高中數(shù)學北師大版講義(必修二)第33講6.4.1直線與平面平行(3知識點+7題型+強化訓練)(學生版+解析)

6.4.1直線與平面平行課程標準學習目標1、能夠用圖形、文字等方式闡述平面與平面平行的概念。2、能夠通過觀察、實驗等方式發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的特點。3、能夠利用直線與平面平行的性質解決問題1、掌握什么是平面與平面平行。2、掌握什么是直線與平面平行。3、理解直線與平面平行的充分必要條件。知識點01空間直線與平面的位置關系位置關系公共點符號語言圖形語言直線在平面內(nèi)無數(shù)個公共點a?α.直線在平面外直線與平面相交一個公共點a∩α＝A直線與平面平行沒有公共點a∥α【即學即練1】（多選）（23-24高一下·重慶·期中）下列說法不正確的是（

）A．若直線a?面α，直線b?面α，則直線α，直線b無公共點B．若直線l∥面α，則直線l與面αC．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺知識點02直線與平面平行的判定定理文字語言：如果不在平面內(nèi)的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．符號語言：a?α，b?α，a∥b?a∥α.圖形語言：【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD(1)AD∥平面PBC；(2)CE∥平面PAB.知識點03直線與平面平行的性質定理文字語言：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．符號語言：符號語言：l∥α，l?β，β∩α＝m?l∥m.圖形語言：【即學即練3】（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在幾何體ABCDFE中，四邊形ABCD為直角梯形，DC=2AB,GC=2FG，平面ABEF∩平面CDEF=EF(1)證明：AF//平面BDG(2)證明：AB//EF【題型一：線面平行概念辨析】例1.（2024·全國·三模）已知α，β是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若m?α，α∩β=l，則“m∥l”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1-1.（23-24高一下·天津南開·期中）下列命題中正確的個數(shù)為（

）①如果直線a//b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；②如果直線a,b和平面α滿足a//α,b//α，那么a//b；③如果直線a,b和平面α滿足a//b,a//α,b?α，那么b//α.A．0 B．1 C．2 D．3

變式1-2.（23-24高二下·上?！るA段練習）設a,b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結論：（1）若a//b且b?α，則a//α；（2）若a//α且b?α，則a//b；（3）若a//b且a//α，則b//α；（4）若a//α且b//α，則a//b，其中不正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2個 C．3個 D．4個變式1-3.(多選)（2024高一下·全國·專題練習）已知a，b是不同的直線，α是平面，下列命題錯誤的是（

）A．a(chǎn)//b，b?α?a//α B．a(chǎn)//αC．a(chǎn)//α，a//b?b//α D．a(chǎn)?α【方法技巧與總結】判斷或證明線面平行的常用方法1、定義法：證明直線與平面無公共點（不易操作）.2、判定定理法：a?α，b?α，allb→allα3、排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi).【題型二：中位線法判斷線面平行】例2．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，在四面體D?ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，求證：

(1)BD∥平面EFG；(2)AC∥平面EFG．變式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F(xiàn)為PA的中點，PD=2，AB=AD=12CD=1，四邊形

變式2-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是菱形，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．求證：EF//平面PAD變式2-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在三棱臺DEF?ABC中，AC=2DF，G,H分別為AC,BC的中點．求證：BD//平面FGH.

【題型三：平行四邊形法判斷線面平行】例3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D,D1,F分別是BC，B變式3-1．（20-21高一下·全國·單元測試）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N

變式3-2．（22-23高一下·全國·單元測試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，A1M=1

變式3-3．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，

【題型四：線面平行的性質定理】例4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面

變式4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，E是棱PC上一點，底面ABCD是正方形，平面ABE與棱PD交于點F，平面PCD與平面PAB交于直線l.求證：l∥EF.變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AB=2,∠BAD=60°，對角線AC,BD交于點O,PO⊥平面ABCD，平面α是過直線AB的一個平面，與棱PC,PD交于點E,F，且PE=14PC

變式4-3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．(1)求證：PB//平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：GH//PB．【方法技巧與總結】1.性質定理中的三個條件，a∥α，a?β，α?β=b，缺一不可.2.定理揭示了當a∥α時，在一個平面內(nèi)作直線a的平行線的方法，即過a作一平面與已知平面相交，交線b一定與a∥α平行。【題型五：動點探索問題】例5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐A?BCDE中，N是BC的中點，四邊形BCDE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．試探究在線段AE上是否存在點M，使得MN//平面ACD？若存在，請確定M

變式5-1．（19-20高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，點M在側棱PC上且PM=tPC.若PA//平面

變式5-2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖所示的一塊正四棱錐P?ABCD木料，側棱長和底面邊長均為13，M為側棱PA上的點．(1)若PM:MA=1:1，要經(jīng)過點M和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線?（請寫出必要作圖說明）(2)若PM:MA=5:8，在線段BD上是否存在一點N，使直線MN∥平面PBC?如果不存在，請說明理由，如果存在，求出BN:ND變式5-3．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD//BC，AB⊥BC，設平面PAB∩平面PCD＝l.(1)作出l（寫出作法，并保留作圖痕跡）；(2)線段PB上是否存在一點E，使l//平面ADE？請說明理由.【題型六：線面平行的應用】例6.（23-24高一下·江蘇南京·期中）在空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD上的點，且AE:EB=AF:FD=1:3，H,G分別為BC,CD的中點，則（

