2025年高考第三次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考八省專用 ）（全解全析）

2025年高考第三次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考八省專用）01注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，又，故，故選D2．若函數(shù)的最小正周期為，則（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，得，故選D3．已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，解得，故選B.4．在中，若，，對角線的交點(diǎn)為O，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選B5．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為12，到軸的距離為9，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義知，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為9，即，所以，解得，故選D6．美味的火鍋中也充滿了有趣的數(shù)學(xué)知識，如圖將火鍋抽象為乙圖的兩個(gè)同心圓柱，大、小圓柱的半徑分別為25cm與5cm，湯料只放在兩圓柱之間，將湯勺視為一條線段，若將湯鍋裝滿，將湯勺置于兩圓柱之間無論如何放置湯料都不會將湯勺淹沒，則湯勺長度最短為：（

）cm.A． B． C． D．【答案】C【解析】將投影至底面為，是底面大圓的一條弦且與小圓相切（切點(diǎn)為）時(shí)最長，所以，所以，故選：C.7．在中，若，，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)有，故，故，由余弦定理可得，故，故三角形外接圓的半徑為，故選B.8．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同交點(diǎn)，作函數(shù)的圖象如圖所示，，觀察圖象，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（多選）已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則（

）A．漸近線方程為 B．漸近線方程為C． D．【答案】BC【解析】由題意可得，設(shè)，則，所以圓A的圓心為，半徑長為t，雙曲線的漸近線方程為，即，圓心A到漸近線的距離，所以弦長，可得是邊長為b的等邊三角形，即有．故選：BC.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】A.，故A正確；B.，，由圖知，則，即，因，故，則，當(dāng)時(shí)，，故，故B錯(cuò)誤；C.新函數(shù)，因，故C正確；D.新函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則B．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則函數(shù)在上的最小值為D．若，則【答案】BCD【解析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，可得.曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即.已知切線方程為，其斜率為，所以，解得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，則，即.根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)正確.，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值，，故C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，不滿足.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值.令，對其求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以在處取得最大值.要使，則，所以，故選項(xiàng)正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．隨機(jī)變量，若，則．【答案】【解析】因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于均值對稱，已知，那么點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于均值對稱.可列出等式.得到.解得.13．已知，若，則．【答案】0【解析】由題意，所以，即，令，則，令，則，所以.14．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．【答案】或【解析】令，則，由當(dāng)時(shí)，，所以，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在遞減，所以，，即不等式等價(jià)為，所以，解得或．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）在春節(jié)聯(lián)歡晚會上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：喜歡不喜歡男性4010女性2030(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？(2)從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義.，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解】（1）零假設(shè)對機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，……3分依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即對機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別有關(guān)聯(lián).…………6分（2）依題意得，，

…………8分，

則

…………11分意義：該樣本中男性對機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的概率比女性對機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡概率大；或者男性對機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的人數(shù)比女性對機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡多等等…13分16．（本小題滿分15分）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解】（1）當(dāng)時(shí)，，…………3分當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.…………6分（2）由題知，…………7分所以，…………8分，…………10分兩式相減得…………13分所以…………15分17．（本小題滿分15分）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解】（1）的定義域?yàn)镽，.…………1分若，令，得或，令，得；若，令，得或，令，得.…………3分綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.…4分（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，…………6分令，則.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.…………8分所以的極小值為，的極大值為，…………9分畫出函數(shù)的大致圖象，如圖，…………11分由圖可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；…………13分當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；…………14分當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).…………15分18．（本小題滿分17分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若不過點(diǎn)的直線交曲線于P，Q兩點(diǎn)；①若以P，Q為直徑的圓過點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)；②在①條件下，作為垂足.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解】（1）令，結(jié)合題設(shè)有，…………2分則，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為.…………5分（2）若以P，Q為直徑的圓過點(diǎn)，且直線不過點(diǎn)可知，直線的斜率不為0，可設(shè)，，聯(lián)立，則，整理得，且，則，所以，，…………9分①由題意，…………11分所以，即或（舍，直線過點(diǎn)），所以，故直線過定點(diǎn)，得證.…………13分②由，且直線過定點(diǎn)，故在以為直徑的圓上，且中點(diǎn)為，…………15分該點(diǎn)到的距離恒為，所以，存在定點(diǎn)使.…………17分19．（本小題滿分17分）已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.【解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，………?分所以為直線與所成的角，即，設(shè)，則，，在中，…………4分又，所以，解得或（舍去），所以；………5分（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?，底面，所以，………?分又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，…………7分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，…………8分設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為；…………10分（3