2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專題11平行四邊形與特殊的平行四邊形(共65題)(原卷版+解析)

/專題11平行四邊形與特殊的平行四邊形一．選擇題1．（2022·四川內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形周長(zhǎng)不變B．C．四邊形面積不變D．3．（2022·黑龍江大慶）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．4．（2022·廣東）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．25．（2022·廣東）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，在ABCD中，，，點(diǎn)E在AD上，，則的值是（

）A． B． C． D．7．（2022·山東煙臺(tái)）一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個(gè)正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．9．（2022·貴州黔東南）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．10．（2022·海南）如圖，菱形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，垂直交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．11．（2022·江蘇無(wú)錫）下列命題中，是真命題的有（

）①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形③四邊相等的四邊形是正方形

④四邊相等的四邊形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④12．（2022·廣西玉林）若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形的兩條對(duì)角線一定是(

)A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等13．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．14．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，AF與相交于點(diǎn)O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．15．（2022·黑龍江）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤16．（2022·江蘇泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．17．（2022·四川廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．18．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．19．（2022·湖北恩施）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形ABMP為矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，或6s20．（2022·湖北恩施）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若，．則四邊形MBND的周長(zhǎng)為（

）A． B．5 C．10 D．20二．填空題21．（2022·廣西梧州）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的中點(diǎn)，連接．如果，，那么的長(zhǎng)是_______m．22．（2022·貴州畢節(jié)）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．23．（2022·山東煙臺(tái)）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEAB，交AC于點(diǎn)E，EFBC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．24．（2022·山東臨沂）如圖，在正六邊形中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，添加下列條件中的一個(gè)：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是__________（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．25．（2022·江蘇泰州）正六邊形一個(gè)外角的度數(shù)為_(kāi)___________．26．（2022·黑龍江齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）27．（2022·海南）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．28．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________．29．（2022·山東青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫(huà)完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．30．（2022·江蘇常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．31．（2022·貴州銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長(zhǎng)BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢(qián)CM，使得∠ECM=30°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____（結(jié)果保留很號(hào)）．32．（2022·湖北十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡，分別架在墻體的點(diǎn)，處，且，側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則_________．33．（2022·湖北隨州）如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，使，連接BE并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)H，則∠BHD的度數(shù)為_(kāi)_____，DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____．34．（2022·貴州黔東南）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，//，//．若，則四邊形的周長(zhǎng)是_______．35．（2022·遼寧遼寧·中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．36．（2022·廣西賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)_________．37．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．38．（2022·黑龍江）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊CD上，且，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．39．（2022·黑龍江大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)___________．40．（2022·四川雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_(kāi)____．41．（2022·黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．42．（2022·遼寧錦州）如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作的平行線交于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)H．若點(diǎn)G是邊的三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)是____________．43．（2022·四川內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．三．解答題44．（2022·湖南長(zhǎng)沙）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，連接EF，，求BD的長(zhǎng)及四邊形ABCD的周長(zhǎng)．45．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AB、DC于點(diǎn)E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．46．（2022·黑龍江大慶）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．47．（2022·廣西賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．48．（2022·貴州畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點(diǎn)O，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，連接，若，求的周長(zhǎng)．49．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平行四邊形中，是一條對(duì)角線，且，，，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，連接，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②在滿足①的條件下，若，求證：；(2)如圖2，連接，是上一點(diǎn)，連接．若，且，求的長(zhǎng)．50．（2022·北京）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．51．（2022·黑龍江哈爾濱）已知矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，設(shè)與相交于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形（除外），使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都與的面積相等．52．（2022·湖北鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．(1)求證：DF=CF；(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面積．53．（2022·山東威海）如圖:(1)將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．54．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：(1)【問(wèn)題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；(2)【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖③：直線、經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；(3)【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．55．（2022·江蘇泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．(1)求證：AF與DE互相平分；(2)當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．56．（2022·四川雅安）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．57．（2022·廣西玉林）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊上的任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)D，C），過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)．(1)求的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；(2)連接交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形．58．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點(diǎn)E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長(zhǎng)；(2)求sin∠CEF的值．59．（2022·山東聊城）如圖，中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．60．（2022·內(nèi)蒙古通遼）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．61．（2022·湖南）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)試判斷四邊形的形狀，并寫(xiě)出證明過(guò)程．62．（2022·貴州貴陽(yáng)）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．63．（2022·山東青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD=30°；條件2：AB=BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）64．（2022·湖南永州）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地、B、C、四個(gè)位置安裝四個(gè)自動(dòng)噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、四點(diǎn)恰好在邊長(zhǎng)為50米的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，為了用水管將四個(gè)自動(dòng)噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)水管鋪設(shè)方案（各圖中實(shí)線為鋪設(shè)的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形的三邊鋪設(shè)水管；方案二：如圖3所示，沿正方形的兩條對(duì)角線鋪設(shè)水管．(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明上述兩方案中哪個(gè)方案鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短；(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計(jì)了一個(gè)方案（如圖4所示），滿足，，、請(qǐng)將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰(shuí)的方案中鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）65．（2022·貴州遵義）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對(duì)角線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．/