）A．BD//平面EFGH且EFGH為矩形 B．EF//平面BCD且EFGH為梯形C．HG//平面ABD且EFGH為菱形 D．HE//平面ADC且EFGH為平行四邊形變式6-1.（23-24高一下·福建龍巖·階段練習）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN//平面ABC的是（

）A． B． C． D．變式6-2.（2023·全國·模擬預測）已知三棱柱ABC?A1B①直線BC1∥平面A1DC③直線A1D∥平面B其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式6-3.（22-23高一下·浙江溫州·期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足AB//平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【題型七：線面平行性質的應用】例7.（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在空間四邊形ABCD中、點E、H分別是邊AB、AD上的點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，EH∥FG，EH≠FG，則下列關于直線EF，A．EF與GH互相平行；B．EF與GH是異面直線；C．EF與GH相交，其交點在直線BD上；D．EF與GH相交，且交點在直線AC上．變式7-1.（2023高三·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段

A．22 B．22 C．2變式7-2.（20-21高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AF

A．1 B．2 C．12 D．變式7-3.（22-23高一下·遼寧錦州·階段練習）已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在棱PC上，且滿足PA//平面MQB，則PMA．14 B．13 C．12一、單選題1．（2023·廣西·模擬預測）在三棱錐D?ABC中，M,N分別是△ACD、△BCD的重心，以下與直線MN平行的是（

）A．直線CD B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD2．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期末）過四棱錐P?ABCD任意兩條棱的中點作直線，其中與平面PBD平行的直線有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，平面α//平面β，直線AB//平面α，過點A的直線m分別交α,β于點C,E，過點B的直線n分別交α,β于點D,F．若AC=3,CE=5,BF=9，則

A．234 B．6 C．4584．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直線a、b和平面α、β，則下列說法正確的是（

）A．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥βD．若a∥α，a∥β，α∩β=b，則a∥b5．（22-23高一下·河南洛陽·期中）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面α，使SB//α，設α與SM交于點N，則A．13 B．12 C．236．（22-23高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示，棱柱ABC?A1B1C1的側面BCC1B

A．13 B．12 C．27．（21-22高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

8．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，AC=3，BC=5，AA1=6，D為CC1中點，E為BB1上一點，BA．2 B．3 C．2 D．1二、多選題9．（21-22高一下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD?A

A．有水的部分始終呈棱柱狀 B．水面四邊形EFGH的面積為定值C．棱A1D1始終與水面EFGH平行 D．若E∈AA110．（22-23高一下·河南鄭州·階段練習）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB//平面MNP的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

11．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）圖，在正方體ABCD?A1B1C

A．AF//平面A1DE B．C．A1，D，E，H四點共面 D．A1，D，E，三、填空題12．（23-24高二上·上?！て谀┤鐖D所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，設M,N分別是線段DA1、13．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點，且AD＝3AE，BC＝3BF，設P，Q分別為線段AF，CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能成立的是．（填序號）①直線AB∥直線CD；②直線PQ∥直線ED；③直線PQ∥平面ADE.14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐S?ABCD的所有棱長都等于2，E為線段SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為.四、解答題15．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點.(1)證明：MN//平面PAD；(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論.16．（23-24高一下·江蘇南通·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)判斷平面D1PC與平面(2)如圖2，求證：DB1//17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點．(1)求證：BE∥平面ADP；(2)求異面直線PA與CB所成的角的大?。?8．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在三棱柱ABC?A(1)若D是AC中點，求證：AB1//(2)若M為BC的中點，直線AB1//平面C19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，正方體ABCD?A'B'C'D'的棱長為

(1)若λ=12，證明：EG//(2)連接BD，點M在線段BD上，且滿足D'M//平面EFG.當λ∈6.4.1直線與平面平行課程標準學習目標1、能夠用圖形、文字等方式闡述平面與平面平行的概念。2、能夠通過觀察、實驗等方式發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的特點。3、能夠利用直線與平面平行的性質解決問題1、掌握什么是平面與平面平行。2、掌握什么是直線與平面平行。3、理解直線與平面平行的充分必要條件。知識點01空間直線與平面的位置關系位置關系公共點符號語言圖形語言直線在平面內(nèi)無數(shù)個公共點a?α.直線在平面外直線與平面相交一個公共點a∩α＝A直線與平面平行沒有公共點a∥α【即學即練1】（多選）（23-24高一下·重慶·期中）下列說法不正確的是（

）A．若直線a?面α，直線b?面α，則直線α，直線b無公共點B．若直線l∥面α，則直線l與面αC．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺【答案】ACD【分析】作出圖形可判斷A；l與平面α沒有公共點，可判斷B；作出圖形可判斷C；由棱臺的側棱交于一點的幾何特征，可判斷D.【詳解】對于A：如圖，a?α，b?α，a與b可能相交，故A錯誤；

