2009年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷（教師版）

頁2009年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷（教師版）一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．（3分）如果向東走80m記為+80m，那么向西走60m記為（）A．﹣60m B．|﹣60|m C．﹣（﹣60）m D．m【微點】正數(shù)和負數(shù)．【思路】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【解析】解：“正”和“負”相對，所以，如果向東走80m記為“+80m”，那么向西走60m記為“﹣60m”．故選：A．【點撥】解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．2．（3分）點P（﹣2，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（）A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【微點】關(guān)于原點對稱的點的坐標．【思路】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即：求關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標系的圖形記憶．【解析】解：∵點P（﹣2，1）關(guān)于原點對稱，∴點P（﹣2，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（2，﹣1）．故選：C．【點撥】這一類題目是需要識記的基礎(chǔ)題，記憶時要結(jié)合平面直角坐標系．3．（3分）如圖中的正五棱柱的左視圖應為（）A． B． C． D．【微點】簡單幾何體的三視圖．【思路】左視圖是從物體左面看所得到的圖形．【解析】解：從正五棱柱左面看，是2個矩形，上面的小一點，故選B．【點撥】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體左面看所得到的圖形，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤地選其它選項．4．（3分）2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴發(fā)并在全球蔓延，我們應通過注意個人衛(wèi)生加強防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒細胞的直徑約為0.00000156m，用科學記數(shù)法表示這個數(shù)是（）A．0.156×10﹣5 B．0.156×105 C．1.56×10﹣6 D．1.56×106【微點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【思路】科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，當原數(shù)為較大數(shù)時，n為整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)為較小數(shù)（大于0小于1的小數(shù)）時，n為第一個非0數(shù)字前面所有0的個數(shù)的相反數(shù)，為整數(shù)．即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的n次冪．【解析】解：0.00000156＝1.56×10﹣6．故選：C．【點撥】本題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當原數(shù)為較大數(shù)時，n為整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)為較小數(shù)（大于0小于1的小數(shù)）時，n為第一個非0數(shù)字前面所有0的個數(shù)的相反數(shù)．5．（3分）一個鋼管放在V形架內(nèi)，如圖是其截面圖，O為鋼管的圓心．如果鋼管的半徑為25cm，∠MPN＝60°，則OP＝（）A．50cm B．25cm C．cm D．50cm【微點】含30度角的直角三角形；切線的性質(zhì)．【思路】鋼管放在V形架內(nèi)，則鋼管所在的圓與V形架的兩邊相切，根據(jù)切線的性質(zhì)可知△OMP是直角三角形，且∠OPM＝∠OPN＝30°，根據(jù)三角函數(shù)就可求出OP的長．【解析】解：∵圓與V形架的兩邊相切，∴△OMP是直角三角形中∠OPN∠MPN＝30°，∴OP＝2ON＝50CM．故選：A．【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是將此問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決．6．（3分）在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的14名運動員成績?nèi)缦卤硭荆簞t這些運動員成績的中位數(shù)是（）成績/m1.501.611.661.701.751.78人數(shù)232151A．1.66 B．1.67 C．1.68 D．1.75【微點】中位數(shù)．【思路】先求出14名運動員成績的總和，再除以14即可．【解析】解：根據(jù)圖表可知題目中數(shù)據(jù)共有14個，故中位數(shù)是按從小到大排列后第7，第8兩個數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（1.66+1.70）＝1.68．故選：C．【點撥】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力．