第08講有理數(shù)的乘方-小升初無憂銜接（蘇科版）

第08講有理數(shù)的乘方（解析版）初中階段：由兩個、三個數(shù)相乘擴充到n個數(shù)連乘。a初中階段：由兩個、三個數(shù)相乘擴充到n個數(shù)連乘。a·a·…·a，記作an，讀作“a的n次方”.求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，當an看作a的n次方的結果時，也可讀作a的n次冪.小學階段：兩個相同的因數(shù)相乘，3×3=32，a·a=a2a2讀作：a的平方或a的二次方三個相同因數(shù)連乘：4×4×4=43，a·a·a=a3,a3讀作：a的立方或a的三次方新知導學知識點一有理數(shù)乘方的意義知識梳理一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，即a·a·…·a，記作an，讀作“a的n次方”.求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，當an看作a的n次方的結果時，也可讀作a的n次冪.典例剖析+反饋練習典例1（2021秋?凌海市期中）把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫成冪的形式是，底數(shù)是，指數(shù)是．思路引領：根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答．解：把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫成冪的形式是（﹣3）3，底數(shù)是﹣3，指數(shù)是3，故答案為：（﹣3）3，﹣3，3．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．反饋練習1．（2019秋?興安盟期末）把（?12）×（?12）×（?12）×（?思路引領：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方，據(jù)此把（?12）×（?12）×（?1解：把（?12）×（?12）×（?12）×（?1故答案為：（?12）解題秘籍：此題主要考查了有理數(shù)的乘方的運算方法，以及有理數(shù)的乘法的運算方法，要熟練掌握．知識點二乘方的符號法則知識梳理典例剖析+反饋練習典例2判斷下面各式結果的符號，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（﹣5）4；（2）（﹣5）5；（3）﹣（﹣5）6；（4）﹣（﹣5）7思路引領：利用有理數(shù)的乘方分別計算，從中發(fā)現(xiàn)結果符號的規(guī)律．解：（1）（﹣5）4＝625，（2）（﹣5）5＝﹣3125，（3）﹣（﹣5）6＝﹣15625，（4）﹣（﹣5）7＝78125．由上可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是能夠根據(jù)計算結果發(fā)現(xiàn)規(guī)律．反饋練習2．（2021秋?南平期末）已知四個數(shù)：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22，計算結果為負數(shù)的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4思路引領：根據(jù)相反數(shù)、有理數(shù)的乘方、絕對值的定義解決此題．解：∵﹣（﹣2）＝2＞0，（﹣2）2＝4＞0，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，﹣22＝﹣4＜0，∴在﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22中負數(shù)有﹣|﹣2|、﹣22，共2個．故選：B．解題秘籍：本題主要考查相反數(shù)、有理數(shù)的乘方、絕對值，熟練掌握相反數(shù)、有理數(shù)的乘方、絕對值的定義是解決本題的關鍵．3．不做運算，判斷下列各運算結果的符號：（﹣3）13，（﹣2）24，（﹣1.7）2007，（43）5，﹣（﹣2）23，02004，﹣516思路引領：根據(jù)有理數(shù)乘方運算的法則直接判斷：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)．正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．零的任何正整數(shù)冪都是零．解：（﹣3）13是負號，（﹣2）24是正號，（﹣1.7）2007是負號，（43）5﹣（﹣2）23是正號，02004是0．式子“﹣516”表示16個5乘積的相反數(shù)，可得出結果為負．解題秘籍：一看底數(shù)，二看指數(shù)．當?shù)讛?shù)是正數(shù)時，結果為正；當?shù)讛?shù)是0時，結果是0；當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，再看指數(shù)，若指數(shù)為偶數(shù)，結果為正；若指數(shù)為奇數(shù)，結果為負．知識點三乘方的實際應用知識梳理典例剖析+反饋練習典例3（2021秋?萊西市期中）當你把紙對折一次時，就得到2層，當對折兩次時，就得到4層，照這樣折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)和折紙的次數(shù)有什么關系嗎？（2）計算當你對折6次時，層數(shù)是多少；（3）如果紙的厚度是0.1mm，求對折7次時，總厚度是多少．