人教版五年級下冊數(shù)學(xué)29、五年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)專題講座第十四課(遞推方法)公開課課件教案

五年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)專題講座第十四課《遞推方法》難題練習(xí)及題目答案

五年級奧數(shù)下冊：第十四講遞推方法

第十四講遞推方法

遞推方法是人們從開始認識數(shù)量關(guān)系時就很自然地產(chǎn)生的一種推理思想.例

如自然數(shù)中最小的數(shù)是1,比1大1的數(shù)是2,接下來比2大1的數(shù)是3,…由此得

到了自然數(shù)數(shù)列：1,2,3,4,5,….在這里實際上就有了一個遞推公式，假

設(shè)第n個數(shù)為?則

a>i=ar+l

即由自然數(shù)中第n個數(shù)加上1,就是第n+1個數(shù)。由此可得

4+2=4+1+1,

這樣就可以得到自然數(shù)數(shù)列中任何一個數(shù)

再看一個例子：

例1平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上100條直線最多能把

圓的內(nèi)部分成幾部分？

解：

假設(shè)用，表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分數(shù).這里k=0,1,2,

….如圖可見。

%V=1

a=a.+l=2

a2=aL+2=4

a3=a4.+3=7

a4=a3+4=11

歸納出遞推公式Q）

即畫笫n+1條直線時，最多增加n部分原因是這樣的：第一條直線最多把

圓分成兩部分，故d=2.當畫第二條直線時要想把圓內(nèi)部分割的部分盡可能

多，就應(yīng)和第一條直線在圓內(nèi)相交，交點把第二條直線在圓內(nèi)部分分成兩條線

段，而每條線段又把原來的一個區(qū)域劃分成兩個區(qū)域，因而增加的區(qū)域數(shù)是

2,正好等于第二條直線的序號.同理，當畫第三條直線時，要想把圓內(nèi)部分割

的部分數(shù)盡可能多，它就應(yīng)和前兩條直線在圓內(nèi)各有一個交點兩個交點把第三

條線在圓內(nèi)部分成三條線段.而每條線段又把原來一個區(qū)域劃分成兩個區(qū)域.因

而增加的區(qū)域部分數(shù)是3,正好等于笫三條直線的序號，….這個道理適用于任

意多條直線的情形所以遞推公式（1）是正確的.這樣就易求得5條直線最多把

圓內(nèi)分成：

a5=a4+5=11=5=16（部分）。

要想求出100條直線最多能把圓內(nèi)分成多少區(qū)域，不能直接用上面公式

了，可把上面的遞推公式變形：

74=4-1+0=11^+（n-1）+n

=a.-3+(n-2)+(n-n)F

n(n+1)

…=1+1+2+…+n=l+

2-

100X101

??"⑼=1+~—5051（部分）。

乙

公式（2）也稱為數(shù)列1,2,4,7,11,16,…的通項公式.

一般來說，如果一個與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)列中的任一項A可以由它前面的k

?n-l）項經(jīng)過運算或其他方法表示出來，我們就稱相鄰近之間有遞歸關(guān)系，

并稱這個數(shù)列為遞歸數(shù)列.如果這種推算方法能用公式表示出來，就稱這種公式

為遞推公式或遞推關(guān)系式.通過尋求遞歸關(guān)系來解決問題的方法就稱為遞推方

法.許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題都常常具有遞推關(guān)系，可以用遞推公式來表達

它的數(shù)量關(guān)系.如何尋求這個遞推公式是解決這類問題的關(guān)鍵之一，常用的方法

是“退”到問題最簡單情況開始觀察.逐步歸納并猜想一般的速推公式.在小學(xué)

生階段，我們僅要求學(xué)生能撥開問題的一些表面現(xiàn)象由簡到繁地歸納出問題的

遞推公式就行了，不要求嚴格證明當然能證明更好所渭證明，就是要嚴格推

出你建立的關(guān)系式適合所有的n,有時，僅僅在前面幾項成立的關(guān)系式，不一定

當嫉大時也成立。

例2平面上10個兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？平面上1993個

圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？

解：設(shè)平面上k個圓最多能將平面分割成名：部分.我們先“退”到最簡單的

情形如圖可見

a:=2,『=2+2X1,

a3=8=44-2X2,

a4=14=8+2X3,

ar=an-l+2(n-1).(3)

