六年級(jí)奧數(shù)一至十講教案

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一01比較分?jǐn)?shù)的大小

同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就

不則簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。

對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法

是：

分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；

分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較小-

第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再

比較大小。

由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不i定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。

L“通分子”。

當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比

較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。

如果我們把課本里的通分稱(chēng)為“通分母”，則這里講的方法可以稱(chēng)為“通分子”。

2.化為小數(shù)。

這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。

3.先約分，后比較。

有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。

4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。

5.若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母及分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子及分母的差相等，則分

母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，

6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：

（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若m>k,k>n,則m>n。

（2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若m-k>n-k,則m>n0

前一個(gè)差比較小，所以mVn。

（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若k-mVk-n,則m>n。

注意，（2）及（3）的爰別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n：（3）中借助的數(shù)k大于原來(lái)的

兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和no

（4）把兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一

個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。

利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)及其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新

分?jǐn)?shù)。

比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多,同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)的結(jié).但無(wú)論哪種方法,均來(lái)源于："分母相同,分

子大的分?jǐn)?shù)大：分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基木方法。

練習(xí)1

1.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。?/p>

答案及提示練習(xí)1

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一02巧求分?jǐn)?shù)

我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子及分母同時(shí)加、減某

數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類(lèi)題目變化很多，因此解法

也不盡相同。

數(shù)。

分析：若把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1,這樣就可以用例1求平

均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。

個(gè)分?jǐn)?shù)。

分析及解：因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。

，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

分析及解：如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子及分母調(diào)換位置，問(wèn)題就變?yōu)椋?/p>

這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

于是及例3類(lèi)似，可以求出

在例1?例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，則會(huì)怎樣呢？

例常分?jǐn)?shù)名的分子減去a,分母加上a,則分?jǐn)?shù)約分后變?yōu)槊?，求自?/p>

435數(shù)如

分析及解：分子減去a,分母加上a,（約分前）分子及分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子及分母之和

變?yōu)?+5=8,所以分子、分母約掉

的因子是72+8=9,約分前的分?jǐn)?shù)3是X9念=2匚7。由此求出a是29?27=2或

5X945

45-43=2o

求這個(gè)自然數(shù)。

同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，則差還是45,新分?jǐn)?shù)約分后變

例17一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子及分母之和是23,分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，

把這個(gè)分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是；,求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。

分子及分母的和是1+5=6,是由新分?jǐn)?shù)的分f、分母同時(shí)除以42+6=7得到

分析及解：分子加10.等于分子噌加了10+5=2（倍）,為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)噌加相同的倍數(shù).所以

分母應(yīng)加

8X2=16。

在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是

在例9中,分子應(yīng)加的數(shù)是

由此，我們得到解答例8、例9這類(lèi)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的公式：

分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)X原分?jǐn)?shù)；

分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)+原分?jǐn)?shù)。

分析及解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說(shuō)是這類(lèi)題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解

答。

（2x+2）X3=（x+5）X4,

6x+6=4x+20,

2x=14,

x=7o

練習(xí)2

是多少？

答案及提示練習(xí)2

5.5。解：（53+79）+（4+7）=12,a=53-4X12=5。

6.13。解：（67-22）4-（16-7）=5,7X5-22=13.

解：設(shè)分子為x,根據(jù)分母可列方程

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一03分?jǐn)?shù)運(yùn)算技巧

對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解

答較難的問(wèn)題。

L湊整法

及整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），

使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整卜數(shù)……從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。

2.約分法

3.裂項(xiàng)法

若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例7在自然數(shù)1?100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。

工作效率=工作量；工作時(shí)間.

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可

工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，

也可以是時(shí)、分、秒等。

工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不

寫(xiě)工作效率的單位。

例1單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需

多少天？

分析及解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效

例2某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做

新的工程，則乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？

分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤谊?duì)先干18天，后面的二作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題

就簡(jiǎn)單多了。

答：甲隊(duì)干了12天。

例3單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)筋10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走

了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？

分析及解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工

作了

例4一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，則完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅

多做60個(gè)零件。這批零件共有.多少個(gè)？

分析及解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，

例5?水池裝有?個(gè)放水管和?個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿池水排完。如

果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1時(shí)后又打開(kāi)排水管，則再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？

例6甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東

西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？

分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但姑既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。

