超幾何分布試題及答案

超幾何分布試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.超幾何分布中，隨機變量\(X\)表示（）A.成功的次數(shù)B.抽取的樣本中某類元素的個數(shù)C.試驗的總次數(shù)D.某事件發(fā)生的概率答案：B2.一批產(chǎn)品共\(N\)件，其中有\(zhòng)(M\)件次品，從中隨機抽取\(n\)件，則抽到次品數(shù)\(X\)服從超幾何分布，其參數(shù)為（）A.\(N,M,n\)B.\(N,M\)C.\(M,n\)D.\(N,n\)答案：A3.已知超幾何分布\(X\simH(10,3,5)\)，則\(P(X=2)\)的值為（）A.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{3}}{C_{10}^{5}}\)B.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{3}}{A_{10}^{5}}\)C.\(\frac{C_{3}^{3}C_{7}^{2}}{C_{10}^{5}}\)D.\(\frac{C_{3}^{3}C_{7}^{2}}{A_{10}^{5}}\)答案：A4.超幾何分布與二項分布的主要區(qū)別是（）A.超幾何分布是離散型分布，二項分布是連續(xù)型分布B.超幾何分布的試驗是不放回抽樣，二項分布是有放回抽樣C.超幾何分布的概率計算更復(fù)雜D.二項分布的隨機變量取值范圍更大答案：B5.從\(50\)個產(chǎn)品（其中\(zhòng)(5\)個次品）中任取\(10\)個，設(shè)取到次品數(shù)為\(X\)，則\(X\)服從超幾何分布，\(E(X)\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(5\)D.\(10\)答案：A6.設(shè)超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)，則\(P(X=k)\)的取值范圍是（）A.\(k=0,1,\cdots,n\)B.\(k=0,1,\cdots,M\)C.\(k=0,1,\cdots,\min(n,M)\)D.\(k=0,1,\cdots,N\)答案：C7.對于超幾何分布\(X\simH(15,5,6)\)，\(P(X=3)\)的意義是（）A.從\(15\)個產(chǎn)品中取\(6\)個，恰好有\(zhòng)(3\)個次品的概率B.從\(15\)個產(chǎn)品中取\(6\)個，至少有\(zhòng)(3\)個次品的概率C.從\(15\)個產(chǎn)品中取\(6\)個，至多有\(zhòng)(3\)個次品的概率D.從\(15\)個產(chǎn)品中取\(6\)個，有\(zhòng)(3\)個正品的概率答案：A8.超幾何分布中，當\(n\)相對\(N\)很小時，超幾何分布近似于（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.二項分布D.均勻分布答案：C9.已知超幾何分布\(X\simH(20,4,8)\)，則\(P(X=4)\)等于（）A.\(\frac{C_{4}^{4}C_{16}^{4}}{C_{20}^{8}}\)B.\(\frac{C_{4}^{4}C_{16}^{4}}{A_{20}^{8}}\)C.\(\frac{C_{4}^{3}C_{16}^{5}}{C_{20}^{8}}\)D.\(\frac{C_{4}^{3}C_{16}^{5}}{A_{20}^{8}}\)答案：A10.超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)中，\(X\)的最大值是（）A.\(n\)B.\(M\)C.\(\min(n,M)\)D.\(N\)答案：C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于超幾何分布的說法正確的是（）A.是一種離散型概率分布B.隨機變量\(X\)表示抽取樣本中特定種類元素的個數(shù)C.試驗是不放回抽樣D.概率公式為\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，\(k=0,1,\cdots,\min(n,M)\)答案：ABCD2.超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)中，參數(shù)\(N,M,n\)滿足（）A.\(N\)是總體容量B.\(M\)是總體中具有某種特征的個體數(shù)C.\(n\)是樣本容量D.\(n\leqN\)，\(M\leqN\)答案：ABCD3.從\(10\)個球（其中\(zhòng)(3\)個紅球，\(7\)個白球）中任取\(4\)個球，設(shè)取到紅球個數(shù)為\(X\)，則（）A.\(X\)服從超幾何分布B.\(P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{3}}{C_{10}^{4}}\)C.\(X\)的可能取值為\(0,1,2,3\)D.\(E(X)=\frac{4\times3}{10}=1.2\)答案：ABCD4.下列情況中，隨機變量服從超幾何分布的有（）A.從\(50\)名學生（其中\(zhòng)(10\)名男生）中選\(5\)名參加活動，選到男生的人數(shù)B.從\(100\)件產(chǎn)品（其中\(zhòng)(10\)件次品）中抽取\(10\)件，抽到次品的數(shù)量C.投籃\(10\)次，投中的次數(shù)D.拋骰子\(5\)次，出現(xiàn)\(6\)點的次數(shù)答案：AB5.對于超幾何分布\(X\simH(25,5,8)\)，以下說法正確的是（）A.\(N=25\)B.\(M=5\)C.\(n=8\)D.\(P(X=2)=\frac{C_{5}^{2}C_{20}^{6}}{C_{25}^{8}}\)答案：ABCD6.超幾何分布與二項分布的聯(lián)系有（）A.當\(n\)相對\(N\)很小時，超幾何分布近似于二項分布B.二者都是離散型分布C.都用于計算特定事件發(fā)生的概率D.概率計算方法完全相同答案：ABC7.已知超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)，則（）A.\(E(X)=\frac{nM}{N}\)B.\(D(X)=\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)C.