2025年高考第三次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

2025年高考第三次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）02·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)得，則，即答案可求.【詳解】由題意得，所以，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A.3．已知向量滿足與垂直，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】向量垂直則數(shù)量積為零，由此求出，求，利用平方法轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，把展開(kāi)式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】先利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再利用插空法求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，得，所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有項(xiàng)，把展開(kāi)式中的項(xiàng)重新排列，先把項(xiàng)無(wú)理項(xiàng)全排列，再把項(xiàng)有理項(xiàng)插入形成的個(gè)空中，所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為種.故選：D.5．已知圓錐的底面半徑為3，圓錐內(nèi)的最大球的表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由題設(shè)得到圓錐內(nèi)的最大球的直徑，再借助圓錐軸截面以及截面圖中性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)定義和倍角公式依次求出、和，進(jìn)而由求出，即可依次求出圓錐的高和母線長(zhǎng)，進(jìn)而由圓錐側(cè)面積公式即可求解.【詳解】由球的表面積公式，即圓錐內(nèi)的最大球的直徑為，圓錐軸截面如圖，則，，因?yàn)椋?，設(shè)，則，，則，在中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：B．6．設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若上存在點(diǎn)使得為等邊三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用為等邊三角形構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，根據(jù)幾何關(guān)系和橢圓的定義得到的等量關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為，連接如圖所示，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所?又因?yàn)?所以，由橢圓定義可知，整理得：.故選：7．已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為(

).A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意計(jì)算出周期，再由周期求，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以列出不等式，計(jì)算出，判斷即可.【詳解】由題意知，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.8．已知函數(shù)（不恒為零），其中為的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的，，滿足，且，，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．【答案】D【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性直接判斷AB選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷C選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，令，則，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令，可知，又不恒為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令，則，即，即，又，則，所以，所以為奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可知，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，即函數(shù)的一個(gè)周期，由上述分析和已知條件，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某農(nóng)業(yè)研究所為了解種植新品種玉米的畝產(chǎn)量情況，從某地區(qū)隨機(jī)抽查100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：kg），整理出如下統(tǒng)計(jì)表：畝產(chǎn)量頻數(shù)102020155已知這100畝的畝產(chǎn)量均在內(nèi)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差介于400kg至600kg之間B．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的中位數(shù)大于1100kgC．估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量不低于1000kg的占比為D．估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均值介于1150kg至1200kg之間【答案】AC【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、頻率的概念即可判斷.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差小于等于，大于，故A正確；由表可知，，所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1100kg，故B錯(cuò)誤；估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米畝的產(chǎn)量不低于1000kg的占比為，故C正確；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畝產(chǎn)量在的有，估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在底面內(nèi)部（包含邊界）.則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，總存在點(diǎn)，使得成立B．當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)和，使得成立C．三棱錐體積的最大值是D．的最小值是【答案】ACD【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)和，求出的值，判斷AB；點(diǎn)在棱上時(shí)，取最大，直接求三棱錐體積，判斷C；在平面內(nèi)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)取中點(diǎn)，則必有，故只需三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，求值可判定D.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則有，設(shè)，則，則，對(duì)于A，若，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，故A正確；對(duì)于B，若，則，且，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)在棱上時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，在平面內(nèi)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接,則有，三點(diǎn)共線.由于平面，平面，則，故只需三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值.由于平面，這樣可使平面，又平面，從而，此時(shí)取最小值，由，,則，則，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)，在平面內(nèi)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)取中點(diǎn)，則有，故只需三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，曲線上的點(diǎn)滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點(diǎn)，過(guò)作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（