對于B：直線l∥α，所以l與平面α沒有公共點，所以l與平面α內(nèi)的直線平行或異面，故B正確；對于C：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，如圖所示，符合題意，但幾何體不是棱柱，故C錯誤；

一個平行于棱錐的底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，所以棱臺各側棱的延長線交于一點，其余各面都是梯形的幾何體側棱可能不交于一點，故D錯誤.故選：ACD.知識點02直線與平面平行的判定定理文字語言：如果不在平面內(nèi)的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．符號語言：a?α，b?α，a∥b?a∥α.圖形語言：【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD(1)AD∥平面PBC；(2)CE∥平面PAB.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面平行的性質證明AD∥（2）取PA的中點F，證明四邊形BCEF為平行四邊形，即可得CE∥【詳解】（1）證明：因為BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以AD∥又BC?平面PBC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.（2）取PA的中點F，連接EF,BF，E是PD的中點．得EF∥AD，且由（1）知AD∥BC且BC=1所以EF∥BC且所以四邊形BCEF為平行四邊形，則CE∥又BF?平面PAB，CE?平面PAB，所以CE∥平面PAB知識點03直線與平面平行的性質定理文字語言：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．符號語言：符號語言：l∥α，l?β，β∩α＝m?l∥m.圖形語言：【即學即練3】（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在幾何體ABCDFE中，四邊形ABCD為直角梯形，DC=2AB,GC=2FG，平面ABEF∩平面CDEF=EF(1)證明：AF//平面BDG(2)證明：AB//EF【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線段對應成比例可得CGGF=CO（2）先有線面平行的判定定理證明AB//平面CDEF，再由線面平行的性質定理得到AB【詳解】（1）連接AC交BD于O，連接OG．因為四邊形ABCD為直角梯形，DC=2AB，所以AOOC又因為GC=2FG,GFCG=因為OG?面BDG,AF?面BDG，所以AF//平面BDG.（2）因為四邊形ABCD為直角梯形，所以AB//CD．因為CD?面CDEF,AB?面CDEF，所以AB//平面CDEF．因為AB?面ABEF，面CDEF∩面ABEF=EF．所以AB//EF．【題型一：線面平行概念辨析】例1.（2024·全國·三模）已知α，β是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若m?α，α∩β=l，則“m∥l”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與平面平行的判定定理和性質定理，結合充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】若m?α，α∩β=l，m∥l，且m?β，所以直線與平面平行的判定定理知若m?α，α∩β=l，m∥β，所以直線與平面平行的性質定理知所以“m∥l”是“故選：C.變式1-1.（23-24高一下·天津南開·期中）下列命題中正確的個數(shù)為（

）①如果直線a//b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；②如果直線a,b和平面α滿足a//α,b//α，那么a//b；③如果直線a,b和平面α滿足a//b,a//α,b?α，那么b//α.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，結合線面位置的判定定理、性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于①中，如果直線a//b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面或a在此平面內(nèi)，所以①錯誤；對于②中，如果直線a,b和平面α滿足a//α,b//α，在a與b平行、相交或異面，所以②錯誤；對于③中，過直線a作平面β，交平面α于直線c，根據(jù)線面平行的性質，可得a//c，因為a//b，可得b//c，又因為b?α，所以b//α，所以③正確.故選：B.

變式1-2.（23-24高二下·上?！るA段練習）設a,b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結論：（1）若a//b且b?α，則a//α；（2）若a//α且b?α，則a//b；（3）若a//b且a//α，則b//α；（4）若a//α且b//α，則a//b，其中不正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)直線與直線平行、直線與平面平行的性質分別判斷命題真假即可得解.【詳解】若a//b且b?α，則a//α或a?α，故命題錯誤；若a//α且b?α，則a//b或a,b為異面直線，故命題錯誤；若a//b且a//α，則b//α或b?α，故命題錯誤；若a//α且b//α，則a//b或a,b相交或異面，故命題錯誤.故選：D.變式1-3.(多選)（2024高一下·全國·專題練習）已知a，b是不同的直線，α是平面，下列命題錯誤的是（

）A．a(chǎn)//b，b?α?a//α B．a(chǎn)//αC．a(chǎn)//α，a//b?b//α D．a(chǎn)?α【答案】ABC【分析】考查點線面位置關系，根據(jù)點線面位置關系類型和種類以及線面平行判定定理進行討論分析即可.【詳解】對于A，因為b?α，α內(nèi)有無數(shù)條直線與b平行，故a//b還可能是a?α，故A錯誤；對于B，a//α，所以a與α沒有公共點，又b?α，所以a與b沒有公共點，所以a與b的位置可平行可異面，故B錯誤；對于C，因為a//α,a//b，所以b//α或b在對于D，由線面平行的判定定理知D正確．故選：ABC．【方法技巧與總結】判斷或證明線面平行的常用方法1、定義法：證明直線與平面無公共點（不易操作）.2、判定定理法：a?α，b?α，allb→allα3、排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi).【題型二：中位線法判斷線面平行】例2．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，在四面體D?ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，求證：

