高等數(shù)學(xué)下考試題庫附答案

《高等數(shù)學(xué)》試卷1（下）

一.選擇題（3分xlO）

1.點M（2,3,1）到點“2（2,7,4）的距離1MM21=（）

A.3B.4C.5D.6

2.向量5=—『+2]+總B=+],則有（）.

A.a/IbB.a_LbCAa.b

3.函數(shù)y=72-X2-/+/I一的定義域是（）.

加.,,21

A.|（x,yjl<x2+y2<2｝B.｛（x,y|l<x2+y2<2）｝

C.｛（x,期<x2+y2<2｝D｛（x,必<x2+y2<2｝

4.兩個向量方與B垂直的充要條件是（）.

A.a-b=0B.axb=6C.a—b=6D.5+3=6

5.函數(shù)Z=Y+y3—3芍的極/卜值是（）.

A.2B.-2C.lD.-l

6.設(shè)z=xsiny,貝!]—

Sy

7.若。級數(shù)Z）收斂，則（）

A.p<1B.p<1C.p>1D.p>l

8Xn

8.募級數(shù)￡一的收斂域為（）.

n=l

A.[—1,1]B（—1,1）C.[—1,1）D.（-1,1]

9.幕級數(shù)寸在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（）.

1221

A.-------B.-------C.-------D.-------

\—x2—x1—x2—x

10微分方程取「ylny=。的通解為（）.

A.y=cexB.y=exC.y=cxexD.y=ecx

二.填空題（4分X5）

1.一平面過點A（0,0,3）且垂直于直線AB,其中點夙2,-1,1）,則此平面方程為.

2.函數(shù)z=sin（xy）的全微分是.

呼

3.設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,則---=_______________________________.

dxdy

4.-^―的麥克勞林級數(shù)是.

2+x

三.計算題（5分X6）

sdzdz

1.設(shè)z=esinv,而〃=^y,v=x+y,求一,一.

dxdy

Szdz

2.已知隱函數(shù)z=z（x,y）由方程-2y~+z~—4x+2z—5=0確定，求.

dxdy

3.計算sinJx?+y2db,其中/+y?<4后.

D

4.求兩個半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）.

四.應(yīng)用題（10分X2）

1.要用鐵板做一個體積為2加3的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省？

試卷1參考答案

一.選擇題CBCADACCBD

二.填空題

1.2x—y—2z+6=0.

2.co^xy)^ydx+xdy).

3.6x2y-9y2-1.

2x

5.y=（G+C2x）e~.

三.計算題

1.-=exy[ysin（x+y）+cos（x+y）],-=exy\xsin（x+y）+cos（x+y）].

dxdy

dz2-xdz_2y

2.—=

dxz+19dyz+1

12%<2TV2

3.J。d（p\sinp-pdp=一6萬.

4?

5.y=e3x-e2x.

四.應(yīng)用題

1.長、寬、高均為血加時，用料最省.

12

2.y=%

3

《高數(shù)》試卷2（下）

「選擇題（3分X10）

1.點必（4,3,1）,此（7,12）的距離|跖監(jiān)|=（）-

A.V12B.V13C.V14D.715

2.設(shè)兩平面方程分別為x—2y+2z+l=0和—尤+y+5=0,則兩平面的夾角為（）.

7T717171

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函數(shù)z=arcsin（12+V）的定義域為（）.

A.卜,珅<x2+y2<1}B.{（x,>加<x2+y2<1]

C.<（x,y）0<%2+y2<^>D.<（%,yjo<x2+y2<^>

4點P（—1,—2,1）到平面x+2y—2z—5=0的距離為（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函數(shù)z=2_xy-3x2一2;/的極大值為（）

,1

A.0B.lC.-lD.-

2

6.設(shè)z=/+3盯+/,則W)=().

ox1

A.6B.7C.8D.9

00

7.若幾何級數(shù)Xar”是收斂的，則().

H=0

A.r<lB.r>lC.|r|<lD.|r|<1

00

8.痔級數(shù)+的收斂域為（）.

n=0

A.[—1,1]B,[—1,1)C.(—1,1]D.(—1,1)

sinnci

9.級數(shù)￡—「是().

n=lH

A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定

二.填空題（4分X5）

x=3+1

1.直線/過點A（2,2,-l）且與直線卜=1r平行，則直線/的方程為.

z=l-2t

2.函數(shù)z=e孫的全微分為.

3.曲面2=2犬—分2在點(2,1,4)處的切平面方程為.

三.計算題(5分X6)

1.^：a=z+2j—k,b=2j+3k,求5x

2.^z=u2v-uv2,\^u-xcosy,v=xsiny,—.

dxdy

SzSz

3.已知隱函數(shù)z=z(x,y)由三+3xyz=2確定，求二，二.

dxdy

4.如圖，求球面/+y2+z2=4/與圓柱面/+,2（fl>0）所圍的幾何體的體積.