要明確定義，一些學生往往對這個圖表分析的不準確，沒有考慮到共有14個數(shù)據(jù)而不是6個而錯解．注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求．如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．7．（3分）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，把剪下的這個角展開，若得到一個銳角為60°的菱形，則剪口與折痕所成的角α的度數(shù)應為（）A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°【微點】菱形的性質(zhì)；剪紙問題．【思路】如圖：折痕為AC與BD，∠ABC＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分對角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°．所以剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30°或60°．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD∠ABC，∠BAC∠BAD，AD∥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．∴剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30°或60°．故選：D．【點撥】此題主要考查菱形的判定以及折疊問題，有助于提高學生的動手及立體思維能力．8．（3分）小明在解關(guān)于x、y的二元一次方程組時得到了正確結(jié)果后來發(fā)現(xiàn)“?”、“⊕”處被墨水污損了，請你幫他找出“?”、“⊕”處的值分別是（）A．?＝1，⊕＝1 B．?＝2，⊕＝1 C．?＝1，⊕＝2 D．?＝2，⊕＝2【微點】解二元一次方程組．【思路】把x，y的值代入原方程組，可得關(guān)于“?”、“⊕”的二元一次方程組，解方程組即可．【解析】解：將代入方程組，兩方程相加，得x＝⊕＝1；將x＝⊕＝1代入方程x+?y＝3中，得1+?＝3，?＝2．故選：B．【點撥】要求學生掌握二元一次方程組常見解法，如加減消元法．9．（3分）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【微點】二次根式的性質(zhì)與化簡．【思路】如果實數(shù)n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整數(shù)，而最小的正整數(shù)是1，則等于1，從而得出結(jié)果．【解析】解：當?shù)扔谧钚〉恼麛?shù)1時，n取最大值，則n＝11．故選B．【點撥】此題的關(guān)鍵是分析當?shù)扔谧钚〉恼麛?shù)1時，n取最大值．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的中心在原點，頂點A，C在反比例函數(shù)y的圖象上，AB∥y軸，AD∥x軸，若ABCD的面積為8，則k＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【微點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．【思路】根據(jù)圖形的對稱性，設點A的坐標，可以表示出點C的坐標，進一步表示矩形的長和寬；再根據(jù)矩形的面積求得mn的值，進一步求得k的值．【解析】解：設點A的坐標是（﹣m，n），則點C的坐標一定是（m，﹣n），則AB＝2n，AD＝2m；若ABCD的面積為8，即2n?2m＝8，則mn＝2；又點（﹣m，n）在函數(shù)y的圖象上，則k＝﹣mn＝﹣2．故選：A．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．注意：過反比例函數(shù)y的圖象上任意一點，作以原點為中心的矩形ABCD，相對的頂點一定在雙曲線的另一個分支上，矩形的面積等于4|k|．當k＞0時，面積是4k；當k＜0時，面積是﹣4k．反之，矩形面積是S時，當圖象在一，三象限是k；當圖象在二，四象限時，k．11．（3分）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB：AD＝4：3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE：AC＝（）A．1：3 B．3：8 C．8：27 D．7：25【微點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【思路】根據(jù)題意可得四邊形ACED是等腰梯形，即求上底與下底的比值，作高求解．【解析】解：從D，E處向AC作高DF，EH，垂足分別為F、H．設AB＝4k，AD＝3k，則AC＝5k．由△AEC的面積4k×3k5k×EH，得EHk；根據(jù)勾股定理得CHk．所以DE＝5kk×2．所以DE：AC＝7：25．故選：D．【點撥】本題的關(guān)鍵是利用折疊的特點及三角形面積的計算，求得EH，CH的長，從而求得DE的長，然后求比值．12．（3分）如圖，△ABC是直角邊長為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【微點】等腰直角三角形；直角梯形；扇形面積的計算．【思路】利用等弦所對的弧相等，先把陰影部分變化成一個直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求陰影部分的面積．【解析】解：連接O1O2，設圓O2的半徑為x．∵O1O22﹣AO12＝AO22，∴（x）2﹣（）2＝（a﹣x）2，解得：xa．設⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．