思路引領：（1）先求出對折一次、二次、三次的層數(shù)，然后利用數(shù)字變化規(guī)律得到折紙的次數(shù)是n時，折得的層數(shù)即可；（2）計算26即可；（3）計算0.1×27即可．解：（1）紙對折一次時，就得到2層，即21層；當對折兩次時，就得到4層，即22層；當對折三次時，就得到8層，即23層；當折紙的次數(shù)是n時，折得的層數(shù)是2n（1≤n≤7且n為正整數(shù)）；（2）26＝64，所以對折6次時，層數(shù)是64；（3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），所以對折7次時，總厚度是12.8mm．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)乘方：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．也考查了規(guī)律型問題的解決方法．反饋練習4．（2021秋?新會區(qū)期末）將一根繩子對折1次，從中間剪斷，繩子變成3段，將一根繩子對折2次．從中間剪斷，繩子變成5段，將一根繩子對折3次，從中間剪斷，繩子變成9段；現(xiàn)把一根足夠長的繩子對折7次，從中間剪斷．繩子會變成（）段．A．63 B．65 C．127 D．129思路引領：根據(jù)題意找出規(guī)律，再根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進行計算即可．解：對折1次從中間剪斷，有21+1＝3；對折2次，從中間剪斷，有22+1＝5．∴對折7次，從中間剪一刀全部剪斷后，繩子變成27+1＝129（段）．故選：D．解題秘籍：此題考查了有理數(shù)的乘方，通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律是解題的關鍵．限時測試1．（2021秋?萊州市期末）設n為正整數(shù)，計算（﹣1）2n+1的結果是（）A．1 B．﹣1 C．2n+1 D．﹣2n﹣1思路引領：根據(jù)﹣1的奇次冪等于﹣1即可得出答案．解：∵n為正整數(shù)，∴2n+1是奇數(shù)，∴原式＝﹣1，故選：B．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握﹣1的奇次冪等于﹣1，﹣1的偶次冪等于1是解題的關鍵．2．（2021秋?石獅市期末）下列計算結果是負數(shù)的是（）A．|﹣2| B．（﹣2）3 C．（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）×0 D．﹣（﹣2）思路引領：根據(jù)絕對值的性質計算A選項；根據(jù)有理數(shù)的乘方計算B選項；根據(jù)有理數(shù)的乘法計算C選項，根據(jù)相反數(shù)的定義計算D選項．解：A選項，原式＝2，故該選項不符合題意；B選項，原式＝﹣8，故該選項符合題意；C選項，原式＝0，故該選項不符合題意；D選項，原式＝2，故該選項不符合題意；故選：B．解題秘籍：本題考查了絕對值，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的乘方，相反數(shù)，正數(shù)和負數(shù)，掌握an表示n個a相乘是解題的關鍵．3．（2021秋?濱江區(qū)期末）下列計算結果最小的是（）A．﹣（﹣2）2 B．（﹣2）2 C．（?12）2 D．﹣（?思路引領：先化簡原數(shù)，然后根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則即可求出答案．解：∵﹣（﹣2）2＝﹣4，（﹣2）2＝4，（?12）2=14，﹣（?∴﹣4＜?1故選：A．解題秘籍：本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是正確化簡原數(shù)，本題屬于基礎題型．4．（2021秋?高邑縣期末）計算下列各式，其結果為負數(shù)的是（）A．﹣（﹣3） B．|﹣3| C．（﹣3）3 D．（﹣3）2思路引領：分別求出：﹣（﹣3）＝3；|﹣3|＝3；（﹣3）3＝﹣27；（﹣3）2＝9；即可求解．解：﹣（﹣3）＝3；|﹣3|＝3；（﹣3）3＝﹣27；（﹣3）2＝9；故選：C．解題秘籍：本題考查實數(shù)的運算；熟練掌握有理數(shù)的乘方運算、絕對值、相反數(shù)的性質是解題的關鍵．5．（2022?澄海區(qū)模擬）﹣12022的相反數(shù)是（）A．2022 B．﹣2022 C．1 D．﹣1思路引領：根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義即可得出答案．解：﹣12022＝﹣1，﹣1的相反數(shù)是1，故選：C．解題秘籍：本題考查了相反數(shù)，有理數(shù)的乘方，掌握﹣12022與（﹣1）2022的區(qū)別是解題的關鍵．6．（2022春?寶山區(qū)校級月考）下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．﹣28與（﹣2）8 B．（﹣3）7與﹣37 C．﹣3×23與﹣33×2 D．﹣（﹣2）3與﹣（﹣3）2思路引領：根據(jù)有理數(shù)的乘方和乘法分別計算各選項中的數(shù)即可得出答案．解：A選項，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故該選項不符合題意；B選項，（﹣3）7＝﹣37，故該選項符合題意；C選項，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故該選項不符合題意；D選項，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故該選項不符合題意；故選：B．