專題72復(fù)數(shù)的四則運算（舉一反三）（人教A版2019）

專題7.2復(fù)數(shù)的四則運算【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的加、減運算】 3【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】 4【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算】 5【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求參數(shù)】 6【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】 8【題型6復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 9【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】 10【知識點1復(fù)數(shù)的四則運算】1．復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運算律

對任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差對應(yīng)的向量是，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)(ac)+(bd)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(acbd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).5．|zz0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是(a,b)，(c,d)，則||=，又復(fù)數(shù)=(ac)+(bd)i，則||=.

故||=||，即||表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.6．復(fù)數(shù)運算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運算】【例1】（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┤魪?fù)數(shù)z1=2+3i,z2=?4?5i，則z1+z2=（A．?2?2i B．6+8i C．2?2i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的運算法則，準(zhǔn)確計算，即可求解.【解答過程】由復(fù)數(shù)z1=2+3i故選：A.【變式11】（2023下·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，則3+5i+1+A．2 B．i C．?3i D．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運算求解.【解答過程】由題意可得：3+5i故選：D.【變式12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若2z?3z=2?5i，則z=A．?2?i B．2?i C．1?2i【解題思路】設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則由2z?3【解答過程】設(shè)z=a+bi，a，b∈R因為2z?3z=2?5i則?a=25b=?5，解得a=?2，b=?1，則z=?2?故選：A.【變式13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【解題思路】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，利用復(fù)數(shù)的加減運算法則，解出a，b，即可得【解答過程】設(shè)z=a+bia,b∈則z?3+5i=a?3+(b+5)i=8?2i所以z=11?7i故選：B.【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【例2】（2023·高三課時練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【解題思路】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【解答過程】∵OC＝∴OC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：1+2i?2+i=?1+3i，∴點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?1+3i．故選D．【變式21】（2022下·高一課時練習(xí)）若向量AB,AC分別表示復(fù)數(shù)z1=2?iA．5 B．5 C．25 D．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求得BC，再根據(jù)模長公式即可求解.【解答過程】因為BC=AC?AB，又向量所以BC表示復(fù)數(shù)z2所以BC=故選：B.【變式22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解題思路】由向量PQ+QP=【解答過程】由題圖可知，PQ+QP=∴z1＋z2－z3＝0.故選：D.【變式23】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因為z1所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，z2故選：C.【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算】【例3】（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=i3?z，則z=（A．2?i B．2+i C．1+i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可求解.【解答過程】由z?1=i3?z，得z?1=3i故z=1+3故選:B．【變式31】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1?i，則zA．i B．?1 C．?i 【解題思路】先求z，再求z2023【解答過程】由已知z=1?所以z2023故選：A.【變式32】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)z=2+ii1+iA．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法，求出復(fù)數(shù)z，得z，再求z+z【解答過程】z=2+z=?12故選：C.【變式33】（2023上·湖南邵陽·高二?？茧A段練習(xí)）若z=1?2i，則(1+z)?z=A．24i B．2+4i C．62i D．6+2i【解題思路】根據(jù)題意，得到z=1+2【解答過程】由復(fù)數(shù)z=1?2i，可得z=1+2i故選：C.【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求參數(shù)】【例4】（2023上·云南臨滄·高二?？计谀┤?+ia+i=?5+biA．3 B．2 C．2 D．3【解題思路】等式左側(cè)展開，應(yīng)用兩個復(fù)數(shù)相等（實部等于實部且虛部等于虛部）列方程組求解即可.【解答過程】∵(1+∴a?1=?5a+1=b解得a=?4故選：D.【變式41】（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），且zA．9 B．9 C．3 D．3【解題思路】由題意可得a+bii=1+2i【解答過程】由題意可得a+bii=從而a=3，b=1，故ab=3．故選：D.【變式42】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=a+i1+ia∈RA．?13 B．13 C．?【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)的實部和虛部，由題意列式，求得答案.【解答過程】z=a+i1?解得a=1故選：B.【變式43】（2023下·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若11+i=a?bia,b∈RA．1 B．22 C．2 【解題思路】由復(fù)數(shù)的除法運算公式將其化為11+i=12?1【解答過程】∵11∴a=1∴ab故選：B.【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足z+(1?2i)=3?4i，則復(fù)數(shù)zA．?6i B．?6 C．?2i 【解題思路】由復(fù)數(shù)的加減運算化簡復(fù)數(shù)，即可得出答案.【解答過程】z=(3?4i)?(1?2i故選：D.【變式51】（2023下·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)z1=?2+3i,z2=1+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】講復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的點的坐標(biāo)進行判斷即可.【解答過程】根據(jù)復(fù)數(shù)運算可知：z1?z位于第二象限.故選：B.【變式52】（2022下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z=2?i，則z+izA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運算公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.S【解答過程】由條件可知z+i對應(yīng)的點是1,1，位于第一象限.故選：A.【變式53】（2022下·江西九江·高二校考階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z、復(fù)數(shù)z滿足1+i=2?4izA．3 B．?3 C．3i D．【解題思路】求出復(fù)數(shù)z，進而求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，即可得到答案.【解答過程】z=2?4i1+i=故選：A.【知識點2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根==；

當(dāng)<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).【題型6\o"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6】（2023·高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2＋4(2)x4－4【解題思路】（1）利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解即可求解.（2）利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解即可求解.【解答過程】（1）x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．（2）x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋2i)(x－2i)(x＋2)(x－2)．【變式61】（2023下·吉林·高一東北師大附中?？计谥校?）已知復(fù)數(shù)z滿足z1+i=3+（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：z2【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確運算，即可求解；（2）利用求根公式求得方程z2?2z+2=0的根，進而得到【解答過程】解：（1）由復(fù)數(shù)z滿足z1+可得z=3+（2）由判別式Δ=所以方程z2?2z+2=0的兩個根為則z2【變式62】（2023·高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x2(3)3x【解題思路】利用完全平方公式平方差公式將所給的表達式分解因式.【解答過程】（1）x（2）x（3）∵

3∴

3∴

3x【變式63】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)a(2)x(3)x(4)a【解題思路】注意m2【解答過程】（1）a4（2）x2（3）x2（4）a2+b【題型7\o"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】【例7】（2023下·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A2,3，B(1)若m＝1，求z1(2)若z2是關(guān)于x的方程x2+2x+17=0的一個復(fù)數(shù)根，求m【解題思路】（1）根據(jù)題意得到z1=2+3i（2）（方法一）由題意，將z2=m?4i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等求解；（方法二）由題意得到方程的兩根為m?4【解答過程】（1）解：由題意得z1因為m＝1，所以z2則z1所以z1（2）（方法一）由題設(shè)得(m?4i即m2+2m+1?8(m+1)解得m＝－1．故z2（方法二）由題設(shè)得方程x2+2x+17=0的兩根為m?4i則m?4i+m+4i=?2，得（方法三）由x2得x+1=±4i，即x=?1±4i，所以故z2【變式71】（2023上·浙江寧波·高二?？奸_學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z=4+ai，其中a是正實數(shù)，i(1)如果z3a+ai為純虛數(shù)，求實數(shù)(2)如果a=2，z1=z1?i是關(guān)于x【解題思路】（1）由題意可得z3a+a（2）由題意可得z1=1+3i，將z【解答過程】（1）解：因為z3a+a由z3a+ai為純虛數(shù)，可得12a?a（2）解：因為a=2，所以z=4+2i，z將z1=1+3i得(1+3i即有b+c?8+(6+3b)i=0所以b+c?8=0，b+c=8.【變式72】（2023下·上海楊浦·高一?？计谀┰O(shè)常數(shù)p∈R，已知