高一下學(xué)期第一次月考解答題壓軸題十六大題型專練（原卷版）

20232024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考解答題壓軸題十六大題型專練【人教A版（2019）】題型1題型1用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)1．（2023·高一課時練習(xí)）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：EF=2．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，又AB=DC.求證：3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且AO=OC，BO=4．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，半圓的直徑AB=6，C是半圓上的一點，D、E分別是AB、BC上的點，且AD=1，BE=4，DE=3.（1）求證：AC∥（2）求AC.題型2題型2向量線性運算的幾何應(yīng)用5．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

6．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點D是△ABC中BC邊的中點，AB=a，

(1)試用a，b表示AD；(2)若點G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若點G是△ABC的重心，求GA+7．（2023·高三課時練習(xí)）已知點G為△ABC的重心．(1)求GA+(2)過G作直線與AB、AC兩條邊分別交于點M、N，設(shè)AM=xAB，AN=y8．（2023下·高一課時練習(xí)）點O是梯形ABCD對角線的交點，|AD|=4,|BC|=6，|AB|=2，設(shè)與BC同向的單位向量為a0，與BA同向的單位向量為b（1）用a0和b0表示AC,（2）若點P在梯形ABCD所在平面上運動，且|CP|=2，求題型3題型3向量的數(shù)量積問題9．（2023上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知|a|=3，|b|=4，且a與(1)求a?(2)求|a(3)若(2a?b)⊥10．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┮阎獑挝幌蛄縠1與e2的夾角為α，且cosα=13，向量a（1）求a，b；（2）求cosβ11．（2023下·寧夏銀川·高一?？计谀┤鐖D，在ΔABC中，已知CA=2,CB=3,∠ACB=60°,CH（1）求AB?（2）設(shè)CH=mCB+nCA，其中12．（2022下·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）如圖所示△ABC的兩邊BC=1，AC=2，設(shè)G是△ABC的重心，BC邊上的高為AH，過G的直線與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知AE=λAB，(1)求1λ(2)若cosC=14，S△AEF=(3)若BF?CE的最大值為?5題型4題型4向量的夾角（夾角的余弦值）問題13．（2023下·湖南邵陽·高一?？计谀┮阎猘=1，b（1）若a?b=22（2）若a與b的夾角為45°，求a+14．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀﹩挝幌蛄縜，b滿足a+2(1)求a與b夾角的余弦值：(2)若ka+b與a15．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，求：（1）DB；（2）∠CAB的大小.16．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）如圖，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成θ角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x軸、y軸同方向的單位向量．若向量OP=xe1

(1)若θ=π3，a=1,1,(2)若a=(1,1)，b=(3,1)，c=(2,?1),|題型5題型5平面向量基本定理的應(yīng)用17．（2023下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，D為AB的中點，AO=2OD，過點O的直線交邊AB與點M，交邊AC于點

(1)用AB，AC表示AO；(2)若AM=mAB，AN=n(3)求OM18．（2023下·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）如圖，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，點E、F是線段DC上的兩個三等分點，點G，點H是線段AB上的兩個三等分點，點P是直線(1)求AB?(2)求FH的值；(3)直線AP分別交線段EG、FH于M，N兩點，若B、N、D三點在同一直線上，求AMAN19．（2022下·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖所示，在△ABC中，P在線段BC上，滿足2BP=PC，O(1)延長CO交AB于點Q（圖1），求AQQB(2)過點O的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)（圖2），設(shè)EB=λAE，（i）求證2λ+μ為定值；（ii）設(shè)△AEF的面積為S1，△ABC的面積為S2，求20．（2023下·福建·高一校聯(lián)考期中）如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），∠AOB=θ（0<θ<π2），點C為單位圓上的動點，線段AC交線段OB于點M（點M異于點O、B），記△AOB的面積為(1)記fθ=2S+OA(2)若θ=60°①求CA?②設(shè)OM=tOB0<t<1，記AM題型6題型6\o"平面向量線性運算的坐標(biāo)表示"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168404/_blank"平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示21．（2023下·山東威海·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1?，?0)，點B在第二象限，且(1)若點B的橫坐標(biāo)為?2，現(xiàn)將向量OB繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到OC的位置，求點C的坐標(biāo)；(2)已知向量OP與OA，OB的夾角分別為θ，45°，且cosθ=1010，|OP|=222．（2023下·福建福州·高一?？计谥校┧倪呅蜛BCD中，AB=6,1，BC=（1）BC//DA，試求x與（2）滿足（1）的同時又有AC⊥BD，求xy的值和四邊形23．（2023下·天津和平·高一校考階段練習(xí)）已知三點A（2，3），B（5，4），C7,10，點(1)當(dāng)λ為何值時，點P在函數(shù)y=x的圖象上？(2)若點P在第三象限，求實數(shù)λ的取值范圍.(3)若Q在直線BC上且BQ=1224．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知向量a,b是不共線的兩個向量，AP=a?tb，（2）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，∠ACB=45°,∠BED=60°，若AD=xAB+yAC，求

