導(dǎo)數(shù)練習(xí)題附答案

一、選擇題(每題只有一個選項是正確的，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，

只有一項為哪一項符合題目要求的。)

1.某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=12(x—1),那么這個函數(shù)可能是()

A.y=ln1—xB.y=ln11—x

C.y=ln(1-x)D.y=ln11—x

2.(2021?江西)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g⑴)處的切線方程為y=2x+

1,那么曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為()

A.4B.-14C.2D.-12

3.(2021?遼寧)曲線y=xx-2在點(1,一1)處的切線方程為()

A.y=x—2B.y=—3x4-2

C.y=2x—3D.y=-2x+1

4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()

A.94e2B.2e2C.e2D.e22

5.函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖,那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是()

6.設(shè)y=8x2—Inx,那么此函數(shù)在區(qū)間(0,14)和(12,1)內(nèi)分別()

A.單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

B.單調(diào)遞增，單調(diào)遞增

C.單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

D.單調(diào)遞減，單調(diào)遞減

7.以下關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x—x2)ex的判斷正確的選項是()

(Df(x)>0的解集是｛x|0VxV2｝：

②f(—2)是極小值，f(2)是極大值；

③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.

A.①③B.①②③C.②D.①②

8.f(x)=—x3—x,xe[m,n],且f(m)?f(n)<0,那么方程f(x)=O在區(qū)間[m,n]±()

A.至少有三個實根B.至少有兩個實根C.有且只有一個實根D.無實根

9.函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值，那么實數(shù)a的取值范圍是()

A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<—3或a>6D.a<—1或a>2

10.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm,要使其體積最大，其高應(yīng)為()

A.2033cmB.100cmC.20cmD.203cm

11.(2021?河南省實驗中學(xué))假設(shè)函數(shù)f(x)=(2—m)xx2+m的圖象如下圖，那么m的范圍

為()

A.(-8,-1)B.(-1,2)C.(1,2)D.(0,2)

12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=1.f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)y=f'(x)的圖象如下圖.假

設(shè)兩正數(shù)a,b滿足f(2a+b)V1,那么b+2a+2的取值范圍是()

A.(13,12)B.(一%12)U(3,+8)C.(12,3)D.(-?,一3)二、填

空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，請將答案演在題中的橫線上。)

13.(2021?武漢模擬)函數(shù)y=xln(一刈-1的單調(diào)減區(qū)間是.

14.函數(shù)f(x)=x3—12x+8在區(qū)間[―3,3]上的最大值與最小值分別為乂,m,那么M-m

15.(2021?南京一調(diào))函數(shù)f(x)=ax-x4,xe［12,1］,A、B是其圖象上不同的兩點.假設(shè)

直線AB的斜率k總滿足12<k<4,那么實數(shù)a的值是.

16.(2021?淮北模擬)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)F(x)=a(x+1)?(x—a),假設(shè)f(x)在x=a處取到極大值,

那么a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、演算步驟或證明過程。)

17.(本小題總分值10分)設(shè)a為大于0的常數(shù)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+a).

(1)當(dāng)a=34,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；

(2)假設(shè)使函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求a的取值范圍.

18.(本小題總分值12分)函數(shù)y=f(x)=lnxx.

(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=1e處的切線方程；

(2)求y=f(x)的最大值；

(3)設(shè)實數(shù)a>0,求函數(shù)F(x)=af(x)在［a,2a］上的最小值.

19.(本小題總分值12分)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x—ax2+1+a.

(1)假設(shè)f(x)在區(qū)間(0刀上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)求f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值.

20.(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=1+ln(x+1)x.(x>0)

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+?>)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；

(2)假設(shè)當(dāng)x>0時，f(x)>kx+1恒成立，求正整數(shù)k的最大值.

21.(2021?天津)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x￡R),其中a￡R.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率；

⑵當(dāng)aH23時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

命題意圖：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極

值等根底知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.

22.(2021?保定市高三摸底考試)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=lnxx+ax—1(awR)

⑴求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)假設(shè)f(x)“在區(qū)間(0,e2］上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案:

一、1答案：A

解析：對選項求導(dǎo).(In1—xy=11—x(1—xy=11—x?12(1—x)—12?(-1)=12(x—1).

2答案：A

解析：f，(x)=g1x)+2x.

???y=g(x)在點(1,g⑴)處的切線方程為y=2x+l,

?g'⑴=2,???f(1)=g'(1)+2x1=2+2=4,

???y=f(x)在點(1,f⑴)處切線斜率為4.

3答案：D

解析：/=(xx-2)'=-2(x-2)2,

.-.k=y1x=1=-2.

I：y+1=-2(x-1),那么y=-2x+1.

4答案：D

解析：???y'=ex,：.y=ex在點(2,e2)的導(dǎo)數(shù)為e2.

Ay=ex在點(2,e2)的切線方程為y=e2x—e2.

y=e2x—e2與x軸、y軸的交點分另ij為(1,0)和(0,-e2),AS=12x1xe2=e22.

5答案：D

解析：由題意知函數(shù)f(x),g(x)都為增函數(shù)，當(dāng)xvxo時，由圖象知f'(x)>g1x),即

f(x)的增長速度大于g(x)的增長速度；當(dāng)x>xO時，f'(x)vg〈x),g(x)的增長速度大于

f(x)的增長速度，數(shù)形結(jié)合，

6答案：C

解析：y*=16x-1x.

當(dāng)x￡(0,14)時，y'VO,y=8x2-lnx為減函數(shù)；

當(dāng)x￡(12,1)時，y'>0,y=8x2—Inx為增函數(shù).

