專題12圓錐曲線的統(tǒng)一定義（學(xué)生版答案解析）

專題12圓錐曲線的統(tǒng)一定義答案解析【專題探究】例1【解析】解：由∠BAP=γ知P在以A為頂點(diǎn)，母線與軸AB夾角為γ的圓錐側(cè)面上，

又P點(diǎn)在平面β上，所以P點(diǎn)的軌跡是平面β與圓錐側(cè)面的交線，

由題意，對各選項(xiàng)進(jìn)行分析：

對A,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π4,圓錐軸截面半頂角為

π6，由π4>π6，知Γ是橢圓，故A正確；

對B,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π3,圓錐軸截面半頂角為

π6，由π3>π6，知Γ是橢圓，故B不正確；

對C,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π4,圓錐軸截面半頂角為

π4,由兩角相等,知Γ是拋物線,故C正確；

對D,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π3，圓錐軸截面半頂角為

例2【解析】易知A1A2為橢圓的長軸，長為2a，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，A1F=a?c，

在直角三角形PA1A2中，球的截面圓是其內(nèi)切圓，

設(shè)A1A2=x，則由三角形面積不變性可得：12×5x=12練1【解析】因?yàn)橹本€OC與PC所成角為45°，所以點(diǎn)P在以CO為軸的圓錐曲線的表面上，

且是平面A1BD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接AC交BD于點(diǎn)M，

則在平面ACC1A1中易得A1M//CO，所以故選C練2【解析】因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EO的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//PA，又PA?截面CDE，OE?截面CDE，故PA//截面CDE，

由截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到的是拋物線，

故過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為拋物線；

由題意可知，PO⊥平面AOB，又OB?平面AOB，則PO⊥OB，

則OB=OP=OC=1，因?yàn)镋為母線PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=22，

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP為y軸，OE為x如圖所示，則C(?22,1)，

設(shè)拋物線的方程為y2=mx，

將點(diǎn)C代入方程可得，1=?22m，解得m=?2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2x，

因?yàn)镸，N是該曲線上的兩點(diǎn)且MN//CD，則MN⊥x軸，又MN例3【解析】3|PA|+5|PF|?=3(|PA|+53|PF|)易知橢圓C的離心率為e=ca=35則由橢圓的第二定義知，53|PF|等于橢圓上的點(diǎn)過點(diǎn)P作左準(zhǔn)線的垂線，垂足為E,則|PA|+|PE|?≥?|AE|，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，此時(shí)|AE|?=2?(?25故3(|PA|+53|PF|)例4【解析】設(shè)Px1,聯(lián)立拋物線得：k2x2由直線l與拋物線準(zhǔn)線l1交于M，則x由PM=2FP得：?1?x1=2∴PF=x1+1=4故選：A.練3【解析】解：首先證明橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)P(x,y)到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離

|PF1|=a+cax，|PF2|=a?cax(焦半徑公式);

證明：因?yàn)镕1(?c,0)、F2(c,0)，

所以|PF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1?x2a2)

=c2a2x2+2cx+a2=|a+cax|;

同理可得|PF2|=(x?c練4【解析】解：橢圓C：x24+y23=1的a=2，b=3，c=1，

延長PI交x軸于M，

設(shè)P(x0,y0)，I(x,y)，M(m,0)，

連接IF1，IF2，

設(shè)PF1=s，PF2=t，則s+t=2a=4，

MF1=m+1，MF2=1?m，

由內(nèi)角平分線定理可得

st=m+1例5【解析】解：設(shè)M坐標(biāo)為(x,y)x≠±5,y≠0，由yx+5·yx?5=λ，得y2=λ(x2?25)(x≠±5)，

對于A項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之和為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)?1<λ<0，a=5<c=6，矛盾，故A錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之差的絕對值為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)λ>0，a=5<c=6，符合題意，故B正確．

對于C項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之和為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)?25λ>36，符合題意，故C正確;

對于D項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之差的絕對值為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在y軸上，但例6【解析】解：設(shè)P(x,y)，則y2=b2(x2a2?1)，因?yàn)锳1(?a,0)，A2(a,0)，

故kPA1?kPA2=yx+a?yx?a=y2x2?a2=b2(x2a2?1)x2?a2=根據(jù)對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則β>α，則∠A1PA2=β?α，

則tan∠A1PA2=tan(β?α)=tanβ?tanα1+tanα?tanβ=47練5【解析】由橢圓C：x24+y23=1可知其左頂點(diǎn)A1(?2,0)，右頂點(diǎn)A2(2,0)．

設(shè)P(x∵?2≤kPA2≤?1，∴?2≤?34練6【解析】因?yàn)锳(m,n)在橢圓C上，所以m2a2+n2b2=1，m2=a2(1?n2b2)，

所以|AE|=m2+(n?b)2=?c2b2n2?2bn+a2+b2≤a2c，A所以xM=bmb?n，xN=bmb+n，

所以O(shè)P2=OM?ON=|bmb?n||bmb+n|=b2m2b2?n2，

因?yàn)閙2=a2(1?n21.【解析】設(shè)截口橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距長為c，

因?yàn)閳A柱的底面直徑為2，所以2b=CD=2，故b=1，因?yàn)闄E圓截面與底面的夾角為45°，

所以∠AOB=45°，所以2b=OB=OAcos45°=2acos45°，所以a=2，

所以c=a2?b2=12.【解析】經(jīng)過橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)F做直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA+2FB=0，

設(shè)B(x1,y1)，則A的橫坐標(biāo)為：3?2x13.【解析】因?yàn)閍=5，b=5，所以c=2，則左準(zhǔn)線方程為x=?a2c=?92，則PF1d=e=23，所以d=32PF1，

所以|PA|+32?|PF|=PA+d，

所以過4.【解析】設(shè)P(x,y)x>0，由焦半徑公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex?a，

則|PF1|+|PF2||OP|=ex+a+ex?ax2+y2

(y2=x22?4,e=62)，

5.【解析】如圖所示，

由橢圓的性質(zhì)可得kAP1?kBP1=kAP2?kBP2=?b2a2=?12．

由橢圓的對稱性可得kBP1=kAP10，k6.【解析】解：以矩形ABCD的中心O為原點(diǎn)，

取AB中點(diǎn)為M，CD中點(diǎn)為N，以MN所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直MN的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由圓錐的底面直徑為2，側(cè)面積為5π，得顯然OM=(所以雙曲線的離心率e=故答案為：57.【解析】設(shè)O1O2由O2DO所以DE=4所以2c=4設(shè)直線EF與圓錐的母線相交于點(diǎn)A，圓錐的母線與球相切于B,C兩點(diǎn)，如圖所示，則AB=兩式相加得AB+AC=過O2作O2G⊥則四邊形BGO2C為矩形，所以2a=所以橢圓的離心率為ca故答案為138.【解析】解：(1)過N作NG⊥PC1于點(diǎn)G，

而∠C1A1N=α+β，|NA1|=a，

所以|NG|=asin(α+β)，而∠C1NG=α，

∴|C1N|=asin(α+β)cosα，

同理過