甲出發(fā)5分鐘后返向，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一

件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的

解法來(lái)解答。

答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。

練習(xí)5

1.某工程甲單獨(dú)干10天完成.乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？

2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天.乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了5天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)及乙隊(duì)一

起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。

3.一條水渠.甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工.現(xiàn)在合挖12天后.剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完.這條水渠由甲

隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？

則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹(shù)共有多少棵？

5.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。

這段公路長(zhǎng)多少米？

6.蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水笆，單開(kāi)甲管需18時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，則甲、

乙兩管至少要合開(kāi)多長(zhǎng)時(shí)間？

7.兩列火車(chē)從甲、乙兩地相向而行，慢車(chē)從甲地到乙地需8時(shí)，比快車(chē)從

乙地到甲地多用:的時(shí)間。如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，那么相遇時(shí)快車(chē)比慢車(chē)多行

40千米。求甲、乙兩地的距離。

答案及提示練習(xí)5

2.14天。

3.120天。

4.350棵。

5.6000米。

6.8時(shí)。

提示：甲管12時(shí)都開(kāi)著，乙甘開(kāi)

7.280千米。

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一06工程問(wèn)題二

上一講我們講述的也已知工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。在較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，工作效率往往隱藏在題目條件里,

這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方法，問(wèn)題也不難解決。

例1一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，則乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，則乙接著做8天可完成。如果甲、

乙合做，則多少天可以完成？

分析及解：本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：

從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等.即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可

用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24:天）

甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為

例2一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后

么還要幾天才能完成？

分析及解：題中沒(méi)有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作

們把“乙先做7天,甲再做4天”的過(guò)程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天.乙再單獨(dú)

做3天”，這樣，就可以把合作的工作效率2用上了。

0

例3單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙.?人合

做2天后，剩卜的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，則剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問(wèn)：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析及解：乙單獨(dú)做要超過(guò)3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說(shuō)明甲做2天等于乙做3天，即完

之倍。

成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的2°

,乙需要10+5=15（天）°甲、乙合作需要

例4放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開(kāi)1,2,3號(hào)閥門(mén)，則20分鐘可以完成：若同時(shí)打開(kāi)2,3,4號(hào)閥門(mén)，則21

分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)1,3,4號(hào)閥門(mén)，則28分鐘可以完成：若同時(shí)打開(kāi)1,2,4號(hào)閥門(mén)，則30分鐘可以完成。問(wèn)：

如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3,4號(hào)閥門(mén),則多少分鐘可以完成?

分析及解：同時(shí)打開(kāi)1，2,3號(hào)閥門(mén)1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)2,3,4號(hào)閥門(mén)1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1,3,4號(hào)閥門(mén)1

分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1,2,4號(hào)閥門(mén)1分鐘，這時(shí)，1,2,3,4號(hào)閥門(mén)各打開(kāi)了3分鐘，放水量等于一

例5某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干,

需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，則工程由哪個(gè)隊(duì)最后完

成？

分析及解：及例4類(lèi)似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是

1117

（-+-+-）-2=-,四個(gè)小隊(duì)各干了6天即24天后，還剩下工程量的

o1UID4o

71

l.-X6=-o又因?yàn)橐?、二、三小?duì)合干需8天，即一、二、三小隊(duì)各干

488

1天完成工程量的上所以工程由三小隊(duì)最后完成。

O

例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作

的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流

件工作，要用多少天才能完成？

分析及解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱(chēng)為一輪。在一輪中，無(wú)論誰(shuí)先誰(shuí)后，完成的總工作量都相同。所以三種

順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見(jiàn)下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見(jiàn)下圖虛線右邊）。

由最后一輪完成的工作量相同，得到

練習(xí)6

L甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成

任務(wù)的:1時(shí)乙加工了45個(gè)零件，甲完成g9時(shí)乙完成了一半。問(wèn)：這批零件共

有多少個(gè)？

需的時(shí)間相等。問(wèn)：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？

3.加工一批零件,王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成.王師傅先做2時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成.現(xiàn)在王師

傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？

獨(dú)修各需幾天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)注水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10,12,15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)

打開(kāi)，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問(wèn)：甲管在何時(shí)被關(guān)閉？

6.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需9時(shí)，乙需12時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙、……的順序輪流工作，每次1時(shí)，則完