例3在一個圓周上按下面規(guī)則標上一些數(shù)：第一次先把圓周二等分，

在兩個分點旁標上:和［如圖(a).第二次把兩段半圓弧二等分，在

分點旁標上相鄰兩分點旁所標兩數(shù)的和，如圖(b),標上4=:+;).第

三次把4段圓弧分別二等分，并在4個分點旁邊標上兩個相鄰分點旁所

標數(shù)的和，如圖(c),分別標上1+|?和12(=:+.如此繼續(xù)下

3\2b)b\3b)

去，當笫八次標完數(shù)以后，圓周上所有己標的數(shù)的和是多少？

解：

解：我們一般地設(shè)第一次所標的兩數(shù)分別為a、b,用S,表示第k次標

完后各分點所標數(shù)的和.如圖可見

SI=a+b,S2=S.+2S.=3S1=3(a+b)。

原因是這樣的：S2是兩類分點旁的標數(shù)和，一類是原來分點所標數(shù)

的和"，另一類是新增分點所標數(shù)的和，它正好是由原來各分點所標的數(shù)

向左加一次，又向右加一次的和，故新增分點旁所標數(shù)的和恰好是原來

所有數(shù)之和的2倍2S.,因此有

S2=S1+2S.=3S:,同理類推

S3=S2+2S2=3S2=32S.,

S4=32S1+2X32S,=32S1,

Sr3門S產(chǎn)3r（a+b）（4）

（4）式為遞推公式：SxUBS.-l在S]=a+b時已解出的表達式.所謂解

出，即S.直接依賴于n與S.而計算出.不再是S.依賴于S.T,S.-1又依賴于

S-…這樣的形式。

月份兔了戲費r

O表示未成熟的免于對

?表示可生小兔的兔彳對

第一個月：只有1對小兔。

笫二個月：一對小兔長成一對大兔，但尚不會生殖仍只有一對兔

子。

第三個月：這對大兔生了一對小兔，這時共2對兔子。

第四個月：大兔又生了一對小兔，而上月出生的小兔正在長大，這

時共3對兔子。

第五個月：這時己有兩對大兔可以生殖（原來的大兔和第三個月出

生的小兔），于是生了兩對小兔，這時共有5對兔子。

把推算的結(jié)果列成一張表

月份數(shù)一二三四五六七A九■1*十二十三■■■

兔對數(shù)112二；58132134E589144233???

由表中可見滿一年時可得144對兔子。

,如果要算的時間長，這種方法就有困難了，現(xiàn)在我們來找遞推關(guān)

系。

用｛%｝表示第口個月時的兔子對數(shù)，則

｛%｝：1,1,2,3,5,8,13,21,3%…。

容易發(fā)現(xiàn)遞推公式是

現(xiàn)在說明這個遞推公式是正確的.因為第n個月時的兔子對分兩類，一

類是第nJ個月時的兔子對，另一類是當月新生的兔子對，而這些小兔對

數(shù)恰好是第n?2個月時的兔子對數(shù)％工。

有了上面的遞推公式就可以寫出｛uj的第12項為144對.這正是本題

要求的滿一年時的小兔總對數(shù)。數(shù)列｛%｝稱為斐波那契數(shù)列

（Fibonacci,11"0—1250,是意大利數(shù)季家）.由于數(shù)列｛1｝具有許多重

要的奇特性質(zhì).因而受到數(shù)學(xué)家們的極大關(guān)注，并把數(shù)列w取名為斐

波那契數(shù)列.

例5傳說在印度的佛教圣地貝拿勒斯圣廟里安放著個一個黃銅板，板上插

著三根寶石針，在第一根寶石針上，從下到上穿著由大到小的64片中心

有孔的金片.每天都有一個值班僧侶按下面規(guī)則移動金片：把金片從第一

根寶石針移到其余的某根寶石針上.要求一次只能移動一片，而且小片永

遠要放在大片的上面當時傳說當64片金片都按上面的規(guī)則從第一根寶石

針移到另一根寶石針上時，世界將在一聲霹靂中毀滅.所以有人戲稱這個

問題叫“世界末日”問題（也稱為“Han。諧"'可題）,當然，移金片和

世界毀滅并無聯(lián)系，這只是一個傳說而己，但說明這是一個需要移動很

多很多次才能辦到的事情解這個問題的方法在算法分析中也常用到.究竟

按上述規(guī)則移動完成64片金片需要移動多少次呢？解：設(shè)有n片金片，把

從第一片金片至第k片金片按題目要求由笫肝艮寶石針移到另一根寶石針共

需移動4次。

先對4片金片的簡單情形用下列的幾組圖來表示移動過程中的各種狀

態(tài)，并計數(shù)，歸納出遞歸關(guān)系式。

”4吊一片材納JL

初始獻$=i（it>

海2；：-迎第一片移到n

（電、2片移

到in完成）

a；m+]