四.應(yīng)用題（10分X2）

1.試用二重積分計算由y=6,y=26和x=4所圍圖形的面積.

試卷2參考答案

一.選擇題CBABACCDBA.

二.填空題

%—2y—2z+1

1.--------=--------=--------.

112

2.exy(ydx+xdy).

3.8x-8y-z=4.

00

4.XI)”.

n=0

5.y=x.

三.計算題

1.8/-3j+2k.

2.-=3x2sinjcosJ(COSJ-sinjl-=-2x3sinjcosj(sinj+cosj)+x3(sirfj+cos3y

dxdy

dxxy+z2dyxy+z2

2xx

5.y=Cxe~+C2e~.

四.應(yīng)用題

16

1.—.

3

1,2

2.x-—-gt+VQ/+XQ.

《高等數(shù)學(xué)》試卷3(下)

一、選擇題（本題共1。小題，每題3分，共30分）

2、設(shè)a=i+2卜k,b=2j+3k,則a與b的向量積為（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、點P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為（）

A、2B、3C、4D、5

71

4、函數(shù)z=xsiny在點（1,—）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)分別為（)

VI_V|V2V2

A、B、C、D、也

h一_r22

5、設(shè)xZ+F+zZuZRx,則丁,丁分別為（)

oxoy

x—Rx—Rx—Rx—R

A、2B、2C、2D、2

zzzzZzZz

6^設(shè)圓心在原點，半徑為R,面密度為〃=/+J?的薄板的質(zhì)量為（)(面積A=;tf?2)

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R-A

2

8Yn

7、級數(shù)X（—i）"一的收斂半徑為（)

“=1n

]_

A、2B、C、1D、3

2

8、COSX的麥克勞林級數(shù)為（)

002n002n00002n-l

xx2nJi

A、y(-i)nB、X(T)"C、X(-1)'D、

士(20!n=l(Wn=0(Wn=0(2n-l)!

二、填空題（本題共5小題，每題4分,共20分）

1、直線L］：x=y=z與直線基：三人=上史=z的夾角為

2-1

直線Ls:—=3=-與平面3x+2y-6z=0之間的夾角為

2-12

2、（0.98）2。3的近似值為,sinl0。的近似值為。

3、二重積分JJda,D:x2+y2<1的值為。

D

opopn

4、塞級數(shù)的收斂半徑為__________,￡—的收斂半徑為__________o

?=o?=o加

三、計算題（本題共6小題，每小題5分，共30分）

2、求曲線*=野=122=「在點（1,1,1）處的切線及法平面方程.

3、計算“孫的其中。由直線y=Lx=2及y=x圍成.

D

001

4、問級數(shù)Z（-D"sin-收斂嗎？若收斂，則是條件收斂還是絕對攵斂？

n=l〃

5、將函數(shù)f（x）=e3x展成麥克勞林級數(shù)

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每題10分，共20分）

1、求表面積為a?而體積最大的長方體體積。

參考答案

一、選擇題

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空題

28

1、6zrcos—=,arcsin—2、0.96,0.17365

V1821

3、A4、0,+oo

-1

5、y=ce2,cx=l----

y

三、計算題

2、解：x=t,7=^,7=?,

所以Xt=l,yt=2t,Zt=3/,

所以xtlt=i-15y/t=i=2,zJt=i=3

故切線方程為：丁x—1=當v——1=z亍—1

法平面方程為：(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因為D由直線y=l,x=2,y=x圍成,

所以

D:A<y<2

Y

故：JJ孫xyd^dy=^(2y-^-)dy=1；

DY28

4、解：這是交錯級數(shù)，因為

Vn=sin—)0,所以，。+l〈Vh,且limsi/=0,所以該級數(shù)為萊布尼遨^級數(shù)，故收斂

nn

▽三.1小將工八口子.濟I”「sm%▽行將三一發(fā)散，從而￡sin—發(fā)散。

又2$1口—當%趨于0時,5111%~%,所以,lim---=1,又級數(shù)之〃n5

念幾M

n

所以，原級數(shù)條件收斂

e"=1+%-I—%2H—%3H—H—xn+???

、解：因為2!3!n\

xe(-oo,+oo)

用2x代x,得：

e2x=l+(2x)+2(2x)2+1(2x)3+…+：(2步+…

O203r\n

y—乙0乙4乙”

=l+2x+—曠+—%+?-?+—x+■■■

2!3!〃！

xe(-oo,+co)

四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z

則2(xy+yz+zx)=a2

構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y,z)=xyz+A(2xy+2yz+2zx—a2)

求其對x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0,得：

Lyz+24(y+z)=0

Yxz+2/l(x+z)=0

jXy+2%(x+y)=0

與2(xy+yz+zx)-a2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=--

6

3

所以，表面積為*而體積最大的長方體的體積為V=xyz=

36

2、解：據(jù)題意

dM”彳

----=—AM

dt

其中㈤0為常數(shù)

初始條偉刈,=0=河0

對于也=—刀11式

dt

dM一

----=—Adt

M

兩端積分得InM=-At+InC

所以，M=ceAt

又因為切修0=%

所以，M0=C

At

所以，M=MQe-

由此可知，鈾的衰變規(guī)律為：鈾的含量隨時間的增加按指數(shù)規(guī)律衰減

《高數(shù)》試卷4（下）

—.選擇題：3410=30，

1.下列平面中過點(1,1])的平面是.