專題11平行四邊形與特殊的平行四邊形一．選擇題1．（2022·四川內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得∠CBM＝∠CMB，利用等邊對(duì)等角即可得MC＝BC＝8，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握其相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形周長(zhǎng)不變B．C．四邊形面積不變D．【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴；故D符合題意；隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，不一定等于，四邊形周長(zhǎng)、面積都會(huì)改變；故A、B、C不符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等．3．（2022·黑龍江大慶）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，根據(jù)折疊可知，，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵D、E分比為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴，∵BC=4，∴DE=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，掌握中位線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AD=BC故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．6．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，在ABCD中，，，點(diǎn)E在AD上，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于F，由平行四邊形性質(zhì)求得∠A=75°，從而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，則△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，繼而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，從而求得，再由AB=CD，即可求得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于F，∵ABCD，∴CD=AB，CDAB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，由勾股定理，得DF=，∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，∴∴，∵AB=CD，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于F，構(gòu)建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東煙臺(tái)）一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個(gè)正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【答案】C【分析】設(shè)這個(gè)外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，∴設(shè)這個(gè)外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（邊），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】取AC的中點(diǎn)M，連接EM設(shè)由中位線性質(zhì)可得再根據(jù)，可得出從而得到FC的長(zhǎng)，即可得到的結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)M，連接EM，DM，設(shè)∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴EM是的中位線，四邊形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM=故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．9．（2022·貴州黔東南）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·海南）如圖，菱形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，垂直交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于M，根據(jù)設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．【詳解】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于M，∵∴設(shè)∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)∴∵菱形∴，CE∥AB∵⊥，CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴，∴BM=3x在Rt△BCM中，∴，解得或（舍去）∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．11．（2022·江蘇無(wú)錫）下列命題中，是真命題的有（

）①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形③四邊相等的四邊形是正方形

④四邊相等的四邊形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】直接利用平行四邊形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分別分析進(jìn)而得出答案．【詳解】解：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確；②對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤；③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤；④四邊相等的四邊形是菱形，正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了命題與定理，正確把握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．12．（2022·廣西玉林）若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形的兩條對(duì)角線一定是(

