第12講牛吃草問題（教師版）

第12講牛吃草問題四年級(jí)春季第12講牛吃草問題四年級(jí)春季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)牛吃草問題（四下）在著名數(shù)學(xué)家牛頓所著的《普通算數(shù)》一書中有這樣一道題：12頭牛4周吃牧草3公頃，同樣的牧草，21頭牛9周吃10公頃．問24公頃牧草，多少頭牛吃18周吃完？以后人們便稱這類問題為“牛吃草”問題．它主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量，牛的頭數(shù)和吃草的時(shí)間．難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按照不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量在變化．解決“牛吃草”問題的主要依據(jù)是：

（1）草的總量=草場(chǎng)上原有的草量（定值）+新生的草量（2）草的總量=牛的頭數(shù)×?xí)r間（3）新生的草量=單位時(shí)間內(nèi)生長(zhǎng)的草量×?xí)r間（4）單位時(shí)間內(nèi)新生草量=總草量之差÷時(shí)間差（5）草每天生長(zhǎng)量不變（6）每頭牛在單位時(shí)間的吃草量不變（常設(shè)為“1”份）（7）常將牛分成兩部分，一部分只吃新生草，一部分只吃原有的草方法精講方法精講一、將每頭牛每天的吃草量設(shè)為單位“1”。二、比較已知條件中牛的吃草總量，算出每天的變化量。三、計(jì)算草地原有草的總量。四、根據(jù)所問問題求解。課堂例題課堂例題草量不變和草量增加1、一塊草地有草180份，每天長(zhǎng)5份．如果每頭牛每天吃1份草，那么：（1）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多放養(yǎng)_______頭牛；（2）6頭牛，吃_______天；（3）10頭牛，吃_______天；（4）_______頭牛，吃18天；（5）_______頭牛，吃15天．【答案】

5；180；36；15；17【解析】

（1）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，放養(yǎng)的牛數(shù)又要最多，就一定是長(zhǎng)多少吃多少，所以需要放養(yǎng)5頭牛；（2）方法一：6頭牛每天吃6份，而草每天長(zhǎng)5份，實(shí)際相當(dāng)于每天消耗1份草，一共能吃天；方法二：6頭牛派5頭牛去吃每天新生長(zhǎng)的草，而1頭牛吃原草，仍然是180天；（3）方法同第二問，天；（4）方法一：18天，原草與新草一共是份，吃了18天，所以每天要吃份，所以需要15頭牛；方法二：原草180份，吃18天，需要10頭牛，但是還要有5頭牛吃每天新長(zhǎng)的草，一共要15頭牛；（5）方法同第四問，頭．2、有一片牧場(chǎng)，草地上現(xiàn)有250份草，草地每天都均勻地生長(zhǎng)5份草．若10天恰好吃完，每頭牛每天吃1份草，那么一開始放養(yǎng)幾頭牛？【答案】

30【解析】

10天吃完，說明每天總共少25份草，而每天草長(zhǎng)5份，所以牛每天吃30份，那么就是30頭牛．3、有一片牧場(chǎng)，每天都在均勻地生長(zhǎng)草，每頭牛每天吃1份草．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)14頭牛，那么15天能把草吃完；如果只放養(yǎng)19頭牛，那么10天能把草吃完．那么草地原有幾份草？【答案】

150【解析】

每天生長(zhǎng)的草的份數(shù)是份，所以原有草份．4、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)18頭牛，那么10天就把草吃完了；如果放養(yǎng)24頭牛，那么7天就把草吃完了．（1）要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14天把草吃完？（2）如果放養(yǎng)32頭牛，多少天可以把草吃完？【答案】

14；5【解析】

（1）設(shè)每頭牛每天吃1份草，18頭牛10天吃180份，24頭牛7天吃168份．相差了份，是因?yàn)槎嚅L(zhǎng)了天的草，所以草每天的生長(zhǎng)量是份．10天后是180份，10天長(zhǎng)了40份新草，所以原草量是份．140份草要14天吃完，需要10頭牛，其中還需要4頭牛吃每天的新草，一共需要頭牛；（2）32頭牛中有4頭牛吃新草，剩下28頭牛吃原有的140份草，所以需要吃天．5、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)，如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)10頭牛，那么20天就把草吃完了；如果放養(yǎng)15頭牛，那么10天就把草吃完了．（1）要使草永遠(yuǎn)都吃不完，最多能放牧多少頭牛？（2）要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好25天把草吃完？（3）如果放養(yǎng)7頭牛，多少天可以把草吃完？【答案】