7答案：D

解析：由f(x)>0=(2x—x2)ex>0=2x—x2>0=0VxV2,故①正確；

f(x)=ex(2-x2),由「僅)=0得乂=±2,

由f'(x)vo得X>2或xV—2,

由f'(x)>0得一2VXV2,

???f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一%-2),(2,+8).

單調(diào)增區(qū)間為(一2.2).

???f(x)的極大值為f(2),極小值為f(-2),故②正確.

???xV-2時，f(x)VO恒成立.

?f(x)無最小值,但有最大值f(2).

???③不正確.

8答案：C

9答案：C

解析：由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有f'(x)=3x2+2ax+(a+6).

Vf(1e)=-e,XVk=f(1e)=2e2,

???函數(shù)y=f(x)的在x=1e處的切線方程為：

y+e=2e2(x—1e),即y=2e2x—3e.

(2)令「僅)=0得*=3.

???當(dāng)x￡(0,e)時,f'(x)>0,f(x)在(0,e)上為增函數(shù),

當(dāng)xw(e,+8)時，f(x)<0,那么在(e,+8)上為減函數(shù)，

.*.fmax(x)=f(e)=1e.

(3)Va>0,由(2)知:

F(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+刃上單調(diào)遞減.

，F(xiàn)(x)在［a,2a］上的最小值f(x)min=min{F(a),F(2a)},

VF(a)-F(2a)=12lna2,

???當(dāng)0Va?2時,F(a)-F(2a)<0,fmin(x)=F(a)=lna.

當(dāng)a>2時,F(a)-F(2a)>0,f(x)min=f(2a)=12ln2a.

19解析：⑴對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=1—axx2+1.

要使f(x)在區(qū)間(0刀上是增函數(shù)，又要f<x)=1—axx2+l20在(0,1］上恒成立,

即a<x2+1x=1+1x2在(0,1］上恒成立.

因為1+1x2在(0刀上單調(diào)遞減，

所以1+1x2在(0,1］上的最小值是2.

注意到a>0,所以a的取值范圍是(0,2］.

(2)①當(dāng)0Va42時，由⑴知，f(x)在(0,1］上是增函數(shù)，

此時f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值是f⑴=1+(1—2)a.

②當(dāng)a>2時,令f'(x)=1—axx2+1=0,

解得x=1a2—1￡(0,1).

因為當(dāng)0VxV1a2-1時，f(x)>0；

當(dāng)1a2—1VxV1時，f*(x)<0,

所以f(x)在(0,1a2—1)上單調(diào)遞增，在(伯2—1,1)上單調(diào)遞減.

此時f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值是f(ia2-i)=a-a2-i.

綜上所述,當(dāng)0<aw2時，f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值是1+(1-2)a；

當(dāng)a>2時,f(x)在區(qū)間?1］上的最大值是a-a2-1.

20解析：(1)f(x)=1x2［xx+1-1-ln(x+1)］=-1x2［1x+1+ln(x+1)］.

由x>0,x2>0,1x+1>0,ln(x+1)>0,得式x)V0.

因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

(2)解法一：當(dāng)x>0時，f(x)>kx+1恒成立，令x=1有kV2［1+ln2］.

又k為正整數(shù).那么k的最大值不大于3.

下面證明當(dāng)k=3時,f(x)>kx+1(x>0)恒成立.

即證明x>0時(x+1)ln(x+1)+1—2x>0恒成立.

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,

那么g<x)=ln(x+1)—1.

當(dāng)x>e-1時，g'(x)>0；當(dāng)0VxVe-1時，g'(x)<0.

???當(dāng)乂=6—1時，g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.

???當(dāng)x>0時，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.

因此正整數(shù)k的最大值為3.

解法二：當(dāng)x>0時，f(x)>kx+1恒成立.

即h(x)=(x+1)[1+ln(x+1)]x>k對x>0恒成立.

即h(x)(x>0)的最小值大十k.

由h，(x)=x—1—In(x+1)x2,記①(x)=x—1—ln(x+1).(x>0)

那么①'(x)=xx+1>0,

???①(x)在(0,+8)上連續(xù)遞增.

又①(2)=1—ln3V0,0)(3)=2-2ln2>0,

???力(x)=0存在惟一實根a,且滿足：ae(2,3),a=1+ln(a+1),

由x>a時,①(x)>0,hf(x)>0；OVxVa時,①(x)V0,h'(x)V0知:

h(x)(x>0)的最小值為h(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]a=a+1￡(3,4).

因此正整數(shù)k的最大值為3.

21解析：⑴當(dāng)a=0時,f(x)=x2ex,f'(x)=(x2+2x)ex,故f'(1)=3e.

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為3e.

(2)f(x)=[x24-(a+2)x-2a2+4a]ex.

令f'(x)=O,解得x=-2a,或x=a—2.

由aH23知，-2a，a-2.

以下分兩種情況討論.

①假設(shè)a>23,那么一2a〈a—2,當(dāng)x變化時，f'(x)、f(x)的變化情況如下表：

x(—8—2a),—2a(-2a,a—2)a—2(a—2,+°°)

f(x)+0—0+

f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(一8,—2a),(a—2,+-)內(nèi)是增函數(shù),

在(一2a,a—2)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(—2a),且f(—2a)=3ae—2a.

函數(shù)f(x)在x=a—2處取得極小值f(a—2),且f(a—2)=(4—3a)ea—2.

②假設(shè)a<23,那么一2a>a—2.當(dāng)x變化時，f'(x)、f(x)的變化情況如下表：

x(—8,a—2)a—2(a—2,—2a)—2a(—2a