高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第2章 第6節(jié)　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【考綱下載】1．理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用．2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．3．知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a>0，且a≠1)．1．對(duì)數(shù)的定義如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1)：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.(2)對(duì)數(shù)的換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于零且不等于1)．(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(M·N)＝logaM＋logaN，②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R定點(diǎn)過點(diǎn)(1,0)單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)函數(shù)值正負(fù)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>04.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．1．試結(jié)合換底公式探究logab與logba，logambn與logab之間的關(guān)系？提示：logab＝eq\f(1,logba)，logambn＝eq\f(n,m)logab.2．對(duì)數(shù)logab為正數(shù)、負(fù)數(shù)的條件分別是什么？提示：當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<b<1))時(shí)，logab為正數(shù)；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,0<b<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,b>1))時(shí)，logab為負(fù)數(shù)．3．如何確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系？你能得到什么規(guī)律？提示：圖中直線y＝1與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)，∴0<c<d<1<a<b，在x軸上方由左到右底數(shù)逐漸增大，在x軸下方由左到右底數(shù)逐漸減小．1．(2013·浙江高考)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析：選D2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy.2．函數(shù)y＝eq\r(log0.54x－3)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,4)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)<x<1))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)<x≤1))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)≤x≤1))))解析：選C要使函數(shù)y＝eq\r(log0.54x－3)有意義，則需log0.5(4x－3)≥0，即0<4x－3≤1，解得eq\f(3,4)<x≤1.3．計(jì)算：2log510＋log50.25＝()A．0B．1解析：選C2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.4．如果logeq\f(1,2)x＜logeq\f(1,2)y＜0，那么()A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x解析：選D由logeq\f(1,2)x＜logeq\f(1,2)y＜0，得logeq\f(1,2)x＜logeq\f(1,2)y＜logeq\f(1,2)1.所以x＞y＞1.5．計(jì)算：log23·log34＋(eq\r(3))log34＝________.解析：log23·log34＋(eq\r(3))log34＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＋3eq\f(1,2)log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.答案：4數(shù)學(xué)思想(三)利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立問題若不等式恒成立問題無法用分離參數(shù)等常規(guī)解法求解時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法求解．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，使之符合要求，然后根據(jù)圖象找出不等關(guān)系．[典例](2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)[解題指導(dǎo)]在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝4x和y＝logax的圖象求解．[解析]由0<x≤eq\f(1,2)且logax>4x>0，得0<a<1，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(1,2)))和y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，0＜x≤\f(1,2)))的圖象，如圖所示：由圖象知，要使當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)，4x＜logax，只需logaeq\f(1,2)＞4eq\f(1,2)，即logaeq\f(1,2)＞logaa2，則a2＞eq\f(1,2)，解得a＞eq\f(\r(2),2)或a＜－eq\f(\r(2),2)，又0<a<1，所以eq\f(\r(2),2)＜a＜1.[答案]B[題后悟道]1.本題無法分離參數(shù)，若沒有數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，則本題無法求解．2．解決本題的關(guān)鍵是在同一坐標(biāo)系內(nèi)正確畫出函數(shù)y＝4x及y＝logax的圖象．不等式logax>(x－1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍為()A．[eq\r(16,5)，eq\r(9,4)]B．[eq\r(16,5)，eq\r(9,4))C．(1，eq\r(16,5)]