(1)BD∥平面EFG；(2)AC∥平面EFG．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】利用線面平行的判定定理證明.【詳解】（1）證明：因為F，G分別是BC，CD的中點，所以BD//FG，又BD?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，所以BD//平面EFG；（2）因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以AC//EF，又AC?平面EFG，EF?平面EFG，所以AC//平面EFG；變式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F(xiàn)為PA的中點，PD=2，AB=AD=12CD=1，四邊形

【答案】證明見解析【分析】可先由中位線證明兩線平行，再證明線面平行.【詳解】令PC交DE于O,連接OF,

∵四邊形PDCE為矩形，∴O為PC中點，又∵F為PA的中點，∴AC//FO，又AC?平面DEF，F(xiàn)O?平面DEF.∴AC//平面DEF，變式2-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是菱形，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．求證：EF//平面PAD【答案】證明見解析【分析】先證明四邊形AEFG是平行四邊形，可得EF∥AG，再由線面平行的判定定理求解即可.【詳解】取PD中點G，連接AG,FG，因為F,G分別是PC,PD的中點，、所以FG∥CD,FG=1又因為底面ABCD是菱形，E是AB的中點，所以AE∥CD,AE=1所以FG∥AE,FG=AE，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，又EF?平面PAD，AG?平面PAD，所以EF//平面PAD變式2-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在三棱臺DEF?ABC中，AC=2DF，G,H分別為AC,BC的中點．求證：BD//平面FGH.

【答案】證明見解析【分析】連接DG，CD,證明四邊形DFCG為平行四邊形，得O為CD的中點，利用三角形中位線定理可得OH//BD,即可證得.【詳解】證明：如圖，連接DG，CD，

設CD∩GF=O，連接OH.在三棱臺DEF?ABC中，AC=2DF，G為AC中點，可得DF//GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形．所以O為CD的中點．又H為BC的中點，所以OH//BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD//平面FGH.【題型三：平行四邊形法判斷線面平行】例3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D,D1,F分別是BC，B【答案】證明見解析【分析】取A1D1的中點G，連接FG，DG【詳解】取A1D1的中點G，連接FG根據(jù)題意可得FG//B1D1，且FG=12由三棱柱得性質知BD//B1D1，所以則四邊形DGEF是平行四邊形，所以EF//DG，因為EF?面ADD1A1，所以EF//面ADD變式3-1．（20-21高一下·全國·單元測試）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的傳遞性以及相似可得平行四邊形，即可由線面平行的判定求證.【詳解】證明：分別過M、N作BB1、BC則MP//A1∴MP//NQ∵BMBA1=MPA1∵CN=BM，∴四邊形MPQN是平行四邊形.∴MN//PQ.∵MN?平面BB1C∴MN//平面BB

變式3-2．（22-23高一下·全國·單元測試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，A1M=1

【答案】證明見解析【分析】過點N作CC1的平行線交B1C于點P，連接AP，證得NP=AM且NP//AM，得到四邊形【詳解】如圖所示，過點N作CC1的平行線交B1C于點因為A1M=13AA1，C1N=又因為NP//CC1，AM//CC所以四邊形AMNP為平行四邊形，所以MN//AP，因為MN?平面AB1C，AP?平面AB1

變式3-3．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，

【答案】證明見解析【分析】連接B1C，ME，首先證明四邊形A1B1【詳解】連接B1∵M，E分別是BB∴ME//B1C∵N為A1D的中點，∴∵A1B所以A1∴四邊形A1∴B1C//A∴四邊形MNDE是平行四邊形，∴MN//ED，又MN?平面C1DE，∴MN//平面C1

【題型四：線面平行的性質定理】例4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面

【答案】證明見解析【分析】先證明BB1//【詳解】因為在三棱柱ABC?A1B且BB1?平面AA1∴BB1//又∵BB1?平面B1BD∴BB變式4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，E是棱PC上一點，底面ABCD是正方形，平面ABE與棱PD交于點F，平面PCD與平面PAB交于直線l.求證：l∥EF.【答案】證明見解析【詳解】證明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD.又AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD.又A，B，E，F(xiàn)四點共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴AB∥EF.∵平面PAB與平面PCD交于直線l，∴AB∥l，∴l(xiāng)∥EF.【考查意圖】以四棱錐為模型，考查利用線面平行的性質定理證明線線平行．變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AB=2,∠BAD=60°，對角線AC,BD交于點O,PO⊥平面ABCD，平面α是過直線AB的一個平面，與棱PC,PD交于點E,F，且PE=14PC

【答案】證明見解析【分析】利用線面平行的判定定理，得到CD//平面α，再利用線面平行的性質，即可證明結果.【詳解】證明：四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AB//CD，又AB?平面α，CD?平面α，則CD//平面α，又平面α∩平面PCD=EF，CD?平面PCD，所以EF//CD.變式4-3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．(1)求證：PB//平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：GH//PB．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接BD交AC于O，連接EO，利用中位線證明EO//PB，然后根據(jù)線面平行的判定定理完成證明；（2）根據(jù)線面平行的性質定理完成證明.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接EO，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O為BD中點，又因為E為PD中點，所以EO是△PBD的中位線，所以EO//PB，又因為EO?平面EAC，PB?平面EAC，所以PB//平面EAC.（2）因為PB//平面EAC，平面EAC∩平面PBM=GH，PB?平面PBM，所以GH//PB.【方法技巧與總結】1.性質定理中的三個條件，a∥α，a?β，α?β=b，缺一不可.2.定理揭示了當a∥α時，在一個平面內(nèi)作直線a的平行線的方法，即過a作一平面與已知平面相交，交線b一定與a∥α平行?！绢}型五：動點探索問題】例5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐A?BCDE中，N是BC的中點，四邊形BCDE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．試探究在線段AE上是否存在點M，使得MN//平面ACD？若存在，請確定M

