結(jié)構(gòu)力學(xué)I 課件 第5章-靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

5-1位移計算概述5-2虛功原理5-3位移計算的一般公式5-4荷載作用下的位移計算5-5圖乘法5-6其他外因作用下的位移計算5-7互等原理第5章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算第5章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算5-1位移計算概述5-1位移計算概述ABt1t2BCFPAθCC′

xC

C

yC(a)荷載作用下C點位移(c)溫度改變（t2>t1>0）(d)制造誤差縮短λc(b)支座移動位移種類及產(chǎn)生原因5-1位移計算概述5-1位移計算概述BθBθADACθAB

C

DqC′D′廣義位移結(jié)構(gòu)起拱

AB=

A+

B除了單個方向位移，工程中還會用到組合形式的位移，稱為廣義位移為避免大跨度結(jié)構(gòu)因自重、負重等因素出現(xiàn)明顯下?lián)?，設(shè)計時通過尺寸微調(diào)使得結(jié)構(gòu)在空載時具有一個向上的初始位移，即為結(jié)構(gòu)起拱5-2虛功原理5-2-1剛體體系的虛功原理剛體體系平衡主動力虛功總和為零充分+必要虛功方程：We=0求未知力ABCdlGX例：列出施加力X

的虛功方程。(b)虛設(shè)位移(可能位移)ABCdl

X

G虛功方程：X

X+G

G=0

沿對應(yīng)力的正方向為正5-2虛功原理5-2-1剛體體系的虛功原理虛設(shè)位移,求實際力——單位位移法平衡方程兩種應(yīng)用虛設(shè)力,求實際位移——單位荷載法幾何方程例1：求支座B反力FyB(b)虛擬位移狀態(tài)(a)實際力狀態(tài)BACFPlaBACFyB1（

）虛位移原理求力（單位位移法）5-2虛功原理5-2-1剛體體系的虛功原理例2：已知支座B發(fā)生了沉降c，求C點的豎向位移ΔyC(a)實際位移狀態(tài)(b)虛擬力狀態(tài)BACFP=1laBACc

yC虛力原理求位移（單位荷載法）（

）5-2虛功原理5-2-2變形體系的虛功原理變形體系平衡外力虛功=變形虛功充分+必要虛功方程：We=WvM1+dM1M1dsFN1FQ1FN1+dFN1FQ1+dFQ1q1(a)力狀態(tài)(b)力狀態(tài)的微段受力(c)位移狀態(tài)(d)位移狀態(tài)的微段變形ABCq1M1FP1dsFxA1FyA1FyB1ABCdsu2ABCds

2v2ds

2d

2dsdu2軸向變形剪切變形彎曲變形總變形dv25-2虛功原理5-2-2變形體系的虛功原理(1)總虛功等于外力虛功與內(nèi)力虛功之和dWe：微段的外力虛功；dWi：微段的內(nèi)力虛功；積分號

：對同一桿件各微段求和；求和號

：對不同桿件作疊加；W=We(2)總虛功等于各微段作用力在剛體位移上及其在變形位移上所做虛功之和W=Wv5-3位移計算的一般公式5-3-1位移計算的一般公式(a)實際位移狀態(tài)(b)虛擬單位力狀態(tài)kKBCAkFP=1c2kK′Kc1FP2+t2+t1FP1BCAc3=θ3ε、γ、κk

一般公式5-3位移計算的一般公式5-3-2廣義力和廣義位移A、B兩截面相對轉(zhuǎn)角θAB=θA+θBθABθAθBAB廣義位移廣義單位力A、B兩截面一對方向相反的單位力偶AB11A、B兩點的水平相對位移

AB=

A+BAB

A

BA、B兩點一對方向相反的水平單位力AB115-3位移計算的一般公式5-3-2廣義力和廣義位移廣義位移廣義單位力A、B兩點的豎向相對位移

AB=

A+BAB

A

BA、B兩點一對方向相反的豎向單位力AB11鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角ABCθC鉸C兩側(cè)截面一對反向單位力偶1BC1A5-3位移計算的一般公式5-3-2廣義力和廣義位移廣義位移廣義單位力AlB

B

AAB桿的轉(zhuǎn)角A、B結(jié)點一對垂直桿軸的反向力構(gòu)成單位力偶AlB5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算設(shè)結(jié)構(gòu)受到荷載作用后，該實際狀態(tài)任一截面的應(yīng)變?yōu)棣臥、γP、κP若實際狀態(tài)中由荷載產(chǎn)生的截面內(nèi)力為FNP、FQP、MP平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式k是考慮剪應(yīng)力沿截面不均勻分布而引用的修正系數(shù)5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算梁和剛架桁架拱和曲桿結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算【例5-1】試求圖5-8a所示剛架截面C的豎向位移。已知各桿EI為常數(shù)。qlBClAxBCAC1llAB