=3（次j

m第3片1亞第D［在上的兩片移到U

見君到JL

上，第1、2、3片移到

上完成

2--

3二二

u第1［在上的畫片移到IE

上,第1、2、3、片移

到在DLL完成

3

3二二1一2--——2--&4=2a3+1

mmAnnmnnnrfnmmnnmhnnn=15（ftj

這節(jié)的前幾個例子都是“退”到簡單的特殊情況來歸納出一般規(guī)律.

在這個例子里，我們將先用一般推理得出遞推公式，再以n=64代入，便

可解決我們這個例題這種從一般到特殊來解決問題的方法也是數(shù)學(xué)上的

一種常用方法。

我們可以這樣來想：為了移動笫n片到笫III根寶石針上，我們必須先

把它上面的n-1片按題目的規(guī)則采用某種程序移到笫H根寶石針上，這需

要移動an-1次.然后才能把最下面第昉（最大的），稱到第III根寶石針上.

最后再經(jīng)過arT次才能把第II根寶石針上的nJ片金片按上面規(guī)則采用同樣

程序移到第III根寶石針上.因此把n片金片按題中的規(guī)則全部移到另一根寶

石針上共應(yīng)移

4=20.7+1（次）.（5）

這就是遞推公式。為了求得n=64時電的值，我們當然不能一次次地

由4=1,干3,a3=7,…直到算出—現(xiàn)在莪們設(shè)法把遞推公式（5）變形

為由以直接計算a“的形式。

^=221.-1+1=2（2芍.+1）+l=22ar_:+2+1

=22（2aX*-3+1）-*-2X+I1=23a-3X+22+2+1

??

=2r-l%+2T+2/3+-?+2+1

=1+2+22+…+2c-4.+2n-1,

???4=24-4

=2（1+2+22+.??+2］一1）-（1+2+---+2--1）

=2j

64

aS4=2-lo

與：是一個非常大的數(shù).如果按每移動一片次需一秒鐘算，把64片金片

從一根寶石針移到另一根寶石針上大約需要580眩年。

五年

級奧數(shù)下冊：第十四講遞推方法習(xí)題

習(xí)題十四

1.請你根據(jù)下列各個數(shù)之間的關(guān)系，在括號里填上恰當?shù)臄?shù):

①1,5,9,13,17,()。

③23W上…3

10T6'22'28'58'

②0.625,1.25,2.5,5,()。

?198,297,396,495,(),()。

41f22f23..........；

20jf8f9-10

19；ii

fI|：

185—312j

17-4—16-*—15-<—13;

2.將自然數(shù)1,2,3,…，按圖排列，在“2”處轉(zhuǎn)第一個彎，“3”處轉(zhuǎn)第

二個彎，“5”處轉(zhuǎn)第三個彎，….問哪個數(shù)處轉(zhuǎn)第二十個彎？

3.請用速推方法求出甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，共有多少種不同

站法？

4.上一段12級樓梯，規(guī)定每一步只能上一級或兩級.問要登上第12級樓梯共

有多少種不同走法？

5.有10個村莊，分別用A1，A:,%：表示，某人從A1出發(fā)按箭頭方向繞

一圈最后經(jīng)由A二再回到A】，看多少種不同走法？

注：每點（村）至多過一次，兩村之間，可走直線，也可走圓周上弧線，

但都必須按箭頭方向走.