【答案】存在，M為AE的中點，證明見解析【分析】當M為AE的中點時，取AD得中點G，連接CG，GM，MN，先利用中位線及平行四邊形的性質得出GC//【詳解】在線段AE上存在點M，且M為AE的中點，使得MN//平面ACD證明如下：

取AD得中點G，連接CG，GM，MN.因為M為AE的中點，所以GM//DE，且GM=1因為N為BC的中點，且四邊形BCDE為平行四邊形，所以CN//DE，且CN=1所以GM//CN，且GM=CN，所以四邊形CNMG為平行四邊形.所以GC//MN.因為GC?平面ACD，MN?平面ACD，所以MN//平面ACD.變式5-1．（19-20高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，點M在側棱PC上且PM=tPC.若PA//平面

【答案】1【分析】連接BD,AC,AC交BQ于點N，交BD于點O，連接MN，首先設菱形ABCD的邊長為a，表示出AN,AC，然后由線面平行的性質、截平行線段成比例即可求解.【詳解】如圖，連接BD,AC,AC交BQ于點N，交BD于點O，連接MN，易知O為BD的中點．

因為BQ,AO分別為正三角形ABD的邊AD,BD上的中線，所以N為正三角形ABD的中心．設菱形ABCD的邊長為a，則AN=23AO=因為PA//平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA//MN.所以PMPC即PM=13PC，所以實數(shù)t變式5-2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖所示的一塊正四棱錐P?ABCD木料，側棱長和底面邊長均為13，M為側棱PA上的點．(1)若PM:MA=1:1，要經(jīng)過點M和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線?（請寫出必要作圖說明）(2)若PM:MA=5:8，在線段BD上是否存在一點N，使直線MN∥平面PBC?如果不存在，請說明理由，如果存在，求出BN:ND【答案】(1)答案見解析(2)存在，BN:ND=5:8，7【分析】（1）作MG∥AD，連接MB,GC，利用平行公理可得（2）連接AN并延長交BC于E，連接PE，利用線面平行的性質定理推出MN∥PE，結合線段成比例，即可推出結論；利用余弦定理求出【詳解】（1）因為PM:MA=1:1，所以M為PA的中點，作MG∥AD，交PD于G，則G為PD的中點，連接則GM∥AD，由題意知四邊形ABCD為平行四邊形，則故GM∥BC，即故要經(jīng)過點M和棱BC將木料鋸開，在木料表面沿線段BM,MG,GC畫線即可；（2）存在，BN:ND=5:8，說明如下：假設在線段BD上存在一點N，使直線MN∥平面PBC連接AN并延長交BC于E，連接PE，因為MN∥平面PBC，MN?平面PAE，平面PAE∩平面ABC=PE故MN∥PE，則由題意知四邊形ABCD為正方形，故BC∥則ENNA故在線段BD上存在一點N，使直線MN∥平面PBC，此時BN由于BC∥AD，AD=13，故BEAD△PBE中，∠PBE=60°=13即PE=918，而MN∥故MNPE=MA變式5-3．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD//BC，AB⊥BC，設平面PAB∩平面PCD＝l.(1)作出l（寫出作法，并保留作圖痕跡）；(2)線段PB上是否存在一點E，使l//平面ADE？請說明理由.【答案】(1)作法：延長BA，CD，相交于點Q，連接PQ，則直線PQ就是所求的直線l，作圖痕跡見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）延長BA,CD相交于點Q，連接PQ，，即可得到所求直線;（2）根據(jù)線線平行，證明線面平行，從而得到結論.【詳解】（1）作法：延長BA,CD相交于點Q，連接PQ，則直線PQ就是所求的直線l，圖形如下：（2）當點E是線段PB的中點時，可使l/平面ADE由（1）知A為BQ中點，又E是PB的中點，∴AE//l，又AE?平面ADE，l?平面ADE，∴l(xiāng)/平面ADE故當點E是線段PB的中點時，可使l/平面ADE【題型六：線面平行的應用】例6.（23-24高一下·江蘇南京·期中）在空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD上的點，且AE:EB=AF:FD=1:3，H,G分別為BC,CD的中點，則（