圖(a)實際狀態(tài)(b)實際狀態(tài)MP圖(c)虛擬狀態(tài)圖BC桿：AB桿：AB桿：（左側(cè)受拉）（左側(cè)受拉）（上側(cè)受拉）BC桿：（上側(cè)受拉）5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算【例5-1】試求圖5-8a所示剛架截面C的豎向位移。已知各桿EI為常數(shù)。（

）【討論】BC桿：AB桿：軸向變形和剪切變形引起位移均隨桿件高跨比h/l的增大而增大當h/l=1/10時兩個比值為1/750、1/500，影響很小，故一般可予忽略5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算【例5-2】圖所示桁架，求結(jié)點C的豎向位移

yC。EABFC108kN4m3m4m4mD108kN(32)(40)(24)EABFC108kND108kN144?180144144?180108108?1440(a)實際狀態(tài)（截面積cm2）(b)實際狀態(tài)FNP值（kN）EABFC1D8/9?10/94/9?5/92/30?8/95/94/9(c)虛擬狀態(tài)

值將各桿桿長、面積、內(nèi)力值列表計算（

）5-4荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算【例5-3】圖所示等截面1/4圓弧曲梁，半徑為R，截面為矩形。試求由豎向均布荷載引起的B點豎向位移。(a)實際狀態(tài)(b)虛擬力狀態(tài)例5-3圓弧曲梁兩種狀態(tài)1ARθBKOqAdθRθBKOds實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)5-5圖乘法5-5-1圖乘法算式1.梁和剛架位移計算式①直桿——ds=dx②EI=常量——EI可提積分外③至少一圖形為直線

——該圖形豎標線性變化條件一圖形面積乘以其形心對應(yīng)的另一直線圖形豎標2.滿足三條件，可用圖乘法：圖乘法ycAydxCxOMp圖BABdA面積APyxcx圖5-5圖乘法5-5-1圖乘法算式Ai

與yi同側(cè)時取正1)兩圖形均為直線，可從任一個取豎標；2)桿件分段滿足條件，分段圖乘；y1A2A3y2y3MP圖圖A1y1A2y2MP圖圖A1取豎標的圖形為折線桿件為分段等截面5-5圖乘法5-5-1圖乘法算式常見圖形面積及形心位置(a)三角形(b)對稱二次拋物線hl頂點ChablClhClh頂點A1A2C1C2l頂點A1A2C1C2h(c)二次拋物線(d)三次拋物線5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用1.無荷載區(qū)段MP圖的圖乘(a)同側(cè)梯形圖形(b)異側(cè)梯形圖形y1bA1y2MP圖aA2dcly1A1y2MP圖A2lbadc豎標不同側(cè)時公式仍成立規(guī)定一側(cè)為正即可5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用2.均布荷載區(qū)段MP圖的圖乘(a)原圖形圖乘(b)兩梯形圖乘(c)拋物線與梯形圖乘M2M1M4M3lM4M3y0M0dxxy0MP圖M2M1M4M3M0dxxq5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用【例5-4】試求圖所示簡支梁在均布荷載作用下的B端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。BCAqEI=常數(shù)(a)原結(jié)構(gòu)(b)實際狀態(tài)MP圖BCABCA1BA11C(d)虛擬狀態(tài)圖(c)虛擬狀態(tài)圖5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用【例5-5】計算圖所示伸臂梁在自由端的撓度。已知EI=9

104kN

m2。EI=常數(shù)3m6mBCA4kN/m10kNBCA4.548BCA33010kNBC184kN/mBC

圖（m）(a)伸臂梁(b)實際狀態(tài)MP圖（kN

m）(c)BC段MP圖分解（kN

m）(d)虛擬狀態(tài)5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用【例5-5】計算圖所示伸臂梁在自由端的撓度。已知EI=9

104kN

m2。EI=常數(shù)3m6mBCA4kN/m10kNBCA4.548BCA33010kNBC184kN/mBC

圖（m）(a)伸臂梁(b)實際狀態(tài)MP圖（kN

m）(c)BC段MP圖分解（kN

m）(d)虛擬狀態(tài)5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用【例5-7】試求圖所示三鉸剛架鉸C左右截面的相對轉(zhuǎn)角，繪出剛架變形圖。6kN/mB4mA6m6mDE2mCEIEI2EI2EIBADEC27729729727227(a)剛架