（1）5（2）5天（3）50天【解析】

（1）設(shè)每頭牛每天吃草一份，則10頭牛20天吃草200份，15頭牛10天吃草150份，每天長(zhǎng)草5份，原有草100份，要永遠(yuǎn)吃不完最多只能放5頭牛（2）100份草25天吃完需要4頭牛，然后每天長(zhǎng)的草需要5頭牛，（3）5頭牛用來吃每天長(zhǎng)草，剩余的2頭牛吃100份草需要50天．總草量減少6、（2014年金帆四春）由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少，已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計(jì)算，可供________頭牛吃10天．【答案】

5【解析】

設(shè)每頭牛每天吃1份，則草在天內(nèi)減少份，原草量為份．若吃10天，可有頭牛．7、進(jìn)入冬季后，有一片牧場(chǎng)上的草開始枯萎，因此草會(huì)均勻地減少．現(xiàn)在開始在這片牧場(chǎng)上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完．（1）放養(yǎng)多少只羊，12天才能把草吃完？（2）如果放20只羊，這片牧場(chǎng)可以吃多少天？【答案】

90；40【解析】

（1）設(shè)每只羊每天吃1份草，38只羊25天吃950份，30只羊30天吃900份．相差了份，是因?yàn)槎嗫菸颂斓牟?，所以草每天的枯萎量是份?0天后是900份，30天枯萎了份草，所以原草量是份．1200份草要12天吃完，即每天減少100份，其中每天枯萎10份草，所以每天羊吃90份草，所以放養(yǎng)90只羊；（2）每天枯萎10份，放養(yǎng)20只羊，則每天一共減少30份，把1200份草吃光，需要天．8、有一片牧場(chǎng)，如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)24匹馬，那么12天就把草吃完了；如果放養(yǎng)40匹馬，那么8天就把草吃完了．（1）要放養(yǎng)多少匹馬，才能恰好16天把草吃完？（2）如果放養(yǎng)8匹馬，多少天可以把草吃完？【答案】

16匹；24天【解析】

設(shè)每匹馬每天吃草1份則每天枯萎份，原有草份，（1）匹（2）天．9、有一片牧場(chǎng)，如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)20只兔子，需要5天把草吃完；如果放養(yǎng)15只兔子，需要6天把草吃完．（1）要放養(yǎng)多少只兔子，才能恰好10天把草吃完？（2）如果放養(yǎng)65只兔子，多少天可以把草吃完？【答案】

（1）10天（2）2天【解析】

（1）每只兔子每天吃草為1份，則每天枯萎份，原有草150份，要10天吃完需要天（2）天．牛羊混合型10、有一片牧場(chǎng)，不知季節(jié)，每頭牛每天吃1份草，并且每頭牛每天吃的草相當(dāng)于3只羊每天吃的。如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)20頭牛，那么36天能把草吃完；如果只放養(yǎng)10頭牛和9只羊，那么50天能把草吃完．那么放養(yǎng)20頭牛和15只羊，_________________天吃完．【答案】

30【解析】

3只羊折算成1頭牛比較好算，那條件就轉(zhuǎn)化為13頭牛吃50天，問題轉(zhuǎn)化為25頭牛吃幾天。設(shè)每頭牛一天吃草為“1”，則每天草減少份，原有草份，所以可以吃天．11、有一片草場(chǎng)，草每天的生長(zhǎng)速度相同．若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完（4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量）．那么17頭牛和20只羊多少天可將草吃完？【答案】

10【解析】

設(shè)每只羊每天吃1份草．14頭牛可換為56只羊，所以56只羊30天吃份；70只羊16天吃份．每天的生長(zhǎng)量是份，原草量是份．17頭牛和20只羊相當(dāng)于88只羊，其中有40只羊吃新草，剩下48只羊吃480份原草，需要10天．牛的數(shù)量變化型12、一片草地，草每天都在均勻生長(zhǎng)．有15頭牛吃草，8天可以把草全部吃完．如果起初這15頭牛吃了2天后，又來了2頭牛，則總共7天就可以把草吃完．如果起初這15頭牛吃了2天后，又來了5頭牛，則總共需要多少天可以把草吃完？假定草生長(zhǎng)的速度不變，每頭牛每天吃的草量相同．【答案】

