ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試以a、b為基底表示eq\o(DE,\s\up6(→))、eq\o(BF,\s\up6(→)).解∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))4．設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，試用m，n表示p，p＝________.5．如圖所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分別是DC、AB的中點，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，試用a、b為基底表示eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→)).一、選擇題1．下列關(guān)于基底的說法正確的是()①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①B．②C．①③D．②③2．如圖所示，矩形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1) D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)3．如圖，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b4．設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數(shù)y的值為()A．3B．4C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(3,4)5．若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為()A.eq\f(16,5)B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5)D.eq\f(4,5)二、填空題6．已知e1、e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)λ的取值范圍為________．7．如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝________(用a和b表示)．8．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，則a與b的夾角為________．9．如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝________.10．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．三、解答題11．判斷下列命題的正誤，并說明理由：(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，則a＝c，b＝d；(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出來．12．如圖，平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．13．已知單位圓O上的兩點A、B及單位圓所在平面上的一點P，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))不共線．(1)在△OAB中，點P在AB上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝req\o(OB,\s\up6(→))＋seq\o(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；(2)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．當(dāng)堂檢測答案1．答案B解析B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．2．答案B解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.3．答案D解析由向量夾角定義知，eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→))的夾角為150°.4．答案－eq\f(7,4)m＋eq\f(13,8)n解析設(shè)p＝xm＋yn，則3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4y＝3，,－3x－2y＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,4)，,y＝\f(13,8).))5．解連接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E、F分別是DC、AB的中點，∴DC綊FB.∴四邊形DCBF為平行四邊形．依題意，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\o(FD,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－(a－eq\f(1,2)b)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)b＝eq\f(1,4)b－a.課時精練答案一、選擇題1．答案C解析零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正確．2．答案A解析eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．3．答案D解析易知eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))，則由平行四邊形法則可得eq\o(CG,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up6(→))＋2λeq\o(CF,\s\up6(→))，由于E，G、F三點共線，則2λ＋2λ＝1，即λ＝eq\f(1,4)，從而eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(→))，從而eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．4．答案B解析因為3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，又因為e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋7＝0，,10－y－2x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))故選B.5．答案C解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5).∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).二、填空題6．答案(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線．a(chǎn)＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.7．答案eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝λ(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→)).因為D，O，B三點共線，所以λ＋eq\f(1,2)λ＝1，所以λ＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.8．答案60°解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，∠AOB為a與b的夾角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝60°.9．答案eq\f(4,3)解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).10．答案eq\f(1,2)解析易知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ1＋λ2＝eq\f(1,2).三、解答題11．解(1)錯，當(dāng)e1與e2共線時，結(jié)論不一定成立．(2)正確，假設(shè)e1＋e2與e1－e2共線，則存在實數(shù)λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因為1－λ與1＋λ不同時為0，所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線矛盾．所以e1＋e2與e1－e2不共線，因而它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出來．12．解如圖，以O(shè)C為對角線作?OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上，則存在λ、μ，使eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μ