\(X\)的取值是\(0\)到\(\min(n,M)\)的整數(shù)D.\(P(X=k)\)的和為\(1\)答案：ABCD8.從\(12\)個乒乓球（其中\(zhòng)(9\)個新球，\(3\)個舊球）中任取\(3\)個球，設(shè)取到新球個數(shù)為\(X\)，則（）A.\(X\)服從超幾何分布B.\(P(X=2)=\frac{C_{9}^{2}C_{3}^{1}}{C_{12}^{3}}\)C.\(E(X)=\frac{3\times9}{12}=\frac{9}{4}\)D.\(X\)的可能取值為\(0,1,2,3\)答案：ABCD9.超幾何分布在實際生活中的應(yīng)用場景有（）A.產(chǎn)品質(zhì)量抽檢B.從一群動物中抽取樣本檢查疾病情況C.抽獎活動中計算中獎概率D.計算物體運動的速度答案：ABC10.若超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)，\(Y\simH(N,M,m)\)（\(n\neqm\)），則（）A.\(X\)和\(Y\)的概率分布不同B.\(E(X)=\frac{nM}{N}\)，\(E(Y)=\frac{mM}{N}\)C.\(D(X)=\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)，\(D(Y)=\frac{mM}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-m}{N-1}\)D.\(X\)和\(Y\)的取值范圍可能不同答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.超幾何分布中試驗是有放回抽樣。（）答案：錯誤2.超幾何分布的隨機變量\(X\)只能取非負整數(shù)。（）答案：正確3.若\(X\simH(10,2,5)\)，則\(P(X=3)=\frac{C_{2}^{3}C_{8}^{2}}{C_{10}^{5}}\)。（）答案：錯誤4.超幾何分布中，總體容量\(N\)，樣本容量\(n\)，總體中具有某種特征的個體數(shù)\(M\)需滿足\(n\leqN\)，\(M\leqN\)。（）答案：正確5.當\(n\)相對\(N\)很大時，超幾何分布近似于二項分布。（）答案：錯誤6.超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)中，\(E(X)=\frac{nM}{N}\)。（）答案：正確7.從\(10\)個產(chǎn)品（其中\(zhòng)(3\)個次品）中任取\(4\)個，取到次品數(shù)\(X\)服從超幾何分布，\(X\)的最大值是\(3\)。（）答案：正確8.超幾何分布是連續(xù)型概率分布。（）答案：錯誤9.已知超幾何分布\(X\simH(15,4,6)\)，\(P(X=0)=\frac{C_{4}^{0}C_{11}^{6}}{C_{15}^{6}}\)。（）答案：正確10.超幾何分布概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，\(k\)的取值可以超過\(M\)。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述超幾何分布的定義答案：超幾何分布是統(tǒng)計學上一種離散概率分布。它描述了從有限\(N\)個物件（其中包含\(M\)個指定種類的物件）中抽出\(n\)個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數(shù)（不放回）。其概率公式為\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，\(k=0,1,\cdots,\min(n,M)\)。2.超幾何分布與二項分布在抽樣上有何區(qū)別答案：超幾何分布的抽樣是不放回抽樣，即每次抽取后樣本總體發(fā)生變化；而二項分布是有放回抽樣，每次抽取時樣本總體保持不變，每個個體被抽到的概率在每次試驗中都相同。3.計算超幾何分布\(X\simH(10,3,5)\)中\(zhòng)(P(X=2)\)的步驟答案：根據(jù)超幾何分布概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，這里\(N=10\)，\(M=3\)，\(n=5\)，\(k=2\)。先算\(C_{3}^{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3\)，\(C_{7}^{3}=\frac{7!}{3!(7-3)!}=35\)，\(C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=252\)，則\(P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{3}}{C_{10}^{5}}=\frac{3\times35}{252}=\frac{5}{12}\)。4.超幾何分布的期望公式是什么？并說明各參數(shù)意義答案：期望公式\(E(X)=\frac{nM}{N}\)。其中\(zhòng)(N\)是總體容量，\(M\)是總體中具有某種特征的個體數(shù)，\(n\)是樣本容量，該公式表示超幾何分布隨機變量\(X\)的平均取值。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際生產(chǎn)中，如何判斷使用超幾何分布還是二項分布來計算產(chǎn)品次品率相關(guān)概率答案：若抽樣是有放回的，各次抽樣相互獨立，每個產(chǎn)品被抽到的概率不變，用二項分布；若抽樣是不放回的，且總體容量有限，樣本容量相對總體不可忽略，用超幾何分布。當樣本容量相對總體很小時，超幾何分布近似二項分布，也可用二項分布簡化計算。2.超幾何分布在抽獎活動中的應(yīng)用原理及局限性答案：應(yīng)用原理：抽獎通常是不放回抽取，可將獎券看作總體，中獎獎券看作總體中特定元素，抽取的獎券數(shù)為樣本容量，用超幾何分布計算中獎概率。局限性：需知道總體準確數(shù)量和其中特定元素數(shù)量，實際中可能難以精確得知；且計算相對復(fù)雜，當總體和樣本容量大時計算量劇增。3.舉例說明超幾何分布在生物樣本檢測中的應(yīng)用答案：比如從一個池塘的\(N\)條魚（其中\(zhòng)(M\)條感染某種疾病）中隨機撈出\(n\)條魚檢測疾病情況，撈