6天【解析】

設(shè)每頭牛每天吃1份草，15頭牛8天吃120份；15頭牛7天，2頭牛5天吃份．每天草的生長(zhǎng)量是份．原草量是份．如果15頭牛吃了2天，有5頭牛吃原草，相當(dāng)于還有10頭牛在吃原草，原草還剩下份．20頭牛中5頭牛吃每天新長(zhǎng)的草，剩下的15頭牛吃原有草，需要天．一共用了天．類牛吃草問題13、有一個(gè)蓄水池裝有8根排水管，某天天降大雨，雨水以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池注入．后來有人想打開排水管，使池內(nèi)的水全部排光（這時(shí)池內(nèi)已注入了一些水）．如果把8根排水管全部打開，需3小時(shí)把池內(nèi)的水全部排光；如果打開5根水管，需6小時(shí)把池內(nèi)的水全部排光．想要4.5小時(shí)把池內(nèi)的水全部排光，需同時(shí)打開多少根排水管？【答案】

6【解析】

設(shè)每根水管每小時(shí)排1份水，8根3小時(shí)排24份水，5根6小時(shí)排30份水，雨水每小時(shí)注入份水，池內(nèi)原有份水．2根水管用來排新注入的雨水，原水需要根水管，一共需要同時(shí)打開6根水管．14、（金帆四年級(jí)春季）某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多．從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘．如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？【答案】

12【解析】

設(shè)每個(gè)檢票口每分鐘放行人數(shù)為1份，則在分鐘內(nèi)新增了份，每分鐘新來的旅客為份，開放前共有份．同時(shí)開放7個(gè)檢票口后，所需時(shí)間為分．草地變化15、第一、二號(hào)牧場(chǎng)的面積依次為2公頃和5公頃，兩個(gè)牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，且生長(zhǎng)得一樣快．一號(hào)牧場(chǎng)草地可供11頭牛吃8天，8頭牛吃14天．二號(hào)牧場(chǎng)草地可供17頭牛吃多少天？【答案】

20天【解析】

對(duì)于一號(hào)牧場(chǎng)設(shè)每頭牛每天吃草為1份，則每天長(zhǎng)草份，原有草份，5公頃的草地原有草份，每天長(zhǎng)草份，17頭?？梢猿?0天．16、（2014年金帆五升六）有三塊草地，面積分別是5、15、24畝．每塊草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快，如果第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，則第三塊草地可供_________頭牛吃80天．【答案】

42【解析】

假設(shè)一頭牛每天吃1份草．第一塊草地可供10頭牛吃30天，那么要放在第二塊草地則相當(dāng)于可供30頭牛吃30天．于是可以算出第二塊草地草的增長(zhǎng)速度為份，那么原有草應(yīng)該為：份．所以第三塊草地原有草為：份，草的增長(zhǎng)速度為：份．第三塊草地經(jīng)過80天可以生長(zhǎng)份草，所以牛的數(shù)量為頭．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、一塊草地有草60份，每天長(zhǎng)2份．那么：（1）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多放養(yǎng)_______頭牛；（2）5頭牛，吃_______天；（3）7頭牛，吃_______天；（4）_______頭牛，吃10天；（5）_______頭牛，吃15天．當(dāng)原草量和生長(zhǎng)量都未知時(shí)，我們?cè)撛趺崔k呢？【答案】

2；20；12；8；6【解析】

（1）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，放養(yǎng)的牛數(shù)又要最多，就一定是長(zhǎng)多少吃多少，所以需要放養(yǎng)2頭牛；（2）方法一：5頭牛每天吃5份，而草每天長(zhǎng)2份，實(shí)際相當(dāng)于每天消耗3份草，一共能吃天；方法二：5頭牛派2頭牛去吃每天新生長(zhǎng)的草，而3頭牛吃原草，仍然是20天；（3）方法同第二問，天；（4）方法一：10天，原草與新草一共是份，吃了10天，所以每天要吃份，所以需要8頭牛；方法二：原草60份，吃10天，需要6頭牛，但是還要有2頭牛吃每天新長(zhǎng)的草，一共要8頭牛；（5）方法同第四問，頭．2、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)．如果放養(yǎng)24頭牛，那么6天就把草吃完了；如果放養(yǎng)21頭牛，那么8天就把草吃完了．（1）放養(yǎng)多少頭牛，12天才能把草吃完？（2）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多放養(yǎng)多少頭牛？【答案】

（1）16頭牛（2）4頭牛【解析】

（1）設(shè)每頭牛每天吃1份草，24頭牛6天吃144份，21頭牛8天吃168份．相差了份，是因?yàn)槎嚅L(zhǎng)了天的草，所以草每天的生長(zhǎng)量是份．6天后是144份，6天長(zhǎng)了24份新草，所以原草量是份．120份草要12天吃完，需要10頭牛，其中還需要4頭牛吃每天的新草，一共需要頭牛；（2）要使得草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多放養(yǎng)4頭牛．3、進(jìn)入冬季，有一片牧場(chǎng)上的草開始枯萎，因此均勻地減少．若在這兒放牛，可以供32頭牛吃24天，或者供27頭牛吃28天．（1）放養(yǎng)多少頭牛，12天才能把草吃完？（2）如果在這片牧場(chǎng)上養(yǎng)21頭牛，那么草可以供吃多少天？【答案】