∴CE＝PExa，BCAB，CDABa，∴S陰影＝S△ADC﹣S△CEP＝CD?AD?CE?PE?aaa2．故選：D．【點撥】本題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過一定的平移后，陰影部分的面積為直角梯形PEDA的面積．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）計算：（2a2）2＝4a4．【微點】冪的乘方與積的乘方．【思路】根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，計算即可．【解析】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．【點撥】主要考查積的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，直線a∥b，l與a、b交于E、F點，PF平分∠EFD交a于P點，若∠1＝70°，則∠2＝35度．【微點】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【思路】利用兩直線平行同位角相等、角平分線的性質(zhì)及三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系計算．【解析】解：∵a∥b，∴∠1＝∠EFD．又∵PF平分∠EFD，∴∠EFPEFD∠1．∵∠1是△EFP的外角，∴∠1＝∠2+∠EFP，即∠2＝∠1﹣∠EFP＝∠1∠1∠170°＝35°．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)；解答此題的關(guān)鍵是要利用兩直線平行同位角相等即∠1＝∠EFD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系解答．15．（4分）小明想利用小區(qū)附近的樓房來測同一水平線上一棵樹的高度．如圖，他在同一水平線上選擇了一點A，使A與樹頂E，樓房頂點D也恰好在一條直線上．小明測得A處的仰角為∠A＝30度．已知樓房高CD＝21米，且與樹BE之間的距離BC＝30米，則此樹的高度約為3.7米．（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，1.732）【微點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【思路】利用CD及相應的三角函數(shù)表示出AC長，減去BC即為AB，進而利用30°的正切函數(shù)求BE長．【解析】解：根據(jù)題意可得：AC21，∴AB＝AC﹣BC＝2130．∴樹高BE＝AB×tan30°＝（2130）×tan30°≈3.7（米）．【點撥】命題立意：考查利用解直角三角形知識解決實際問題的能力．16．（4分）一天晚上，小偉幫媽媽清洗茶杯，三個茶杯只有花色不同，其中一個無蓋（如圖），突然停電了，小偉只好把杯蓋與茶杯隨機地搭配在一起，則花色完全搭配正確的概率是．【微點】概率公式．【思路】列舉出所有情況，看花色完全搭配正確的情況占所有情況的多少即為所求的概率．【解析】解：因為三個茶杯只有花色不同，兩個蓋杯隨機地搭配在一起，共3×2＝6種結(jié)果，所以其概率是．法二：解：總共有6種搭配結(jié)果，依次是：第一種：杯1蓋1；杯2蓋2；杯3；第二種：杯1蓋1；杯2；杯3蓋2；第三種：杯1蓋2；杯2蓋1；杯3；第四種：杯1蓋2；杯2；杯3蓋1；第五種：杯1；杯2蓋1；杯3蓋2；第六種：第五種：杯1；杯2蓋2；杯3蓋1；共6種搭配方式，只有第一種符合完全滿足顏色正確搭配，故概率為．【點撥】本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）．17．（4分）將正整數(shù)依次按下表規(guī)律排成四列，則根據(jù)表中的排列規(guī)律，數(shù)2009應排的位置是第670行第3列．第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110…【微點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【思路】每行有3列，奇數(shù)開始的從左邊開始排列，偶數(shù)開始的從右邊開始排列．每行的最后都是3的倍數(shù)．那么2009÷3＝669…2，說明2007排在669行的最后，2008應從670行第4列開始，那么2009應在第670行第3列．【解析】解：∵2009÷3＝669…2，∴2007排在669行的最后，2008應從670行第4列開始，∴2009應在第670行第3列．【點撥】解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．關(guān)鍵為：每行有3列，奇數(shù)開始的從左邊開始排列，偶數(shù)開始的從右邊開始排列，每行的最后都是3的倍數(shù)．18．（4分）如圖是由若干個邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，請在圖中作出將“蘑菇”ABCDE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°再向右平移2個單位的圖形（其中C、D為所在小正方形邊的中點）答案如下圖．【微點】作圖﹣平移變換；作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換．【思路】本題主要是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫圖．即對應點旋轉(zhuǎn)的角度相行，線段相等，然后再平移2個單元格即可【解析】解：【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換作圖，做這類題的關(guān)鍵是掌握平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)三、解答題（共7小題，滿分60分）19．