五年級奧數(shù)下冊：第十四講遞推方法習(xí)題解答

習(xí)題十四解答

L①;相鄰兩數(shù)的差均為4,故括號里應(yīng)填17-4=21。

②??T.25?0.625=0.625,

2.5-1.25=1.25,

3.5-25=2.5,

可見差正好等于減數(shù)。

:?（）-5=5,

（）=5+5=10。

或者：后一個數(shù)為前一個數(shù)的2倍，故

括號里應(yīng)填2X5=10。

③從數(shù)列可見分子從2開始逐個增大1；分母從10開始逐個增

大6,要填（），須先知道二是第幾個數(shù)?分母順序為：16,

JO

22,28,34,40,46,52,58。

??.這個分數(shù)為第9個數(shù)。

???括號里應(yīng)填10。

④十位上數(shù)不變，百位上數(shù)依次遞增1,個位上數(shù)依次遞減1,故括號中數(shù)

應(yīng)填594,693o

2解：拐彎處數(shù)的規(guī)律可見下頁表。

拐彎處序號拐彎處的數(shù)前后關(guān)系

①21?①二2

②32?①二3

③53?②二5

④75+②=7

⑤107?③=10

⑥1310?③二13

⑦1713+@=17

⑧2117+④=21

.■■

■.■

??.第19個拐彎處的數(shù)比笫18個拐彎處的數(shù)大10,第20個拐彎處的數(shù)比第19

個拐彎處的數(shù)也大10,故第20個拐彎處的數(shù)為：

1+2X(1+2+3+-+10)=111.

3.解：假設(shè)n個人站成一排共有a一種不同站法.可以先讓其中的n-1個人站成

一排，共有a一種不同的站法，再讓廁下的那個人站在他們中間或兩頭，又有n

種站法住乘和原理，可得到遞推公式：

4=口乂4-1。

又二a.=1,

.*.a4=4Xa,=4X3Xa2=4X3X2Xai=4!=24。

4解設(shè)登上讖樓悌共有a.種不同走法，n=l,2,….把上到第酸樓悌的

情形分為兩種走法一類是先上到第n-1級樓梯，然后再上一級，共有力.種走法一

另一類是先上到第n-2級樓梯，然后再上兩級，共有種走法.由加法原理，上

到第殿樓悌的走法4滿足下列遞推關(guān)系式：

an=ar.-l+an-2<>

X*/a.=l,a:=2,故上樓梯方法數(shù)4依次為1,2,3,5,8,13,21,34,

55,89,144,233,….

???上到第12級樓梯共有233種不同走法。

5解：設(shè)從A：按箭頭方向走到An+1的走法數(shù)為4,n=l,2,…，9.則a9即為

所求（因為從A10回到A1只有一種方式）.可見，a：=l,a：=2,a<+i=ak+a1為遞

推公式。*

Aa（n=l,2,…，9）依次為1,2,3,5,8,13,21,34,55.即共55種

不同的走法。也可以用圖來表示解答過程.

每一個村（點）旁邊的數(shù)字就是到這村的K同走法個數(shù)正好符合斐波那契

數(shù)列的特點。

從A.出發(fā)走到A：點只有一種方式，&點標有數(shù)目L從A，到An一種直接沿

圓弧走，另一種途經(jīng)A.走，所以共有1+1=2種方式，從A,朝A“有兩種方

式，一種途經(jīng)A二再沿忒&到A,的直線走，另一種途經(jīng)A己到A」.所以總方式數(shù)目等

于A1到A；的方式數(shù)加A1到的方式數(shù)。

也即（A「f）方式數(shù)

=（AlffA2）方式數(shù)+（A1ffA3）方式數(shù)

=1+2

=3。

其余類推.

以下資料為班級建設(shè)資料，有需要可以用：《滴水精神》主題班會

活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每

個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？"大家回答:

“愿意！”

主持人口述謎語:

“雙手抓不起，一刀劈不開,

煮飯和洗衣，都要請它來

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處

可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能

為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話,水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷,洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶,生活處處離不開它

栽小樹，種莊稼,農(nóng)民伯伯把它有;

魚兒河馬大對蝦,日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它,京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們,聽完了這個快板，你們說水的用處大不大?

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下

的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很

受教育，同學(xué)們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費

水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個

電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙

二人分別上廁所，看見后乂皺眉乂罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說:

“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把

水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪

一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請淡談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個

廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再

見!

水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道

了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物

共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比

珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約--滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用

水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每

個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？"大家回答:

“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處

可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，東們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能

為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話,水的用處真叫大;

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手乂洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸;

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它;

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對?美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下

的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看