)A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等【答案】D【分析】由題意作出圖形，然后根據(jù)正方形的判定定理可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AD、DC、BC、AB的中點(diǎn)，∴，∴四邊形EFGH是平行四邊形，對(duì)于A選項(xiàng)：對(duì)角線互相平分，四邊形EFGH仍是平行四邊形，故不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)：對(duì)角線互相垂直，則有，可推出四邊形EFGH是矩形，故不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)：對(duì)角線互相平分且相等，則有，可推出四邊形EFGH是菱形，故不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)：對(duì)角線互相垂直且相等，則有，，可推出四邊形EFGH是正方形，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定，熟練掌握三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長(zhǎng)．14．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，AF與相交于點(diǎn)O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，先證明四邊形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，，四邊形ABCD是矩形，，，，四邊形ABFE是正方形，，，，，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·黑龍江）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】B【分析】分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行證明后進(jìn)行判斷：①通過(guò)證明得到EC=FD，再證明得到∠EAC=∠FBD，從而證明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；②通過(guò)等弦對(duì)等角可證明；③通過(guò)正切定義得，利用合比性質(zhì)變形得到，再通過(guò)證明得到，代入前式得，最后根據(jù)三角形面積公式得到，整體代入即可證得結(jié)論正確；④作EG⊥AC于點(diǎn)G可得EGBO，根據(jù)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5a，分別求出EG、AC、CG的長(zhǎng)，可求出，結(jié)論錯(cuò)誤；⑤將四邊形OECF的面積分割成兩個(gè)三角形面積，利用，可證明S四邊形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF=S△COD即可證明結(jié)論正確．【詳解】①∵四邊形ABCD是正方形，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°∵∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°∴∠DOF=∠EOC在△DOF與△COE中∴∴EC=FD∵在△EAC與△FBD中∴∴∠EAC=∠FBD又∵∠BQP=∠AQO∴∠BPQ=∠AOQ=90°∴AE⊥BF所以①正確；②∵∠AOB=∠APB=90°∴點(diǎn)P、O在以AB為直徑的圓上∴AO是該圓的弦∴所以②正確；③∵∴∴∴∴∵∴∴∴∴∵∴∴所以③正確；④作EG⊥AC于點(diǎn)G，則EGBO，∴設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5a，則BC=5a，OB=OC=，若，則，∴∴∴∵EG⊥AC，∠ACB=45°，∴∠GEC=45°∴CG=EG=∴所以④錯(cuò)誤；⑤∵，S四邊形OECF=S△COE+S△COF∴S四邊形OECF=S△DOF+S△COF=S△COD∵S△COD=∴S四邊形OECF=所以⑤正確；綜上，①②③⑤正確，④錯(cuò)誤，故選B【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運(yùn)用全等三角形、相似三角形、等弦對(duì)等角和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值；【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時(shí)，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·四川廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【解析】【分析】取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．【詳解】解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點(diǎn)、G點(diǎn)分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對(duì)角線AC軸對(duì)稱，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，如下圖，G、P、F三點(diǎn)共線，連接FG，∵F點(diǎn)是DC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，找到E點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問(wèn)題．19．（2022·湖北恩施）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形ABMP為矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，或6s【答案】D【分析】計(jì)算AP和BM的長(zhǎng)，得到AP≠BM，判斷選項(xiàng)A；計(jì)算PD和CM的長(zhǎng)，得到PD≠CM，判斷選項(xiàng)B；按PM=CD，且PM與CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分類(lèi)討論判斷選項(xiàng)C和D．【詳解】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，A、當(dāng)時(shí)，AP=10-t=6cm，BM=4cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，PD=5cm，CM=8-5=3cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項(xiàng)不符合題意；作CE⊥AD于點(diǎn)E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴BC=AE=8cm，∴DE=2cm，PM=CD，且PQ與CD不平行，作MF⊥AD于點(diǎn)F，CE⊥AD于點(diǎn)E，∴四邊形CEFM是矩形，∴FM=CE；∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，∴AP=10-4-(8-t)=10-t，解得t=6s；PM=CD，且PM∥CD，∴四邊形CDPM是平行四邊形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4s；綜上，當(dāng)PM=CD時(shí)，t=4s或6s；選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類(lèi)討論，求出所有符合條件的t的值．20．（2022·湖北恩施）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若，．則四邊形MBND的周長(zhǎng)為（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)菱形的判定可得四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可得的值，最后根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式即可得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由作圖過(guò)程可知，垂直平分，，，，，四邊形是平行四邊形，又，設(shè)，則，在中，，即，解得，則四邊形的周長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．填空題21．（2022·廣西梧州）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的中點(diǎn)，連接．如果，，那么的長(zhǎng)是_______m．【答案】4【分析】由D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)得到DE是△ABC的中位線，進(jìn)而得到，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，由此即可求出．【詳解】解：∵D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴，∵，∴由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．22．（2022·貴州畢節(jié)）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．【答案】##2.4【分析】利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明利用對(duì)應(yīng)線段的比得到的長(zhǎng)度，繼而得到PQ的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查線段的最小值問(wèn)題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長(zhǎng)度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．23．（2022·山東煙臺(tái)）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEAB，交AC于點(diǎn)E，EFBC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，則此時(shí)BF＝，AB＝2BF，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），過(guò)點(diǎn)（0，0），∴x＝4時(shí)，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問(wèn)題，拋物線的對(duì)稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，求出BC＝4是解題的關(guān)鍵．24．（2022·山東臨沂）如圖，在正六邊形中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，添加下列條件中的一個(gè)：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是__________（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．【答案】①②④【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，依次結(jié)合題給的條件，先證有關(guān)三角形是否全等，再證四邊形是平行四邊形．【詳解】解：由正六邊形的性質(zhì)知：∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAF=∠CDE，①若BM=EN，在△ABM和△DEN中，，∴（SAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN，∴四邊形是平行四邊形；②若，則∠BAN=∠EDM，在和中，，∴(ASA)，∴AN=DM，∠ANM=∠DMN，∴ANDM∴四邊形是平行四邊形；③若，結(jié)合條件AB=DE，∠ABM=∠DEN，SSA無(wú)法證明，也就無(wú)法證明四邊形是平行四邊形；④若，在△ABM和△DEN中，，∴（AAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN，∴四邊形是平行四邊形；綜上所述，①②④符合題意．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用上述知識(shí)逐一進(jìn)行判斷．25．（2022·江蘇泰州）正六邊形一個(gè)外角的度數(shù)為_(kāi)___________．【答案】##60度【分析】根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等和多邊形的外角和等于360°解答即可．【詳解】∵正六邊形的外角和是360°，∴正六邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：360°÷6＝60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的外角和及正多邊形外角度數(shù)的計(jì)算，掌握多邊形外角和等于360°是解答本題的關(guān)鍵．26．（2022·黑龍江齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【答案】AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【分析】由菱形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：可以添加的條件是：AB＝CD，理由如下：∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加條件是：，利用如下：∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OA=OC，利用如下：∵，∴，，∴（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OB=OD，利用如下：∵，∴，，∴（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，熟記“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形”，是解題的關(guān)鍵．27．（2022·海南）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．【答案】