（8分）（1）計算：（﹣1）2009+3（tan60°）﹣1﹣|1|+（3.14﹣π）0；（2）先化簡，再選擇一個合適的x值代入求值：．【微點】分式的化簡求值；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【思路】（1）涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡等考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果；（2）考查分式的化簡求值，應先化簡再代入求值．【解析】解：（1）原式＝﹣1+3（）﹣1﹣（1）+1＝﹣1+31+1＝1；（2）原式．取x＝0，則原式＝﹣1．（注：x可取除±1，±外的任意實數(shù)，計算正確均可得分）【點撥】（1）題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．（2）取合適的數(shù)代入求值時，要特別注意原式及化簡過程中的每一步都有意義．20．（8分）新民場鎮(zhèn)地處城郊，鎮(zhèn)政府為進一步改善場鎮(zhèn)人居環(huán)境，準備在街道兩邊植種行道樹，行道樹的樹種選擇取決于居民的喜愛情況．為此，新民初中社會調(diào)查小組在場鎮(zhèn)隨機調(diào)查了部分居民，并將結(jié)果繪制成如下扇形統(tǒng)計圖，其中∠AOB＝126度．請根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，完成下列問題：（1）本次調(diào)查了多少名居民？其中喜愛柳樹的居民有多少人？（2）請將扇形統(tǒng)計圖改成條形統(tǒng)計圖（在圖中完成）；（3）請根據(jù)此項調(diào)查，對新民場鎮(zhèn)植種行道樹的樹種提出一條建議．【微點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【思路】（1）根據(jù)扇形圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．可求得“小葉榕”的比例為35%，進而求得調(diào)查居民的數(shù)目；最后計算出喜愛柳樹的居民人數(shù)；（2）根據(jù)比例計算出各部分的人數(shù)，將數(shù)據(jù)依次標在條形圖中，就將扇形統(tǒng)計圖改成條形統(tǒng)計圖；（3）根據(jù)實際情況，提出建議即可．【解析】解：（1）根據(jù)扇形圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．可求得“小葉榕”的比例為∵100%＝35%，總?cè)藬?shù)為∴280÷35%＝800，800×（1﹣40%﹣35%﹣10%﹣10%）＝40，即本次調(diào)查了800名居民，其中喜愛柳樹的居民有40人．（2）如圖．（3）建議多植種香樟樹．（注：答案不唯一）【點撥】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖中各部分占總體的百分比之和為1，直接反映部分占總體的百分比大?。?1．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由．【微點】根的判別式．【思路】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足△＝b2﹣4ac＞0，由此可以得到關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；（2）利用假設的方法，求出它的另一個根．【解析】解：（1）∵△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8，又∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即實數(shù)k的取值范圍是k＜1；（2）假設0是方程的一個根，則代入原方程得02+2（k﹣1）?0+k2﹣1＝0，解得k＝﹣1或k＝1（舍去），即當k＝﹣1時，0就為原方程的一個根，此時原方程變?yōu)閤2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，所以它的另一個根是4．【點撥】總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．22．（8分）李大爺一年前買入了相同數(shù)量的A、B兩種種兔，目前，他所養(yǎng)的這兩種種兔數(shù)量仍然相同，且A種種兔的數(shù)量比買入時增加了20只，B種種兔比買入時的2倍少10只．（1）求一年前李大爺共買了多少只種兔？（2）李大爺目前準備賣出30只種兔，已知賣A種種兔可獲利15元/只，賣B種種兔可獲利6元/只．如果要求賣出的A種種兔少于B種種兔，且總共獲利不低于280元，那么他有哪幾種賣兔方案？哪種方案獲利最大？請求出最大獲利．【微點】一元一次不等式的應用．【思路】（1）等量關(guān)系為：種種兔的數(shù)量增加了20只B＝種種兔的2倍少10只，據(jù)此列方程即可求解；（2）關(guān)系式為：A種種兔少于B種種兔；共獲利≥280，根據(jù)這兩個不等關(guān)系列不等式組即可求解．【解析】解：（1）設李大爺一年前買A、B兩種種兔各x只，則由題意得x+20＝2x﹣10解得x＝30即一年前李大爺共買了60只種兔．（2）設李大爺賣A種兔y只，則賣B種兔30﹣y只，則由題意得y＜30﹣y①15y+（30﹣y）×6≥280②解①得y＜15解②得y即y＜15．∵y是整數(shù)，11.11∴y＝12，13，14．即李大爺有三種賣兔方案方案一：賣A種種兔12只，B種種兔18只；可獲利12×15+18×6＝288（元）；方案二：賣A種種兔13只，B種種兔17只；可獲利13×15+17×6＝297（元）；方案三：賣A種種兔14只，B種種兔16只；可獲利14×15+16×6＝306（元）．