山東省濱州市2025-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題

山東省濱州市2025-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：90分鐘?總分：150分?年級/班級：高三〔1〕班一、選擇題〔每題5分，共20分〕要求：從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確答案。1.設(shè)函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，假設(shè)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，那么以下條件中正確的選項(xiàng)是〔〕A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>02.假設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=3，S5=55，那么數(shù)列{an}的公差d為〔〕A.2B.3C.4D.53.知曉函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，假設(shè)f'(x)=0，那么f(x)的極值點(diǎn)為〔〕A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-24.在等差數(shù)列{an}中，假設(shè)a1=1，d=2，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為〔〕A.an=2n-1B.an=2n+1C.an=n^2D.an=n^35.知曉數(shù)列{an}滿足an=3an-1-4an-2，且a1=2，a2=4，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為〔〕A.an=3^n-1B.an=2*3^nC.an=3^n+1D.an=2*3^n-16.知曉函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，那么以下條件中正確的選項(xiàng)是〔〕A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>0二、填空題〔每題5分，共20分〕要求：將正確答案填入空格中。1.假設(shè)函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，那么a、b、c、d之間的關(guān)系為__________。2.知曉等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)a1=3，d=2，那么S10=__________。3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2+2x+1，假設(shè)f'(x)=0，那么f(x)的極值點(diǎn)為__________。4.在等差數(shù)列{an}中，假設(shè)a1=1，d=2，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________。5.知曉數(shù)列{an}滿足an=3an-1-4an-2，且a1=2，a2=4，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________。6.知曉函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，那么以下條件中正確的選項(xiàng)是__________。三、解答題〔每題15分，共30分〕要求：解答以下各題。7.知曉函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。8.知曉等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)a1=5，d=3，求Sn的表達(dá)式。四、證明題〔每題15分，共30分〕要求：證明以下各題。9.證明：假設(shè)函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，那么a>0。10.證明：假設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，d=2，那么Sn=2n^2+n。五、計(jì)算題〔每題15分，共30分〕要求：準(zhǔn)確計(jì)算以下各題。11.計(jì)算定積分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$。12.計(jì)算極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$。六、應(yīng)用題〔每題15分，共30分〕要求：運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題。13.一輛汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛，剎車后每秒減速2公里/小時(shí)，求汽車從開始剎車到停止所需的時(shí)間。14.某商品的原價(jià)為100元，經(jīng)過兩次折扣，第一次折扣率為20%，第二次折扣率為15%，求該商品最終的實(shí)際售價(jià)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，那么導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b必須恒大于0，由于x^2的系數(shù)a為正，故a>0。由于在區(qū)間[-1,1]上導(dǎo)數(shù)恒大于0，所以b的取值不影響單調(diào)性，但為了保證f(x)在整個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，需要b<0，以保證在x=0時(shí)導(dǎo)數(shù)不為0，且c的取值不影響單調(diào)性。2.C解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，知曉a1=3，S5=55，代入公式得55=5(3+a5)/2，解得a5=7，由于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3和a5=7，得d=2。3.A解析：求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1。由于二次導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，在x=1時(shí)，f''(x)>0，所以x=1是極小值點(diǎn)；在x=-1時(shí)，f''(-1)<0，所以x=-1是極大值點(diǎn)。4.A解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=1和d=2，得an=2n-1。5.C解析：根據(jù)遞推關(guān)系an=3an-1-4an-2，使用特征方程法解遞推關(guān)系。特征方程為r^2-3r+4=0，解得r=2和r=2。因此通項(xiàng)公式為an=c1*2^n+c2*2^n，代入a1=2和a2=4，解得c1=2，c2=0，所以an=3^n+1。6.D解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2。在區(qū)間[0,2]上，當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減。二、填空題1.a>0，b≤0，c為任意實(shí)數(shù)。解析：函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，需要保證導(dǎo)數(shù)恒大于0，即2ax+b>0，由于a>0，所以b必須小于等于0，而c的取值不影響單調(diào)性。2.100解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3和d=2，得S10=10(3+2*9)/2=100。3.x=1解析：求導(dǎo)得f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，得x=-1，這是極值點(diǎn)。4.an=2n-1解析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=1和d=2，得an=2n-1。5.an=3^n+1解析：根據(jù)遞推關(guān)系an=3an-1-4an-2，使用特征方程法解遞推關(guān)系，得到通項(xiàng)公式an=3^n+1。6.a<0，b<0，c>0。解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2。在區(qū)間[0,2]上，當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減。三、解答題7.解析：求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得x=1和x=3。由于二次導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-12，在x=1時(shí)，f''(x)<0，所以x=1是極大值點(diǎn)；在x=3時(shí)，f''(3)>0，所以x=3是極小值點(diǎn)。計(jì)算f(1)=4和f(3)=-10，得到極大值為4，極小值為-10。8.解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=5和d=3，得Sn=n(5+(5+3(n-1)))/2=3n^2+2n。四、證明題9.解析：由f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，求導(dǎo)得f'(x)=3ax^2+2bx+c。由于f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，f'(x)必須恒大于0。由于x^2的系數(shù)a為正，故a>0。10.解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1和d=2，得Sn=n(1+2n-1)/2=2n^2+n。五、計(jì)算題11.解析：直接計(jì)算定積分，得$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx=[x^4-x^3+2x^2]_0^1=1-1+2=2$。12.解析：由于$\lim_{x\to\infty}\sinx$不等于0，且$\lim_{x\to\infty}x=\infty$，根據(jù)極限的性質(zhì)，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。六、應(yīng)用題13.解析：汽車減速至停止的時(shí)間為t秒，那么速度v(t)=60-2t。當(dāng)v(t)=0時(shí)，得60-2t=0，解得t=30秒。汽車從開始剎車到停止所需的時(shí)間為30秒。14.解析：第一次折扣后的價(jià)格為100*0.8=80元，第二次折扣后的價(jià)格為80*0.85=68元，所以該商品最終的實(shí)際售價(jià)為68元。本次試卷答案如下：四、證明題9.解析：知曉函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，即f'(x)=3ax^2+2bx+c恒大于0。因?yàn)閤^2的系數(shù)a為正，所以當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)=c必須大于0?？紤]f'(x)的二次項(xiàng)，由于a>0，所以3ax^2在[-1,1]上恒大于0。因此，要使f'(x)恒大于0，線性項(xiàng)2bx也必須小于等于0〔否那么在x=0時(shí)，f'(x)將小于0〕。因此，a>0，b≤0，c為任意實(shí)數(shù)。10.解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1和d=2，得Sn=n(1+2n-1)/2=2n^2+n。這可以通過數(shù)學(xué)歸納法證明。首先，當(dāng)n=1時(shí)，S1=1=2*1^2+1，命題成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即Sk=2k^2+k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+a(k+1)=2k^2+k+2(k+1)=2(k+1)^2+(k+1)，命題對n=k+1也成立。由歸納法，命題對所有正整數(shù)n成立。五、計(jì)算題11.解析：計(jì)算定積分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$，首先找到不定積分的原函數(shù)：$\int(2x^3-3x^2+4x)\,dx=\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2+C$。然后計(jì)算定積分的值：$\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2\right]_0^1=\left(\frac{1}{2}-1+2\right)-(0-0+0)=\frac{3}{2}$。12.解析：計(jì)算極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$，由于$\sinx$的值在-1和1之間波動，而x趨于無窮大，根據(jù)夾逼定理，$\frac{\sinx}{x}$的值將趨于0。因此，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。六、應(yīng)用題13.