）A．BD//平面EFGH且EFGH為矩形 B．EF//平面BCD且EFGH為梯形C．HG//平面ABD且EFGH為菱形 D．HE//平面ADC且EFGH為平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)平行線等分線段定理、線面平行的判定定理、三角形中位線定理，結合矩形、梯形、菱形、平行四邊形的定義進行判斷即可.【詳解】在平面ABD內(nèi)，∵AE:EB=AF:FD=1:3，∴EF//BD．又BD?平面BCD,EF?平面BCD，∴EF//平面BCD．又在平面BCD內(nèi)，∵H,G分別是BC,CD的中點，∴HG//BD.∴HG//EF．又EFBD∴EF≠HG．在四邊形EFGH中，EF//HG且EF≠HG，∴四邊形EFGH為梯形．故選：B．變式6-1.（23-24高一下·福建龍巖·階段練習）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN//平面ABC的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于A，根據(jù)MN//AC結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于B,根據(jù)MN//BE結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于C，根據(jù)MN//BD，結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于D，根據(jù)四邊形AMNB是等腰梯形，AB與MN所在的直線相交，即可判斷.【詳解】對于A,如下圖所示，易得AC//EF,MN//EF,則MN//AC，又MN?平面ABC,AC?平面ABC,則MN//平面ABC，故A滿足；對于B，如下圖所示，E為所在棱的中點，連接EA,EC,EB,易得AE=BC,AE//BC,則四邊形ABCE為平行四邊形，A,B,C,E四點共面，又易知MN//BE，又MN?平面ABC,BE?平面ABC,則MN//平面ABC，故B滿足；對于C,如下圖所示，點D為所在棱的中點，連接DA,DC,DB,易得四邊形ABCD為平行四邊形，A,B,C,D四點共面，且MN//BD,又MN?平面ABC,BD?平面ABC,則MN//平面ABC，故C滿足；對于D，連接AM,BN,由條件及正方體的性質可知四邊形AMNB是等腰梯形，所以AB與MN所在的直線相交，故不能推出MN與平面ABC不平行，故D不滿足，故選：D.變式6-2.（2023·全國·模擬預測）已知三棱柱ABC?A1B①直線BC1∥平面A1DC③直線A1D∥平面B其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，由線面平行的判定定理，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于①：如圖1，連接AC1，交AC1于點F，連接DF，則點F是AC1的中點，又D是AB的中點，所以DF∥BC1，因為DF?平面對于②：如圖2，取BC的中點F，連接DF，C1F，因為D是AB的中點，所以DF∥AC，且DF=12AC，又EC1=12A1C1=12AC，EC對于③：如圖3，取BC的中點F，連接DF，因為D是AB的中點，所以DF∥AC，且DF=12AC，又A1E=12A1C1=12AC對于④：如圖4，連接AC1，交EC于點F，連接DF，則平面ABC1∩平面CDE=DF，若直線BC1故選：B.變式6-3.（22-23高一下·浙江溫州·期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足AB//平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由AB與平面MNP相交，判斷A；由AB∥EM，結合E不在平面【詳解】對于A：連接MB,NC，由圖可知，AB與平面MNP相交，故不滿足AB//平面MNP，故A錯誤；

對于B：如圖所示，G,H,F,E分別是所在棱的中點，連接NH,NG,GF,FM,EM則平面MNP和平面NGFMPH為同一平面，因為AB∥因為EM與平面NGFMPH相交，所以不滿足AB//平面MNP，故B錯誤；

對于C：連接AD，交MN與點O，連接PO，因為O，P分別為AD,BD中點，所以PO//AB，由線面平行的判定定理可知，AB//平面

對于D：D,F,E分別是所在棱的中點，連接DN,NF,FM,ME,PE,DP，AC，平面DNFMEP與平面MNP為同一平面，取AC的中點為O，連接MO，由中位線定理可知，AB∥因為MO與平面MNP相交，所以不滿足AB//平面MNP，故D錯誤；

故選：C【題型七：線面平行性質的應用】例7.（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在空間四邊形ABCD中、點E、H分別是邊AB、AD上的點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，EH∥FG，EH≠FG，則下列關于直線EF，A．EF與GH互相平行；B．EF與GH是異面直線；C．EF與GH相交，其交點在直線BD上；D．EF與GH相交，且交點在直線AC上．【答案】D【分析】推導出四邊形EFGH是梯形，從而判斷AB，推導出EH//平面BCD，F(xiàn)G//平面ABD，再由平面BCD∩平面ABD=BD，得EH∥BD∥GF，從而BD//平面EFGH，判斷C；推導出GH與AC相交，EF與AC相交，AC與平面EFGH相交，且只有一個交點，判斷D.【詳解】因為EH∥FG，所以四邊形EFGH是梯形，所以EF與GH共面，且不平行，AB錯誤；則EF與GH相交，對于C，因為EH?平面ABD，EH?平面BCD，F(xiàn)G?平面BCD，F(xiàn)G?平面ABD，所以EH//平面BCD，F(xiàn)G//平面ABD，又平面BCD∩平面ABD=BD，所以EH∥BD∥GF，因為EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD//平面EFGH，故C錯；對于D，若GH與AC平行，GH?平面EFGH，AC?平面EFGH，則AC∥GH，又AC?平面ACB，且平面ACB∩平面EFGH=EF，則AC∥EF，所以GH∥EF，與四邊形EFGH是梯形矛盾，所以GH與AC不平行，又GH,AC?平面ACD，所以GH與AC相交，EF與AC不平行，EF,AC?平面ABC，所以EF與AC相交，綜上，AC與平面EFGH相交，且只有一個交點，所以EF與GH相交，且交點在直線AC上，D正確.故選：D變式7-1.（2023高三·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段