成這項(xiàng)工作需耍多長(zhǎng)時(shí)間？

7.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，則恰好用整天數(shù)完成；如

果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，則比上次輪流的做法多用半天完工。問(wèn)：甲單獨(dú)干需要幾天？

答案及提示練習(xí)6

L360個(gè)。

2.甲18天，乙12天。

時(shí)。

解：由下頁(yè)圖知，王干2時(shí)筆于李干3時(shí)，所以單獨(dú)干李需12+6+2X3=21（時(shí)），王需21:3X2=14（時(shí)）。所

求為

5.上午9時(shí)。

6.10時(shí)15分。

天。

解.：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，則不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見(jiàn)左下圖）。

甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲

現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時(shí)，完成的天數(shù)?定是奇數(shù)，于是得到右卜.圖，其中虛線左邊的工作量相同，

右邊的工作量也相同，說(shuō)明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做&5天。

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一07巧用單位“1”

在工程問(wèn)題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1”的問(wèn)題，根據(jù)題目條

件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。

分析：因?yàn)榈谝惶?、第二天都是及全?shū)比較，所以應(yīng)以全書(shū)的頁(yè)數(shù)為單位

“1”。如果第一天多看5頁(yè)，那么正好看了全書(shū)的如果第二天少看3頁(yè)，

1乙

那么正好看了全書(shū)的4°此時(shí)應(yīng)當(dāng)剩（206.5+3）頁(yè)，其對(duì)應(yīng)的分率為（1-K

,由此可求出全書(shū)的頁(yè)數(shù)。

答：這本故事書(shū)共有240頁(yè)。

分析及解：木題條件中單位“1”的量在變化，依次是''全書(shū)的頁(yè)數(shù)”、“第一天看后余下的頁(yè)數(shù)”、“第二天看

后余下的頁(yè)數(shù)”，出現(xiàn)了3個(gè)不同的單位“1"o按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位

"1”反而更方便。我們先把全書(shū)看成“1”，

看成“1”.就可以求山第三天看后余下的部分占全書(shū)的

共有多少本圖書(shū)？

分析及解：故事書(shū)增加了，圖書(shū)的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，

1是以原來(lái)的圖書(shū)總數(shù)為單位“1”，:是以后來(lái)的圖書(shū)總數(shù)為單位“1”，

這給計(jì)算帶來(lái)很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“1”的一個(gè)竅門(mén)就是抓“不變量”為單位“1”。

本題中故事書(shū)、圖書(shū)總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書(shū)的本數(shù)沒(méi)有變，可以以

書(shū)占全部圖書(shū)的三9，故事書(shū)相當(dāng)于其它書(shū)的3：+9?=［1（倍）。同樣可得，故

JJJ乙

21

事書(shū)增加后加，相當(dāng)于其它書(shū)的=2（倍）。所以其它書(shū)有

其它書(shū)的本數(shù)為單位“1”。根據(jù)原來(lái)“故事書(shū)占全部圖書(shū)的妹”，可知其它

400^（2-11）=800（本），

圖書(shū)室原來(lái)共有圖書(shū)

分析及解：及例3類(lèi)似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單

位“1”。

例5公路上同向行駛著三輛汽車(chē)，客車(chē)在前，貨車(chē)在中，小轎車(chē)在后。在某一時(shí)刻，貨車(chē)及客車(chē)、小轎車(chē)的距離

相等；走了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨乍：又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)，再過(guò)多少分鐘，貨車(chē)追上客車(chē)？

分析及解：根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車(chē)及客車(chē)、小轎車(chē)的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，

小轎車(chē)追上了貨車(chē)”，可知小轎

車(chē)比貨車(chē)每分鐘多行這段距離的（；由“又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)”，

可知小轎車(chē)（10+5）分鐘比客車(chē)多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的

貨車(chē)比客車(chē)每分鐘多行這段距離的（方%所以貨車(chē)追上客車(chē)還需

91

L（記-m）-15=15（分）。

兩班各有多少人？

乙班有84-48=36（人）°

練習(xí)7

樹(shù)上原有多少個(gè)桃？

剩卜的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？

7.六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本

班人數(shù)的|,二班的女生占本班人數(shù)的求兩班各有多少人。

答案及提示練習(xí)7

L35個(gè)。

2.60個(gè)。

3.64噸。

4.384千克。

6.男生15人，女生21人。

7.一班-15人，二班49人。

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一08比和比例

比的概念是借助于除法的概念建立的。

兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5+6可記作5：6。

比值。

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例（式）°如，3：7=9：21.判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。

兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不能組成比例。

在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果a：b=c：d,則aXd=bXc.

兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如a：b：co連比中的“：”不能用“土”代替，不能把連

比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鋌是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。

例如，

甲：乙=5：6,乙：丙=4:3.

因?yàn)閇6,4]=12,所以

5：6=10：12,4：3=12：9,

得到甲：乙：丙=10：12：9,

例1已知3：（x-l）=7：9,求x。

解：7X（x-l）=3X9,

x-l=3X94-7.

例2六年級(jí)?班的男、女生比例為3：2,又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。

分析及解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為3：2知，如果將人數(shù)分為5份，則男生占3份,

女生占2份。由此求出

女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24：20=6：5。

在例2中，我們用到「按比例分配的方法。

將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，

把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)及總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。

例3配制一種農(nóng)藥.其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1：2：12.現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克.求各種原料

分別需要多少T?克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1：2：12,總份數(shù)是1+2+12=15,

答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180,360和2160千克。

在按比例分配的問(wèn)題中，也足以先求出每份的量，再求出各個(gè)分母。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15,每份的量是

27。0+15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用1X0千克分別乘以1,2,12,就可以求出各個(gè)分量。

例4師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅

比徒弟多加工多少個(gè)等件？

分析及解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅及徒弟的工作效率

有多少學(xué)生？

按比例分配得到

例6某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車(chē)輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車(chē)30元，小客車(chē)15元，小轎車(chē)10元。某口通過(guò)該收費(fèi)站

的大客車(chē)和小客車(chē)數(shù)量之比是5：6,小客車(chē)及小轎車(chē)之比是4：11,收取小矯車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多210元。求這天這三種

車(chē)輛通過(guò)的數(shù)量。

分析及解：大客車(chē)、小轎車(chē)通過(guò)的數(shù)量都是及小客車(chē)相比，如果能將5：6中的6及4：11中的4統(tǒng)一成[4,6]=12,

就可以得到大客車(chē)：小客車(chē)：小轎車(chē)的連比。

由5：6=10：12和4：11=12：33,得到

大客車(chē)：小客車(chē)：小轎車(chē)=10：12：33。

以10輛大客車(chē)、12輛小客車(chē)、33輛小轎車(chē)為?組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多10X33-30X10=30

（元），所以這天通過(guò)的車(chē)輛共有210+30=7（組）。這天通過(guò)

大客車(chē)=10X7=70（輛）,

小客車(chē)=12X7=84（輛）,

小轎車(chē)=33X7=231（輛）。

練習(xí)8

1.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比走5：3,周長(zhǎng)姑96米，求這塊地的面積。

2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)及寬的比是4：3,寬及高的比是5：4,體積是450分米二問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？

3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買(mǎi)了這把小刀，則小明及小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是3：6；如果小強(qiáng)買(mǎi)了這把小刀，則小

明及小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是9：11。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢(qián)？

5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到

多少只貝殼？

6.一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是1：2：3,某人走各段路程所用的時(shí)

間之比是3：4：5。已知他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？

7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3：2,分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10：8：7。如果

甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3：1,乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5：3,則丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？

答案及提示練習(xí)8

1.540米2。

2.長(zhǎng)100厘米，寬75厘米，高60厘米。

解：長(zhǎng)：寬：高=20：15：12.

4500004-（20X15X12）=125=5"。

長(zhǎng)=20X5=100（厘米），寬=15X5=75（厘米），

高=12X5=60（厘米）。

3.86元。

解：設(shè)小明有x元錢(qián)。根據(jù)小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)可列方程

36+50=86（元）o

4.2640元。

5.甲50只，乙40只，丙48只。

解：甲：乙：丙=25：20：24.138+（25+20+24）=2,

甲=2X25=50（只），乙=2X20=40（只），

丙=2X24=48（只）。

6.12時(shí)。

7.5：9

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一09百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。

（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

（2）表示一個(gè)數(shù)（比較數(shù)）是另一個(gè)數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示

兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。

百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“％”來(lái)表示，叫做百分號(hào)。

在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：

比較數(shù)+標(biāo)準(zhǔn)數(shù)-分率（百分?jǐn)?shù)），

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X分率=比較數(shù)，

比較數(shù)。分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。

根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多及百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。