）A．曲線由兩條拋物線的一部分組成B．線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)到直線的距離相等C．若線段的長(zhǎng)度為，則直線的斜率為D．若，則直線的斜率為【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)題干列出等式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，利用拋物線的定義即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)C，利用焦半徑公式列出等式即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)D，由焦半徑，又因?yàn)榭傻茫纯傻玫浇Y(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，由定義可知，滿足，移項(xiàng)，平方可得：，即，為兩條拋物線，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，和直線分別為拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故B正確對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)與軸夾角為同時(shí)為拋物線和橢圓的焦點(diǎn)，，，解得，則，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，易知為拋物線和的焦點(diǎn)，前者，后者分別為兩個(gè)拋物線的較短的焦半徑，因此，由于，則，因此，所以，故D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拋物線的求解，一般利用定義和二級(jí)結(jié)論直接能夠列出等式求解.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和下標(biāo)和的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，所以數(shù)列的公差，所以，故答案為：13．一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，若刪去前后它們的百分位數(shù)相同，則．【答案】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則得到第百分位數(shù)，從而得到方程，解得即可.【詳解】原來(lái)有10個(gè)數(shù)據(jù)，，原來(lái)第百分位數(shù)為，刪去后有9個(gè)數(shù)據(jù)，，則第百分位數(shù)，依題意可得，解得．故答案為：14．2025春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤(pán)龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來(lái)表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值.當(dāng)時(shí)，C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足的面積為，則.【答案】【分析】由題意，得到曲線C的方程，利用三角形面積公式求出，此時(shí)點(diǎn)P是曲線C：與以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入求解即可．【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)在上，所以上的點(diǎn)到的距離之積為，設(shè)為C上任意一點(diǎn)，此時(shí)，整理得，因?yàn)榈拿娣e，所以，所以點(diǎn)是曲線C：與以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因?yàn)闉殇J角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，因?yàn)?，則，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長(zhǎng)度的取值范圍.16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解即可；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，再構(gòu)造函數(shù)說(shuō)明，再用作差法及基本不等式得出即可證明．【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為．（2）由，解得，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；故，設(shè)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，得證．17．如圖，在三棱臺(tái)中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，且直線與平面所成的角為.(1)證明：；(2)求平面與平面成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則由等腰梯形和等腰三角形的性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定可得平面，從而可證得；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則可得平面，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，得，所以分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則四邊形為等腰梯形，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕唬?）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由（1）知，平面平面，則，又，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，則為等腰直角三角形，所以，在中，，則由余弦定理得，則，即，易得，在中，，，所以，所以，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，則‖，因?yàn)椋?，則分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由于，所以，設(shè)平面的法向量為，由于，所以，，令，則，設(shè)平面的法向量為，由于，所以，令，則，所以，故平面與平面成角的余弦值為.18．已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)．(1)求面積的最大值；(2)求與面積之比的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)定直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得韋達(dá)定理形式，分別求的長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而表達(dá)的面積，求最大值即可；（2）分別設(shè)直線和的方程，并分別與橢圓方程聯(lián)立，求得韋達(dá)定理形式，分別求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，表達(dá)與面積之比，求最大值即可.【詳解】（1）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以，，則，點(diǎn)到直線的距離為：，所以，令，則，當(dāng)即時(shí)面積取得最大值，所以面積的最大值為.（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，即所以，即，同理可得：，所以化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，取得最大值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中求面積的比值，可以選擇相同的底邊或者角來(lái)轉(zhuǎn)化，參數(shù)之間的關(guān)系可以通過(guò)聯(lián)立圓錐曲線方程，化簡(jiǎn)求得，通過(guò)函數(shù)或者不等式來(lái)求得最值.19．（1）某公司為提升員工身體素質(zhì)，鼓勵(lì)員工參與“健康幫，活力無(wú)限”健身打卡活動(dòng)．公司統(tǒng)計(jì)了開(kāi)展活動(dòng)后近5個(gè)月員工因健身而使身體指標(biāo)（如體脂下降、心肺功能提升等）明顯改善的人數(shù)．統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：月份12345身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)33026020014090若身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)與月份變量（月份變量依次為）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測(cè)第6個(gè)月身體指標(biāo)明顯改善的大約有多少人？（2）公司將參與健身打卡活動(dòng)的員工分成了X、Y、Z三組進(jìn)行健身競(jìng)賽，其規(guī)則：競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起競(jìng)賽，首先由X組先發(fā)起競(jìng)賽，挑戰(zhàn)Y組、Z組的概率均為，若X組挑戰(zhàn)Y組，則下次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在Y組．若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在Y組，則挑戰(zhàn)X組、Z組的概率分別為和；若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在Z組，則挑戰(zhàn)X組、Y組的概率分別為和；①經(jīng)過(guò)3次挑戰(zhàn)賽后，求競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在Y組的次數(shù)M的分布列與數(shù)學(xué)期望；②定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時(shí)，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱為數(shù)列的聚點(diǎn)．經(jīng)過(guò)次競(jìng)賽后，競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在X組的概率為，證明數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)的值．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】（1）24人；（2）①分布列見(jiàn)解析；期望為；②證明見(jiàn)解析，．【分析】（1）求得線性回歸方程即