A．22 B．22 C．2【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質定理得出結果.【詳解】正方體ABCD?A1B1C1D

∴BF//平面ACE，平面BEF∩平面ACE=OE，BF?平面BEF∴BF//又EF//BO，∴則EF=BO=2故選：B.變式7-2.（20-21高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AF

A．1 B．2 C．12 D．【答案】C【分析】連接CD，交PE于點G，連接FG，由線面平行性質證明AD∥【詳解】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為AD∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，所以AD因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是△PBC的重心，所以AFFC故選：C.變式7-3.（22-23高一下·遼寧錦州·階段練習）已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在棱PC上，且滿足PA//平面MQB，則PMA．14 B．13 C．12【答案】C【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，由線面平行的性質定理可得PA//【詳解】如下圖，四棱錐P?ABCD中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，而點Q是AD中點，于是得點N是△ABD重心，從而得AN=2因PA//平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN因此得PA//MN，于是得PMPC故選：C.

一、單選題1．（2023·廣西·模擬預測）在三棱錐D?ABC中，M,N分別是△ACD、△BCD的重心，以下與直線MN平行的是（

）A．直線CD B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD【答案】B【分析】取CD中點為E，由M，N分別是△ACD和△BCD的重心，證得MN//AB，結合CD不平行AB，可判定A錯誤；利用線面平行的判定定理，證得MN//平面ABD，可判定B正確；結合M∈平面ACD，M?平面BCD和N∈平面BCD，N?平面ACD，可判定C、D錯誤．【詳解】如圖所示，取CD中點為E，連結AE、BE，由M，N分別是△ACD和△BCD的重心，可得AMME=2則EMEA=13，ENEB又由CD不平行AB，故A錯誤；由MN//AB，且MN?平面ABD，AB?平面ABD，所以MN//平面ABD，所以B正確；因為M∈平面ACD，N?平面ACD，所以MN與平面ACD不平行，所以C錯誤；因為N∈平面BCD，M?平面BCD，所以MN與平面BCD不平行，所以D錯誤．故選：B．2．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期末）過四棱錐P?ABCD任意兩條棱的中點作直線，其中與平面PBD平行的直線有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定定理分析求解.【詳解】如圖，設E,F,G,H,I,J,M,N為相應棱的中點，則NE//PB，且NE?平面PBD，PB?平面PBD，所以NE//平面PBD，同理可得：HE,NH,GF,MF,MG與平面PBD平行，由圖可知：其他的任意兩條棱的中點的連線與平面PBD相交或在平面PBD內(nèi)，所以與平面PBD平行的直線有6條.故選：C.

3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，平面α//平面β，直線AB//平面α，過點A的直線m分別交α,β于點C,E，過點B的直線n分別交α,β于點D,F．若AC=3,CE=5,BF=9，則

A．234 B．6 C．458【答案】C【分析】由線面平行得線線平行，再由平行線分割線段成比例可得ACCE【詳解】①當直線m，n共面時，因為平面α//平面β，直線AB//平面α，面ABCD∩α=CD，面ABEF∩β=EF，所以AB//CD//EF，根據(jù)平行線分割線段成比例可得ACCE又BD+DF=9，解得DF=45②當m,n為異面直線時，連接AF，如圖

由①證明可知，AB//GD,CG//EF，所以ACCE又BD+DF=9，解得DF=45故選：C.4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直線a、b和平面α、β，則下列說法正確的是（

）A．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥βD．若a∥α，a∥β，α∩β=b，則a∥b【答案】D【分析】A.利用平面與平面的位置關系判斷；B.利用直線與直線的位置關系判斷；C.利用平面與平面的位置關系判斷；D.過a作δ，有δ∩α=c，過a作γ，有γ∩β=d，利用線面平行的判定定理和性質定理判斷.【詳解】A.若a∥α，b∥α，a?β，b?β，α∥β或α，B.若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b或a，C.若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥β或α，D.如圖所示：過a作δ，有δ∩α=c，過a作γ，有γ∩β=d，因為a∥α，所以a//c，因為a∥β，所以a//d，所以c//d，因為c?β，d?β，所以c//β，又α∩β=b，所以c//b，則a∥b，故正確；故選：D5．（22-23高一下·河南洛陽·期中）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面α，使SB//α，設α與SM交于點N，則A．13 B．12 C．23【答案】C【分析】連接MB交AC于點D，連接ND,NA,NC，根據(jù)線面平行得性質證明SB∥DN，再根據(jù)MC//AB可得【詳解】連接MB交AC于點D，連接ND,NA,NC，則平面NAC即為平面α，因為SB//α，平面SMB∩α=DN，SB?平面所以SB//因為AB為底面圓的直徑，點M，C將弧AB三等分，所以∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30°，MC=BC=1所以MC//AB且所以DMDB又SB//DN，所以所以SNSM故選：C.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)線面平行得性質及平行線分線段成比例定理得到MNSN6．（22-23高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示，棱柱ABC?A1B1C1的側面BCC1B