(b)實際狀態(tài)MP圖（kNm）BADECBADEC1(c)剛架變形圖

(d)虛擬狀態(tài)圖5-5圖乘法5-5-2圖乘法應(yīng)用應(yīng)用圖乘法時應(yīng)注意的問題：1)需滿足直桿、EI=常數(shù)，至少一個圖形為直線三個條件；2)當桿件分段滿足條件時，可分段圖乘，再疊加；3)對無荷載區(qū)段，可用兩直線圖乘的計算式；4)對均布荷載區(qū)段，可按區(qū)段疊加法分塊圖乘.5-6其他外因作用下的位移計算5-6-1支座移動引起的位移式中ci為實際狀態(tài)的第i個支座位移；為虛擬力狀態(tài)中與ci對應(yīng)的支座反力。靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生支座移動，桿件本身并不會產(chǎn)生內(nèi)力和變形，但會引起剛體體系的位移。當兩者指向一致時，其乘積取正號，相反時取負號。5-6其他外因作用下的位移計算5-6-1支座移動引起的位移【例5-9】圖所示三鉸剛架，支座B發(fā)生了兩方向移動，求結(jié)點D的轉(zhuǎn)角。hBAC′EDD′E′B′Cba1BAEDC(a)剛架支座移動(b)力狀態(tài)支座反力()5-6其他外因作用下的位移計算5-6-2溫度改變引起的位移t1t2dst1軸線hh2h1dsαt2dsαt1dsdθαt0dst1t2t0(a)結(jié)構(gòu)變形圖

(b)微段變形圖靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生溫度改變時，桿件可自由伸縮或撓曲，故不會產(chǎn)生內(nèi)力，但會引發(fā)位移。5-6其他外因作用下的位移計算5-6-2溫度改變引起的位移——兩狀態(tài)變形方向一致，則乘積為正當

、h、t1、t2沿桿長不變，可簡化：考慮到溫度改變并不引起剪切變形，則可得溫度改變的計算公式5-6其他外因作用下的位移計算5-6-2溫度改變引起的位移【例5-10】試求圖所示剛架由溫度改變引起的鉸C的豎向位移。已知剛架建造時的溫度為0oC，夏季使用時外側(cè)溫度為40oC，內(nèi)側(cè)為20oC；各桿截面均為高度60cm的矩形，材料線膨脹系數(shù)為α。Et1=40oCC6mA4mDB4mt2=20oC1ECADBECAD122(a)剛架發(fā)生溫度改變(b)力狀態(tài)

圖改變(c)力狀態(tài)

圖（m）5-6其他外因作用下的位移計算5-6-2溫度改變引起的位移計算由溫度改變引起的位移時，應(yīng)關(guān)注以下幾點：1)溫度改變應(yīng)分解為軸線處溫變+截面上下緣溫變之差；2)溫度改變引起的位移可用專門的位移計算式計算；3)對靜定結(jié)構(gòu)，軸線處溫變僅引起桿件軸向變形，但也可能使整體結(jié)構(gòu)變形；4)對靜定結(jié)構(gòu)，溫變之差僅引起桿件彎曲變形，但也可能使結(jié)點產(chǎn)生位移。5-6其他外因作用下的位移計算5-6-3制造誤差引起的位移一是桿件長度的誤差，可視為桿件軸向應(yīng)變的累積二是桿件平直度的誤差，可簡化為桿件在某個截面K發(fā)生了角度為qK的彎折，而這可視作桿件曲率在此截面的累積。l

θKlK(a)桿長誤差(b)桿件平直度誤差計算公式5-6其他外因作用下的位移計算5-6-3制造誤差引起的位移【例5-11】圖所示下承式桁架，設(shè)計時欲通過調(diào)整上弦桿DE的長度，使下弦桿有一個初始起拱。如目標是使C點上移50mm，試求DE桿長調(diào)整量。

yC=1

=5

=50mm（

）11EC3mA6mDB6m桁架及單位力狀態(tài)5-6其他外因作用下的位移計算5-6-3制造誤差引起的位移B4mA6m6mDE2mC1【例5-12】如圖所示三鉸剛架，制作時因拼接偏差，使AD和DC桿在D處的內(nèi)角比設(shè)計增大了0.5

。試求由此引起的C點的豎向位移。（

）剛架及單位力狀態(tài)5-7互等定理5-7-1柔度系數(shù)和剛度系數(shù)δ——位移影響系數(shù)

=

FPa)對單自由度情況，

-FP成正比關(guān)系：結(jié)構(gòu)沿某方向作用單位力引起的該方向位移又稱柔度系數(shù)反映結(jié)構(gòu)柔韌程度的參數(shù)FP=kb)FP-

關(guān)系——也成正比：k——抗力影響系數(shù)使結(jié)構(gòu)沿某方向發(fā)生單位位移所需施加的力反映結(jié)構(gòu)剛性程度的參數(shù)又稱剛度系數(shù)柔度系數(shù)和剛度系數(shù)的關(guān)系5-7互等定理5-7-1柔度系數(shù)和剛度系數(shù)(a)位移-荷載關(guān)系(b)柔度系數(shù)δ(c)剛度系數(shù)kBCAFP

BCA1δBCAk1

柔度系數(shù)與剛度系數(shù)圖解5-7互等定理5-7-2功的互等定理狀態(tài)IFP1

21(MI、FNI、FQI)(

I、

I、

I)