60

【分析】由正方形的性質(zhì)證明，即可得到，再由可得，即可求出．設(shè)，表示出的面積，解方程即可．【詳解】∵正方形∴，∵∴（HL）∴，∵，∴∴設(shè)∴∴∵的面積等于1∴，解得，（舍去）∴故答案為：60；．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．28．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理計(jì)算出菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線性質(zhì)，求出OF的長(zhǎng)．【詳解】已知菱形ABCD，對(duì)角線互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根據(jù)勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DB中點(diǎn)，∴．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．29．（2022·山東青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫(huà)完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．【答案】60【分析】先確定∠BAD的度數(shù)，再利用菱形的對(duì)邊平行，利用平行線的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】如圖，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，∵BC∥AD，∴∠ABC=180°-120°=60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與學(xué)生讀題審題的能力，解題關(guān)鍵是理解題意，求出∠BAD的度數(shù)．30．（2022·江蘇常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】不會(huì)【分析】設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動(dòng)后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．【詳解】解：設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，如下圖：，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動(dòng)后的四邊形四邊相等為菱形，，為等邊三角形，，，，根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)：，，不會(huì)斷裂，故答案為：不會(huì)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．31．（2022·貴州銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長(zhǎng)BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢(qián)CM，使得∠ECM=30°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____（結(jié)果保留很號(hào)）．【答案】【分析】連接AC交BD于H，證明△DCH≌△DCF，得出DH的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)H，由菱形的性質(zhì)得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，又∵∠ECM=30°，∴∠DCF=50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=40°，又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=40°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH=DF=，∴DB=2DH=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定，菱形的對(duì)角線互相平分是此題的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，得出∠HDC=∠FDC是這個(gè)題最關(guān)鍵的一點(diǎn)．32．（2022·湖北十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡，分別架在墻體的點(diǎn)，處，且，側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則_________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，求出，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】四邊形為矩形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．33．（2022·湖北隨州）如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，使，連接BE并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)H，則∠BHD的度數(shù)為_(kāi)_____，DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】