(A)x+y+z=Q(B)x+y+z=1(C)x=l(D)x=3

2.在空間直角坐標系中，方程N+y2=2表示.

(A)圓(B)圓域(C)球面(D)圓柱面

3.二元函數(shù)z=(l-尤)2+(l-y)2的駐點是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重積分的積分區(qū)域。是14/+丫244,^\\\dxdy=.

D

(A)"(B)4萬(C)3萬(D)15萬

5,交換積分次序后jNWj/EyWyn

（A）』同；"工皿?lM"（x，y）dx?1；哺"Q"（D）￡dy（/^y）dx

6.〃階行列式中所有元素都是1,其值是.

(A)n(B)0(C)n!(D)1

8.下列級數(shù)收斂的是____________

8n8(O-(D)

(A)Z(-l)--1--(B)X57

n=l〃+1n=l2n-1〃n-1v

0000

9.正項級數(shù)X"”和X%滿足關(guān)系式u”WV",則

n=ln-1

00000000

（A）若收斂，則“收斂（B）若收斂，則收斂

n-1n-1n-1n-1

00000000

（C）若X%發(fā)散，則發(fā)散（D）若收斂，則￡力發(fā)散

n-\n-\n-1n-1

10.已知：」一=l+X+%2+…則土的騫級數(shù)展開式為------------

1-X

(A)1+x23+x4H—(B)-1+x2-x4H—(C)-1-x2-x4(D)1-x2+x4----

二.填空題：4'X5=20'

1.數(shù)z=J尤2+/一1+]n(2-尤2-y2)的定義域為

2.若/（尤,丫）=孫，貝.

X

3.已知（沏,先）是y（x,y）的駐點，若/^（沏,,％）=3,禺1ao,%）=12冬（沏,％）=。則

當時，（沏,％）一定是極小點.

00

5.級數(shù)X即收斂的必要條件是.

n-\

三.計算題（一）：6x5=30'

1.已知：z=?,求：當，.

dxoy

2.計算二重積分-Ndcr,其中￡）={（羽y）|0Wy￡j4-N,0Wx42}.

D

C2-3、

3.已知：XB=A,其中/=：:[,3=012,求未知矩陣X.

lo01J

8Yn

4.求得級數(shù)￡（T）"T上的收斂區(qū)間.

“=1"

5,求/（x）=ef的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間）.

四.計算題(二)：1O'X2=2(X

1.求平面X—2y+z=2和2x+y—z=4的交線的標準方程.

參考答案

一.1.C;2.D;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;10.D.

二.1.{(x,y)|lKN+y2<2}2.—3.-6<a<64.275.lim孫=0

Xn-^x)

四.1.解：一二yxy~1一=xyIny

dxdy

---r--，2

2.解：jj^4-x2d(j=4d4_x2dy=,(4-N)d%=4x——=—

DL3J。3

「1—27、/、

3.解：01-2,A-=,_415b

1001J')

4.解：R=l,當|x|〈1時，級數(shù)收斂，當x=l時，得匚收斂，

〃=i〃

當芯=-1時，得2津一=￡」發(fā)散,所以收斂區(qū)間為(-UL

n=lnn=ln

88f—8/I\n

5.解：.因為湃二22—xe(-oo,+co),所以e-*=Z-----------=X———x'1xe(-?,+(?).

?=o?!?=o?!?=o"!

Jk

四.1.解：.求直線的方向向量：8=1-21=7+3]+5底求點令2=0彳導(dǎo)丫=0所2,即交點為（2,0.0）所以

21-1

交線的標準方程為:1W

《高數(shù)》試卷5（下）

一、選擇題（3分/題）

1、已知。=，+/,/?=—左，則。乂6=（）

A0Bi-jCZ+JD—Z+J

2、空間直角坐標系中代+_/=1表示（）

A圓B圓面C圓柱面D球面

3、二元函數(shù)z=生喳在（0,0）點處的極限是（）

x

A1B0CooD不存在

4、交換積分次序后jdxf（）

0

A[今工/小廣心

0X

1

dD

CJy\yf(x,y)dxf(x,y)dx

oy0

5、二重積分的積分區(qū)域D是N+NWI,則jjdxdy=()

D

A2B1C0D4

0000

10、正項級數(shù)X%,和W>,滿足關(guān)系式“"〈乙，則（）

n-1n-\

000000OO