例1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80%,一車(chē)間的男工占全廠男工的25%。問(wèn)：一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的百分之

幾？

分析及解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80%”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80%=20%。

又因?yàn)椤耙卉?chē)間的男工占全廠男工的25%”,所以一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的20%X25%=5%。

例2學(xué)校去年春季植樹(shù)500棵，成活率為85%,去年秋季植樹(shù)的成活率為90%。已知去年春季比秋季多死了20

棵樹(shù)，則去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？

分析及解：去年春季種的樹(shù)活了500X85%=425（棵），死了500-425=75（棵）.去年秋季種的樹(shù),死了75-20=55

（棵），活了554-（1-90%）X90%=495（棵）°所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。

例3一次考試共有5道試題。做對(duì)第1,2,3,4,5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85%,95%,90%,75%,

80%,如果做對(duì)三道或三道以上為及格，則這次考試的及格率至少是多少？

分析及解；因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為1OM

由此得到做錯(cuò)第1題的有.100X（1-85%）=15（人）：

同理可得，做錯(cuò)第2,3,4,5題的分別有5,10,25,20人。

總共做錯(cuò)15+5+10+25+20=75（題）。

一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由75+3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說(shuō)至少有75人及格，

及格率至少是75%。

例4育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25%,五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10%,六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多

10%o如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，則三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？

分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級(jí)是三年級(jí)的125%,五年級(jí)是三年級(jí)的125%X（1-1。％）,六年級(jí)

是三年級(jí)的125%X（1-10%）X（1+10%）o因?yàn)橐阎昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。

解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程：

xX125%X（1-10%）X（1+10%）=x+38,

xX125%X90%X110%=x+38,

1.2375x=x+38,

0.2375x=38,

x=160,

三年級(jí)有160名學(xué)生。

四年級(jí)有學(xué)生160X125%=200（名）。

五年級(jí)有學(xué)生200X（1-10%）=180（名）。

六年級(jí)有學(xué)生160+38=198（名）。

160+200+180+198=738（名）°

答：三至六年級(jí)共有學(xué)生738名。

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類(lèi)叫溶液配比問(wèn)題我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖

水用溶液。如果水的量不變，則輻加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）及糖水（溶液=糖+水）

二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就。L糖水的含糖量或糖含量。類(lèi)似地，酒精溶于水中，純酒精及酒精溶液二者重量的比值

就川酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：

溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，

溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量+溶液重量，

溶液重量=溶質(zhì)重量子溶質(zhì)含量，

溶質(zhì)重量=溶液重量X溶質(zhì)含量。

溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶

例5有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖？

分析及解；在600克含糖量為7%的縮水中，有糖（溶庾）600X79GF2（克）。

設(shè)再加x克糖，可使其含糖呈加大到10%。此時(shí)溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90%的種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80%?，F(xiàn)在這批水果的總重

量是多少千克？

分析及解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開(kāi)始，果重

100X（1-90%）=10（千克）。

一星期后含水量變?yōu)?0%,“果”及“水”的比值為

因?yàn)椤肮笔冀K是10千克，可求出此時(shí)“水”的重量為

所以總重量是10+40=50（千克）。

練習(xí)9

L某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長(zhǎng)的20%。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？

2.服裝廠一車(chē)間人物占全廠的25%.二軍間人數(shù)比一至間少20%,二車(chē)間人數(shù)比二車(chē)間多30%c已知三車(chē)間有156

人，全廠有多少人？

3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80%,第三塊地的面積比第二塊多20%,三塊地共69公頃，求三塊地

各多少公頃。

4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90%,86%,92%,94%。問(wèn)：全年全勤的人至少占百分之幾？

5.有酒精含量為30%的酒精溶液若干，加了?定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24%的溶液，如果再加入同樣多的

水，則酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?/p>

6.配制硫酸含量為20%的硫陵溶液1000克，需要用硫酸含量為18%和23%的硫酸溶液名多少克？

7.行一堆含水量14.5%的煤，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10%,現(xiàn)在這堆煤的重量是原來(lái)的百分之幾？

答案及提示練習(xí)9

1.20天。

解：5-r20%~5=20（天）。

2.600人。解：1564-[(1-20%)X(1+30%)]+25%=600(人)。

3.第一、一、三塊依次為25,20和24公斯.解：第一塊地的面枳為69+[1+80%+80%乂（1+20%）：=25（公頃）,

第二塊地為25X80%=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。

4.62%o解：設(shè)全廠有100人，則四個(gè)季度沒(méi)有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個(gè)季度沒(méi)有全勤的人互

不相同時(shí)，全年沒(méi)有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62%。

5.20%。

解：設(shè)酒精含量為30%的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24%的酒精溶液需加水30?24%

-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?/p>

30：（100<-25+25）=20%,

6.600克,400克。

提示：設(shè)需要18%的溶液x克，則需要23%的溶液（100-x）克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得

xX18%+（1000-x）X23%=1000X20%。解得x=600?