90°##90度

##【分析】設(shè)EF交AD于點(diǎn)M，BH交AD于點(diǎn)N，先證明△ADF∽△ABE，可得∠ADF=∠ABE，可得∠BHD=∠BAD=90°；然后過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，可得四邊形AMEG是矩形，從而得到EG=AM，AG=ME，∠ABE=∠MEN，然后求出，再利用銳角三角函數(shù)可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到，從而得到，進(jìn)而得到DN=2，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)EF交AD于點(diǎn)M，BH交AD于點(diǎn)N，根據(jù)題意得：∠BAE=∠DAF，∠EAF=90°，，∴，在矩形ABCD中，，，∠BAD=90°，∴，∴△ADF∽△ABE，∴∠ADF=∠ABE，∵∠ANB=∠DNH，∴∠BHD=∠BAD=90°；如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，∴∠AGE=∠AME=∠BAD=90°，∴四邊形AMEG是矩形，∴EG=AM，AG=ME，ME∥AB，∴∠ABE=∠MEN，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵∠ADF=∠ABE，∴，即DH=2HN，∵，解得：或（舍去）．故答案為：90°，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2022·貴州黔東南）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，//，//．若，則四邊形的周長(zhǎng)是_______．【答案】20【分析】首先由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，∴OC=OD=BD=5，∵//，//．，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵OC=OD=5，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長(zhǎng)為：4OC=4×5=20．故答案為20．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解題關(guān)鍵．35．（2022·遼寧遼寧·中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．【答案】16【分析】連接EF交CD于O，先證明四邊形CFDE為菱形，從而求出CO的長(zhǎng)度，然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．【詳解】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DEAC，DFBC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DEAC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，余弦的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．36．（2022·廣西賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)_________．【答案】##【分析】在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，可得DG垂直平分EH，從而得到當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，再分別求出EF和FH，即可求解．【詳解】解：如圖，在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長(zhǎng)等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長(zhǎng)最小為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短距離問(wèn)題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，準(zhǔn)確得到當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF是解題的關(guān)鍵．37．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．【答案】1【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得AG=EG，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理及其運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．38．（2022·黑龍江）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊CD上，且，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】或或6【分析】分三種情況討論：當(dāng)∠APE=90°時(shí)，當(dāng)∠AEP=90°時(shí)，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如圖，當(dāng)∠APE=90°時(shí)，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴，即，解得：BP=6；如圖，當(dāng)∠AEP=90°時(shí)，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴，即，解得：，∴；如圖，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四邊形ABPF為矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，∴，即，解得：，即；綜上所述，BP的長(zhǎng)為或或6．故答案為：或或6【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．39．（2022·黑龍江大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)___________．【答案】②【分析】根據(jù)已知條件可得，即可判斷①，進(jìn)而推出，導(dǎo)角可得②正確，作于點(diǎn)，連接，證明是直角三角形，勾股定理驗(yàn)證③，證明，即可判斷④求解．【詳解】解：∵正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，∴，，①若，則，故①不正確；如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，即，故②正確；如圖，作于點(diǎn)，連接，則，，，，同理可得，，關(guān)于對(duì)稱軸，關(guān)于對(duì)稱，，，，是直角三角形，③若，，，故③不正確，，若，即，，，，又，，，即，，，，，，故④不正確．故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．40．（2022·四川雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】【分析】利用矩形與軸對(duì)稱的性質(zhì)先證明再利用勾股定理求解再利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，BC＝9，CD＝3，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．41．（2022·黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OF，OE長(zhǎng)，再證明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=，∴OA=，∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，∴∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°，∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，則PO+PE最小，最小值=EF是解題的關(guān)鍵．42．（2022·遼寧錦州）如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作的平行線交于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)H．若點(diǎn)G是邊的三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)是____________．【答案】或【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是平行四邊形，證明，等面積法求得，勾股定理求得，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】①如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形折疊即，四邊形是矩形中，，中，②如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得，，，中，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)，注意分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．43．（2022·四川內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．