顯然，方案三獲利最大，最大利潤為306元．【點撥】解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的關(guān)系式和不等關(guān)系式組．利用不等式找出x的取值范圍并根據(jù)實際意義求得x的值獲取方案是常用的方法，要掌握．23．（8分）已知拋物線y＝ax2﹣x+c經(jīng)過點Q（﹣2，），且它的頂點P的橫坐標為﹣1．設拋物線與x軸相交于A、B兩點，如圖．（1）求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點的坐標；（3）設PB于y軸交于C點，求△ABC的面積．【微點】二次函數(shù)綜合題．【思路】（1）橫坐標為﹣1，那么1，再把點Q坐標代入即可．（2）與x軸的交點，此時，函數(shù)值y＝0，可化為一元二次方程求解．（3）易求得AB之間的距離，可設出一次函數(shù)的解析式，把P、B坐標代入即可求得過P、B的解析式，與y軸的交點就是OC的長．【解析】解：（1）由題意得，解得a，c．∴拋物線的解析式為yx2﹣x．（2）把y＝0代入yx2﹣x得：x2﹣x0，整理得x2+2x﹣3＝0．變形為（x+3）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1．∵拋物線與x軸的交點A點在x軸負半軸，B點在x軸正半軸，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（3）將x＝﹣l代入yx2﹣x中，得y＝2，即P（﹣1，2）．設直線PB的解析式為y＝kx+b，將P（﹣1，2），B（1，0）代入得：，解得：k＝﹣1，b＝1．即直線PB的解析式為y＝﹣x+1．把x＝0代入y＝﹣x+1中，則y＝1，即OC＝1．又∵AB＝AO+OB＝1+3＝4，∴S△ABCAB×OC4×1＝2，即△ABC的面積為2．【點撥】圖象與x軸的交點的縱坐標為0；二次函數(shù)的頂點坐標為（，）；數(shù)軸上兩點間的距離＝數(shù)軸右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)．24．（10分）如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC＝∠BPC＝60°，AB與PC交于Q點．（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）求證：；（3）若∠ABP＝15°，△ABC的面積為4，求PC的長．【微點】等邊三角形的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【思路】（1）由圓周角定理知，∠BAC＝∠BPC＝∠APC＝∠BPC＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形；（2）過B作BD∥PA交PC于D，證得△AQP∽△BQD，，再證PB＝BD即可；（3）通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形求解．【解析】（1）解：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）證明：如圖，過B作BD∥PA交PC于D，則∠BDP＝∠APC＝60°，又∵∠AQP＝∠BQD，∴△AQP∽△BQD，∴，∵∠BPD＝∠BDP＝60°，∴PB＝BD，∴；（3）解：設正△ABC的高為h，則h＝BC?sin60°．∵BC?h＝4，即BC?BC?sin60°＝4，解得BC＝4，連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，由△ABC是正三角形知∠BOC＝120°，從而得∠OCE＝30°，∴，由∠ABP＝15°得∠PBC＝∠ABC+∠ABP＝75°，于是∠POC＝2∠PBC＝150°，∴∠PCO＝（180°﹣150°）÷2＝15°，如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點G，使∠GNM＝15°，則∠RNG＝30°，作GH⊥RN，垂足為H．設GH＝1，則cos∠GNM＝cos15°．在Rt△GHN中，NH＝GN?cos30°，GH＝GN?sin30°，∴RH＝GH，MN＝RN?sin45°，∴cos15°．在圖中，作OF⊥PC于F，∴PC＝2CF＝2OC?cos15°．【點撥】本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很強的綜合性．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動點（不包括端點），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分線BF于點F，設C（m，n）．（1）若m＝n時，如圖，求證：EF＝AE；（2）若m≠n時，如圖，試問邊OB上是否還存在點E，使得EF＝AE？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若m＝tn（t＞1）時，試探究點E在邊OB的何處時，使得EF＝（t+1）AE成立？并求出點E的坐標．【微點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；反證法；相似三角形的判定與性質(zhì)．【思路】（1）根據(jù)m＝n，我們可得出四邊形AOBC應該是個正方形．要證EF＝AE，可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)，在OA上取點C，使AG＝BE，則OG＝OE．那么我們的目的就是證三角形ABE和EBF全等，這兩個三角形中已知的條件只有AG＝BE，我們發(fā)現(xiàn)∠AGE和∠EBF都是90+45＝135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么這兩組對應角就相等，構(gòu)成了三角形全等的條件，于是EF＝AE了．（