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方和乘法，掌握負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)是解題的關鍵．7．（2021秋?虎林市校級期末）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的一組是（）A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32思路引領：根據(jù)乘方的定義逐一計算判斷即可．解：A．32＝9，23＝8，故選項A不符合題意；B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故選項B符合題意；C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故選項C不符合題意；D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故選項D不符合題意．故選：B．解題秘籍：本題考查乘方的定義，根據(jù)乘方的定義準確計算是解題的關鍵．8．（2022?石阡縣模擬）下組各組數(shù)中，相等的一組數(shù)是（）A．﹣2和﹣（﹣2） B．﹣22和（﹣2）2 C．﹣|﹣2|和﹣（﹣2） D．﹣2和﹣|﹣2|思路引領：根據(jù)乘方和絕對值的定義及運算法則計算出各數(shù)值再進行判斷即可．解：A選項：﹣（﹣2）＝2≠﹣2，∴A選項錯誤，B選項：﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣4≠4，∴B選項錯誤，C選項：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，﹣2≠2，∴C選項錯誤，D選項：﹣|﹣2|＝﹣2，D選項正確，故選：D．解題秘籍：本題是基礎題，能正確進行乘方和絕對值的計算時解題的關鍵．9．（2022春?普陀區(qū)校級期中）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）寫成乘方的形式．思路引領：根據(jù)乘方的意義即可解答．解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，故答案為：（﹣2）4．解題秘籍：本題考查乘方的意義，解題的關鍵是掌握乘方的概念．10．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）計算：(?12思路引領：利用有理數(shù)的乘方法則計算得結果．解：原式＝（?12）×（=1故答案為：14解題秘籍：本題考查了實數(shù)的運算，掌握乘法的意義是解決本題的關鍵．11．（2022春?沭陽縣月考）82022×（﹣0.125）2021＝．思路引領：根據(jù)冪的意義計算即可．解：原式＝82022×（?18＝﹣82022×8﹣2021＝﹣8．故答案為：﹣8．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的乘法，掌握有乘方先算乘方是解題的關鍵．12．（2022?雨花區(qū)校級開學）下列各數(shù)：①13，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤π2，是正有理數(shù)的是思路引領：根據(jù)絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)的定義解決此題．解：①13是正分數(shù)，那么①②0.1是正的小數(shù)，那么②是正有理數(shù)．③根據(jù)絕對值的定義，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2|是負數(shù)，那么③不是正有理數(shù)．④根據(jù)有理數(shù)的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理數(shù)，那么④是正有理數(shù)．⑤根據(jù)無理數(shù)的定義，π2綜上：正有理數(shù)有①②④．解題秘籍：本題主要考查絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)，熟練掌握絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)的定義是解決本題的關鍵．13．（2021秋?泰山區(qū)期末）|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是．思路引領：根據(jù)絕對值、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的加法以及分類討論的思想解決此題．解：∵|a|＝3，b2＝9，∴a＝±3，b＝±3．∵|a+b|＝a+b≥0，∴當a＝3時，b＝±3，此時a+b＝6或0；當a＝﹣3時，b＝3，此時a+b＝0．綜上，a+b＝6或0．故答案為：6或0．解題秘籍：本題主要考查絕對值、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的加法，熟練掌握絕對值、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的加法以及分類討論的思想是解決本題的關鍵．