7.95%。

解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則山含

現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來(lái)的95%。

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一10商業(yè)中的數(shù)學(xué)

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買(mǎi)東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價(jià)，但是這個(gè)價(jià)格是怎

樣定的？這就涉及到商品的成木、利澗等聽(tīng)起來(lái)有些陌生的名詞。

這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在商業(yè)中的應(yīng)用。

利潤(rùn)=售出價(jià)-成本，

例如,一件商品進(jìn)貨價(jià)是80元,侑出價(jià)是100元,則這件商品的利潤(rùn)是100-80=20（元）,利潤(rùn)率是

在這里我們用“進(jìn)貨價(jià)”代替了“成本”，實(shí)際上成本除了進(jìn)貨價(jià)，還包括運(yùn)輸費(fèi)、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)、損耗等，為簡(jiǎn)便，有

時(shí)就忽略不計(jì)了。

例1某商品按每個(gè)7元的利洵賣(mài)出13個(gè)的錢(qián)，及按每個(gè)11元的利澗賣(mài)出12個(gè)的錢(qián)一樣多。這種庚品的進(jìn)貨價(jià)是

每個(gè)多少元？

解：設(shè)進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)x元。由“售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)+利潤(rùn)”，根據(jù)前、后兩次賣(mài)出的錢(qián)相等，可列方程

（x+7）X13=（x+11）X12,

13x+91=12+132

x=41o

答：進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)41元。

例2租用倉(cāng)庫(kù)堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計(jì)劃要銷(xiāo)借3個(gè)月，由于降低了價(jià)格，結(jié)果2個(gè)月就

銷(xiāo)售完了，由于節(jié)省了租倉(cāng)庫(kù)的租金，所以結(jié)算下來(lái)，反而比原計(jì)劃多賺了1000元。問(wèn)：每千克貨物的價(jià)格降低了多少元？

分析及解：原計(jì)劃租倉(cāng)庫(kù)3個(gè)月，現(xiàn)只租用了2個(gè)月，節(jié)約了1個(gè)月的租金7000元。如果不降低價(jià)格，則應(yīng)比原

計(jì)劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元,說(shuō)明降價(jià)損失是7000-1000=6000（元）。

因?yàn)楣灿?噸,即3000千克版物,所以每千克貨物降低了600033000=2（元）。

例3張先牛.向商店訂購(gòu)了每件定價(jià)100元的某種商品80件。張先生對(duì)商店經(jīng)理說(shuō)：“如果你肯減價(jià)，則每減價(jià)1

元，我就多訂購(gòu)4件。”商店經(jīng)理算了一下，若減價(jià)5%,則由于張先生多訂購(gòu)，獲得的利潤(rùn)反而比原來(lái)多100元。問(wèn)：這

種商品的成本是多少元？

分析及解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價(jià)5%就是每件減100X5%=5（元），張先生可多買(mǎi)4X5=20（件）。由

獲得利潤(rùn)的情況，可列方程

（100-x）X80+100=（100-5-x）X（80+20）,

800080xU00=9500100x,

20x=1400,

x=70,

這種商品的成本是70元。

由例2、例3看出，商品降價(jià)后，由于增加了銷(xiāo)售量，所以獲得的利潤(rùn)有時(shí)反而比原來(lái)多。

例4某商店到蘋(píng)果產(chǎn)地去收購(gòu)蘋(píng)果，收購(gòu)價(jià)為每T克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400「?米，運(yùn)鋤為每噸貨物

每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷(xiāo)令過(guò)程中的損耗是10%,商店要想實(shí)現(xiàn)25%的利潤(rùn)率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？

分析及解：本題的成本包括收購(gòu)價(jià)、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購(gòu)價(jià)加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.50