三．解答題44．（2022·湖南長(zhǎng)沙）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，連接EF，，求BD的長(zhǎng)及四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，中，勾股定理求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．(1)證明：四邊形是平行四邊，，四邊形是菱形，；(2)解：點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，是的中位線，，，，四邊形是菱形，，，在中，，，，菱形形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．45．（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AB、DC于點(diǎn)E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點(diǎn)，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA）；(2)證明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴DE=BF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)的關(guān)鍵．46．（2022·黑龍江大慶）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由可得，證明，則，，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由，可知，，則，證明，進(jìn)而結(jié)論得證．(1)證明：∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．(2)證明：由（1）知，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．47．（2022·廣西賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)24．【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（2）由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得，繼而證明，由此證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，結(jié)合正切函數(shù)的定義解得，最后根據(jù)三角形面積公式解答．(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，即．四邊形AFCE是平行四邊形．(2)解：，．平分，．．，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，平行四邊形AFCE是菱形．，在中，，．．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．48．（2022·貴州畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點(diǎn)O，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，連接，若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)24【分析】(1)由得到BC//AD，再證明△AOD≌△COB得到BC=AD，由此即可證明四邊形ABCD為平行四邊形；(2)由ABCD為平行四邊形得到BD=2BO，結(jié)合已知條件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD，進(jìn)而得到△DOF與△BOA均為等腰三角形，結(jié)合F為OC中點(diǎn)得到∠DFA=90°，GF為Rt△ADF斜邊上的中線求出；過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AC于H，求出BH=9，再證明四邊形BHGE為平行四邊形得到GE=BH=9，最后將GE、GF、EF相加即可求解．(1)證明：∵，∴BC∥AD，在△AOD和△COB中：，∴△AOD≌△COB(ASA)，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．(2)解：∵點(diǎn)E、F分別為BO和CO的中點(diǎn)，∴EF是△OBC的中位線，∴；∵ABCD為平行四邊形，∴BD=2BO，又已知BD=2BA，∴BO=BA=CD=OD，∴△DOF與△BOA均為等腰三角形，又F為OC的中點(diǎn)，連接DF，∴DF⊥OC，∴∠AFD=90°，又G為AD的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：；過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AO于H，連接HG，如上圖所示：由等腰三角形的“三線合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，∴HC=HO+OC=4+8=12，在Rt△BHC中，由勾股定理可知,∵H為AO中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，∴HG為△AOD的中位線，∴HG∥BD，即HG∥BE，且，∴四邊形BHGE為平行四邊形，∴GE=BH=9，∴．【點(diǎn)睛】本題考察了三角形全等的判定方法、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等，熟練掌握各圖形的性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．49．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平行四邊形中，是一條對(duì)角線，且，，，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，連接，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②在滿足①的條件下，若，求證：；(2)如圖2，連接，是上一點(diǎn)，連接．若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，得到，再根據(jù)，，，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，代入比例式即可求出的長(zhǎng)；②先根據(jù)證明可得，再根據(jù)，求出，進(jìn)一步證明，最后利用等腰三角形的三線合一可證明結(jié)論．（2）如圖，連接，先根據(jù)證明，再結(jié)合，說(shuō)明，利用平行線分線段成比例定理可得，接著證明，可得到，設(shè)，則，根據(jù)構(gòu)建方程求出，最后利用可得結(jié)論．(1)①解：如圖，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．②證明：∵，∴，∵，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．(2)如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，在和中，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，∴．∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)．靈活運(yùn)用相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．50．（2022·北京）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結(jié)論．(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．51．（2022·黑龍江哈爾濱）已知矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，設(shè)與相交于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形（除外），使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都與的面積相等．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)、、、【分析】（1）利用SSS證明兩個(gè)三角形全等即可;（2）先證明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，則，根據(jù)三線合一定理證明∴OE⊥AD，推出，得到，即可證明由，得到∠OBF=∠OCH，，證明△BOF≌△COH，即可證明，則，即可推出，最后證明，即可得到；(1)證明：∵四邊形是矩形，∴與相等且互相平分，∴，∵，，∴（SSS）；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴，∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD，∴，∴，∴，∴；∵，∴∠OBF=∠OCH，，又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，又∵AE=DE，∴，∴；綜上所述，、、、這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．52．（2022·湖北鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．(1)求證：DF=CF；(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性質(zhì)證明OC=OD，即可證明DF=CF=OC=OD