14．（2021秋?萊蕪區(qū)期末）下列各數(shù)：①﹣1.42；②0；③|﹣3|；④8；⑤﹣10%；⑥﹣42，其中正整數(shù)有（填序號）．思路引領：先化簡，再根據(jù)正整數(shù)的定義進行判斷即可．解：|﹣3|＝3，﹣42＝﹣16，屬于正整數(shù)的有：3，8；故原來的6個數(shù)中，只有③|﹣3|、④8是正整數(shù)．故答案為：③④．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的分類；注意整數(shù)、0、正數(shù)之間的區(qū)別：0是整數(shù)但不是正數(shù)．15．（2021秋?本溪期末）計算（﹣123）2的結果為思路引領：首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．解：原式=25故答案為：259解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握乘方的意義和法則是解題的關鍵．16．（2021秋?環(huán)江縣期末）計算：4÷（﹣2）3＝．思路引領：先計算乘方，再乘除運算．解：4÷（﹣2）3=4÷(?8)=?1故答案為：?1解題秘籍：本題考查有理數(shù)乘方的綜合計算，關鍵在于掌握計算順序．17．（2021秋?長汀縣期末）計算：(?1)3?8×(?1思路引領：根據(jù)有理數(shù)的運算法則即可求出答案．解：原式＝﹣1﹣8×＝﹣1﹣2＝﹣3，故答案為：﹣3．解題秘籍：本題考查有理數(shù)的運算，解題的關鍵是熟練運用有理數(shù)的運算法則，本題屬于基礎題型．18．（2021秋?萊西市期末）計算：﹣22﹣（﹣1）3＝．思路引領：根據(jù)有理數(shù)的乘方進行計算即可得解．解：﹣22﹣（﹣1）3，＝﹣4﹣（﹣1），＝﹣4+1，＝﹣3．故答案為：﹣3．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，﹣1的奇數(shù)次冪是﹣1，﹣1的偶數(shù)次冪是1，要注意﹣22的底數(shù)是2．19．（2021秋?延邊州期末）一列數(shù)：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三個相鄰數(shù)的和是﹣1701，則這三個數(shù)中最大的數(shù)是．思路引領：觀察數(shù)列可知規(guī)律為：（﹣3）0，（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3…，（﹣3）n；根據(jù)其中某三個相鄰數(shù)的和是﹣1701，可得等量關系求出．解：設最小的數(shù)為（﹣3）n，則（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，解得（﹣3）n＝﹣243＝（﹣3）5，所以這三個數(shù)分別是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．則這三個數(shù)中最大的數(shù)是（﹣3）6＝729．解題秘籍：主要考查了有理數(shù)的乘方和數(shù)列的找規(guī)律能力．要熟悉乘方的意義，準確的找出規(guī)律．乘方是乘法的特例，乘方的運算可以利用乘法的運算來進行．負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；﹣1的奇數(shù)次冪是﹣1，﹣1的偶數(shù)次冪是1．20．（2021秋?龍泉驛區(qū)校級期中）（）2=1思路引領：根據(jù)有理數(shù)的乘方運算即可求出答案．解：（±13）2=故答案為：±1解題秘籍：本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是熟練運用有理數(shù)的乘方運算，本題屬于基礎題型．21．（2021秋?富縣期中）若xm＝y(tǒng)，則記為（x，y）＝m，例如32＝9，則（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，直接寫出（2，8）＝，（3，81）＝．（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．思路引領：（1）根據(jù)新定義和有理數(shù)的乘方即可得出答案；（2）根據(jù)新定義和有理數(shù)的乘方求出a，b的值，再求（b，a）的值即可．解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3；∵（?13）4∴（?13，故答案為：3，4；（2）∵a＝42＝16，b3＝8，∴b＝2，∴（b，a）＝（2，16），∵24＝16，∴（b，a）＝4．解題秘籍：本題考查了有理數(shù)的乘方，新定義問題，掌握an表示n個a相乘是解題的關鍵．22．（2021秋?萊蕪區(qū)期中）已知有理數(shù)ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求ab．思路引領：根據(jù)絕對值、有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的加法法則、有理數(shù)的乘方解決此題．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵ab＜0，∴a與b異號．又∵a+b＞0，∴當a＞0，則b＜0，|a|＞|b|；當a＜0，則b＞0，|a|＜|b|．∴當a＝2，此時b不存在；當a＝﹣2，則b＝3．∴ab＝（﹣2）3＝﹣8．解題秘籍：本題主要考查絕對值、有理數(shù)的乘法、