題型7題型7向量坐標(biāo)運算的幾何應(yīng)用

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示25．（2023下·重慶萬州·高一階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E，G分別是BC，DC上的點且BC=3BE，CD=3CG，DE與（1）求|OE（2）若平行四邊形ABCD的面積為21，求△BOC的面積.26．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2AD=2CD，過點C作CE⊥AB于點E，M為CE的中點.求證：（1）DE//BC；（2）D，M，B三點共線.27．（2023下·浙江·高一湖州中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點P,Q分別是正方形ABCD的邊DC、CB上兩點，AB=1，∠PAQ=θ，記點O為△APQ的外心.(1)若DP=λDC，CQ=λCB，(2)若θ=45°，求AP?(3)若θ=60°，若AO=xAP+y28．（2023下·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．(1)求∠EMF的余弦值；(2)設(shè)AM=λAF，求λ的值及點(3)若點P自A點逆時針沿正方形的邊再運動到A點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．題型8題型8用向量解決夾角、線段的長度問題

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示29．（2023下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD30．（2023下·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．31．（2023下·浙江湖州·高一統(tǒng)考期末）如圖，A,B是單位圓（圓心為O）上兩動點，C是劣弧AB（含端點）上的動點.記OC=λOA+μOB(1)若O到弦AB的距離是12（i）當(dāng)點C恰好運動到劣弧AB的中點時，求AC?（ii）求λ+μ的取值范圍；(2)若3OA?OB≤52，記向量2OA32．（2022下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點M，且BE=λBC，DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時，求(3)求AF+題型9題型9向量與幾何最值（范圍）問題

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示33．（2023下·遼寧朝陽·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，CA=2，AB=3，∠BAC=2π3，D為BC(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCA，求PB?34．（2022·浙江·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，已知AB=3，AC=1，AB?AC=?1，設(shè)點P為邊BC上一點，點Q為線段CA(1)當(dāng)t=?1且P是邊BC上的中點時，設(shè)PQ與AB交于點M，求線段CM的長；(2)若PA?PQ+3=35．（2023·高一課時練習(xí)）在ΔABC中，滿足：AB⊥AC，M是（1）若AB=AC，求向量AB+2（2）若O是線段AM上任意一點，且AB=AC=（3）若點P是∠BAC內(nèi)一點，且AP=2，AP?AC=2，36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角△ABC中，cosB=22，點O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求證：OB+（ii）求3OB題型10題型10三角形（四邊形）的面積問題

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示37．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在等邊△ABC中，AB=2，點D,E,F分別在邊AB,BC,CA上，且AD=kAB0<k<1

(1)用k,θ表示DE,DF;(2)若△DEF為等腰直角三角形，求k的取值范圍；(3)若DE=1，求△DEF的面積的最小值38．（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）在平面凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4．(1)當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O時，求四邊形ABCD的面積S；(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線BD的長．39．（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC的面積為S1=34A

(1)求∠ABC的大??；(2)若CD=3BC，設(shè)∠CAD=30°，∠BCD=120°，問是否存在常數(shù)λ，使得S140．（2023下·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知c=1,sin

(1)求△ABC的面積；(2)點G為AD上一點，AG=25AD，過點G的直線與邊AB,AC（不含端點）分別交于E,F．若題型11題型11求\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168411/_blank"三角形中的邊長或周長的最值或范圍

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示41．（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知1+cos(1)當(dāng)C=π2時，求(2)當(dāng)a=1時，求△ABC周長的最大值.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①2sinA?sinB=2sin問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若c=2，求2a?b的取值范圍．43．（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，且滿足sinA(1)求角C的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=2，求△ABC周長的取值范圍.44．（2023下·新疆·高一兵團第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足acos(1)求角A；(2)若a=3，求△ABC(3)求bc?ab?aca題型12題型12解三角形與向量綜合

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示45．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知AB?(1)求ab(2)若cosA=6346．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)△ABC中的角A，B，C所對的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知AB=1，AD=34AB+14AC，ABAB?ACAC=12，點E，F(xiàn)

(1)求邊BC的長度；(2)設(shè)AG=kAD，AE=λAB，AF=μ47．（2023下·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P在邊BC上，且3BP=BC，點Q

(1)若AQ=λAB+(2)求QA?(3)求△QPC周長的取值范圍．48．（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，點D在邊

(1)求邊b的長度；(2)若點E?F分別為線段AB?線段AC上的動點，且線段EF交AD于G且△AEF的面積為△ABC面積的一半，求題型13題型13解三角形與三角函數(shù)綜合

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示49．（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)在△ABC中，fA2=0，AB=250．（2023下·山東青島·高一校聯(lián)考期中）已知a=2cos(1)求函數(shù)y=fx(2)若銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且fA=1，求51．（2023下·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=(2cosωx,?2)，b=(3sinωx+cosωx,1)(1)求ω；(2)已知a,b,c分別為不等邊△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且f(A)=f(B)=3，a=2，求52．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=m?n，其中向量m(1)求f(x)的最小值；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面積為32，求b+c題型14題型14復(fù)數(shù)的模的幾何意義

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示53．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)：z∈C，點Z對應(yīng)復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)z=2(2)2≤z54．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2?2i|=2，且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(1)確定點M的集合構(gòu)成圖形的形狀；(2)求|z?1+2i55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1=2+ai（其中a∈R(1)若z1z2(2)求滿足z?z2≤56．（2023·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z滿足z=5（1）若4+3i?z是實數(shù)，求復(fù)數(shù)（2）求z2題型15題型15根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運算的坐標(biāo)表示57．（2023下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，設(shè)復(fù)數(shù)z1=2a?3i，z2(1)若z1?z(2)若復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，且①是否存在實數(shù)a，b，使向量OB逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與向量