67；35【解析】

（1）設(shè)每頭牛每天吃1份草，32頭牛24天吃768份，27頭牛28天吃756份．相差了份，是因?yàn)槎嗫菸颂斓牟荩圆菝刻斓目菸渴欠荩?4天后是768份，24天枯萎了份草，所以原草量是份．840份草要12天吃完，即每天減少70份，其中每天枯萎3份草，所以每天牛吃67份草，所以放養(yǎng)67頭牛；（2）每天枯萎3份，放養(yǎng)21頭牛，則每天一共減少24份，把840份草吃光，需要天．4、一片草場(chǎng)，草每天都在均勻生長(zhǎng)．如果在這片草場(chǎng)上放20頭牛和24頭羊，那么18天可以吃完；如果在這片草場(chǎng)上放15頭牛和54頭羊，那么15天就把草吃完．已知，一頭牛每天吃的草量相當(dāng)于3只羊每天吃的草量，請(qǐng)問如果在這片草地上放12頭牛和18頭羊可以吃幾天？【答案】

30天【解析】

設(shè)每只羊每天吃1份草．20頭?？蓳Q為60只羊，所以84只羊18天吃份；15頭?？蓳Q為45只羊，所以99只羊15天吃份．每天的生長(zhǎng)量是份，原草量是份．12頭牛和18只羊相當(dāng)于54只羊，其中有9只羊吃新草，剩下45只羊吃1350份原草，需要30天．課后作業(yè)課后作業(yè)1、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)．如果放養(yǎng)20頭牛，那么16天就把草吃完了；如果放養(yǎng)24頭牛，那么12天就把草吃完了．那么放養(yǎng)________頭牛，8天就能把草吃完．【答案】

32【解析】

設(shè)1頭牛1天吃1份草，那么這片牧場(chǎng)每天草生長(zhǎng)份，原有草份．8天吃完，則有頭牛．2、秋末冬初草地開始退化，草每天都均勻的減少．如果放養(yǎng)6頭牛，那么20天就把草吃完了；如果放養(yǎng)4頭牛，那么25天就把草吃完了．那么放養(yǎng)________頭牛，10天就能把草吃完．【答案】

16【解析】

設(shè)1頭牛1天吃1份草，那么這片牧場(chǎng)每天草減少份，原有草份．10天吃完，則有頭牛．3、有一個(gè)酒桶壞了，所以每天勻速往外面流失酒，已知酒桶里面的酒可供7人喝6天，可供5人喝8天．若1人獨(dú)飲，可以喝________天．【答案】

24【解析】

設(shè)1人1天喝1份酒，則每天流失份的酒，原有酒份，1人獨(dú)飲可以喝天．4、假設(shè)地球上新生成的資源的增長(zhǎng)速度是一定的，照此測(cè)算，地球上的資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年．為使人類能夠不斷繁衍，那么地球最多能養(yǎng)活________億人．【答案】

75【解析】

設(shè)1人1年消耗1份資源，則地球上每年增長(zhǎng)的資源是份，則地球上最多能養(yǎng)活75億人．5、有一均勻生長(zhǎng)的草地，可以供18頭牛吃40天，或者供12頭牛與36只羊吃25天，如果1頭牛每天吃草量相當(dāng)于3只羊每天吃的草，那么讓17頭牛與48只羊一起吃可以吃________天．【答案】

16天【解析】

只需按照1頭牛相當(dāng)于3只羊?qū)⑴Ｑ蚪y(tǒng)一即可．設(shè)1只羊1天吃1份草，那么這片牧場(chǎng)每天草生長(zhǎng)份，原有草份．17頭牛與48只羊，相當(dāng)于99只羊，可以吃天．6、有一片牧場(chǎng)，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么可供11頭牛吃________天．【答案】

8【解析】

設(shè)1頭牛1天吃1份草，5天吃了100份，6天吃了96份，說明每天草是均勻減少的．每天減少的草量：份，總共原有草量：份，所以11頭?？梢猿蕴欤?、一個(gè)露天水池底部有若干同樣大小的進(jìn)水管．這天蓄水時(shí)恰好趕上下雨，每分鐘注入水池的雨水量相同．如果打開24根進(jìn)水管，5分鐘能注滿水池；如果打開12根進(jìn)水管，8分鐘能注滿水池；如果打開8根進(jìn)水管，那么________分鐘能將水池注滿．【答案】

10【解析】

設(shè)