A．13 B．12 C．2【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質將A1B∥平面【詳解】

連接BC1交B1C于因為A1B∥平面B1CD，平面所以A1B∥OD,又因為O是所以D是A1C故選：B.7．（21-22高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用線面平行的判定方法逐個分析判斷即可．【詳解】對于A，如圖，連接A1B1

因為N，Q分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得NQ//A1所以NQ//AB，因為AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，所以AB//平面MNQ對于B，如圖連接A1

因為M，Q分別為A1C1，B1因為AB//A1B因為AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB//平面MNQ對于C，如圖，連接A1B1

因為M，Q分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得MQ//A1所以MQ//AB，因為AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB//平面MNQ對于D，如圖取底面中心O，連接OQ，

由于Q為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得OQ//AB，因為OQ與平面MNQ相交，所以AB與平面MNQ相交，故選：D．8．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，AC=3，BC=5，AA1=6，D為CC1中點，E為BB1上一點，BA．2 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】在CD上取點M1，使得M1D=2,M1C=1，在AC上取點M2，使得M2A=2,M2C=1，則【詳解】由題意知，BE=2,CD=3，在CD上取點M1，使得M則M1D//BE且M1故BM1//DE，又BM1?平面所以BM1//在AC上取點M2，使得M有M1CM1D又M1M2?平面ADE，所以M1M2//平面ADE，又所以平面BM1M2//平面在△CM1M得M1即點M的軌跡長度為3.故選：B二、多選題9．（21-22高一下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD?A

A．有水的部分始終呈棱柱狀 B．水面四邊形EFGH的面積為定值C．棱A1D1始終與水面EFGH平行 D．若E∈AA1【答案】ACD【分析】從棱柱的特征平面可判斷A；由水面四邊形EFGH的面積是改變的可判斷B；由A1D1//AD//CB//EH【詳解】根據(jù)面面平行性質定理，可得BC固定時，在傾斜的過程中，始終有AD//且平面AEFB//因為BC⊥平面CDD1C1，GH?平面且FG//BC，則FG⊥GH，即EFGH為矩形，又因為水面EFGH所在四邊形的面積，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，邊長FG不變，而另外一條長隨著傾斜程度變化而變化，所以EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯誤；因為A1D1//AD所以A1若E∈AA1，F(xiàn)∈BB1，由于水的形狀成棱柱ABFE?DCGH，且水的體積是定值，高又在矩形ABB1A1中，四邊形ABFE的面積為AE+BF?AB故選：ACD．10．（22-23高一下·河南鄭州·階段練習）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB//平面MNP的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.利用線面平行的判定定理判斷；C.由平面NMP即為平面BNPM判斷；D.利用線面平行的判定定理判斷.【詳解】A.在正方體中，易得AC//MN，又AC?平面MNP，MN?平面MNP，所以AC//平面MNP，同理可證BC//平面MNP，又因為AC∩BC=C且都在面ACB內(nèi)，所以平面ACB//平面MNP，又因為AB?平面ACB，所以AB//平面MNP，故正確；B.如圖所示：

易得AB//NO，又AB?平面NCD，ON?平面NCD，所以AB//平面NCD，又平面NCD與平面NMP相交，所以直線AB與平面NMP不平行，故錯誤；C.因為BM//NP，所以平面NMP即為平面BNPM，顯然直線AB與平面BNPM相交，故錯誤；D.如圖所示：

易得AB//CD,CD//NP，所以AB//NP，又AB?平面MNP，NP?平面MNP，所以AB//平面MNP，故正確，故選：AD11．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）圖，在正方體ABCD?A1B1C

A．AF//平面A1DE B．C．A1，D，E，H四點共面 D．A1，D，E，【答案】AC【分析】取A1D的中點M，連接AM，EF，ME，利用線面平行的判定定理可判斷A，取D1C1的中點N，連接NG，延長DE與D1C1交與點P，連接A1P，可得A1N//【詳解】

如上圖，取A1D的中點M，連接AM，EF，ME，因為EF//BC1，EF=12因為AF?平面A1DE，ME?平面A1DE，所以

如上圖，取D1C1的中點N，連接NG，延長DE與D1C因為A1A//NG，因為A1∈平面A1DP，N?平面A1所以AG與平面A1如下圖，連接EH，則EH//B1C，A1

若A1，D，E，C1四點共面，則故選：AC.三、填空題12．（23-24高二上·上?！て谀┤鐖D所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，設M,N分別是線段DA1、【答案】2【分析】作出輔助線，得到要使MN//平面CC1D1D，則四邊形MGPN為平行四邊形，故NP=MG【詳解】過點M,N分別作MG//A1D1交DD1于點G，連接PG，要想MN//平面CC1D1D設D1G=m∈0,1，則P由勾股定理得MN=PG=D其中m2當且僅當m=1故MN≥2故答案為：213．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點，且AD＝3AE，BC＝3BF，設P，Q分別為線段AF，CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能成立的是．（填序號）①直線AB∥直線CD；②直線PQ∥直線ED；③直線PQ∥平面ADE.【答案】②【詳解】解析：翻折之后如圖所示：因為AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故①成立．連接FD，由以上分析知四邊形CDEF為矩形，所以Q為FD的中點．因為P為AF的中點，所以PQ∥AD.因為