2024成都中考數(shù)學二輪復習專題 二次函數(shù)-相似三角形專項訓練（含答案）

2024成都中考數(shù)學二輪復習專題二次函數(shù)-相似三角形專項訓練（學生版）

目標層級圖

課中講解

相似三角形存在性問題

題型基本分為：己知定角（多以直角出現(xiàn)）與隱含定角（定角為特殊角或己知該角三角函數(shù)

比值）兩大類，當定角確定后：

1.分類討論，其余兩個角對應(yīng)相等。

2.數(shù)形結(jié)合，利用相似三角形邊的對應(yīng)關(guān)系，最終求得點的坐標或線段的長度。

題型：

一,與已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某邊與坐標軸重合

或者平行.

已知R/A4O3.三點坐標，P、Q是線段AO、RO上的動點，確定點P、Q的坐標使得AAO4

和APOQ相似。

\AOB^\POQ\AOB^\QOP

例1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線)，=ax2+云+c?的圖象與x軸交于A(-3,0)、

8(2,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點雙孫2)是直線AC上方的拋物線上一點，連接E4、EB、EC,殖與y軸交

于。.

①點尸是x軸上一動點，連接EF,當以A、E、f為頂點的三角形與A?OD相似時，

求出線段所的長：

備用圖

例2.在平面直角坐標系中，拋物線y=ax1+hx-￥c(aw())與x軸的兩個交點分別為A(-3,

0)、B(1,0),與y軸交于點D(0,3),過頂點C作CH_Lx軸于點H.

(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標；

(2)若點P為拋物線上一動點(點P與頂點C不重合)，過點P向C。所在的直線作

垂線，垂足為點Q,以P、C、Q為頂點的三角形與△AC”相似時，求點P的坐標。

過關(guān)檢測

1.如圖，拋物線)，=白2+g+〃與直線y=-gx+3交于A,4兩點，交x軸于。，C兩點，

連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求拋物線的解析式和tanNBAC的值；

(II)在(【)條件下：

(1)。為)，軸右側(cè)拋物線上一動點，連接小，過點P作PQ_LPA交)，軸于點Q,問：是

否存在點P使得以A，P,。為頂點的三角形與AAC8相似？若存在，請求出所有符合

條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

冰

7

2.如圖，拋物線)，=——_?+樂+。與工軸交于4-4,0),5(1.0)兩點，與v軸交于點C,點。

4

為直線4c上方拋物線上的動點，OE_L線段AC于點E.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖1,求線段小的最大值；

(3)如圖2,連接CD、BC,當&5OC與以。、D、￡為頂點的三角形相似時，求點。

3.拋物線y=/+公+5經(jīng)過點A(l,O)和點8(5t,0).(t>0)

⑴求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)該拋物線與直線y=2x+5相交于C.D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方直線

PM//y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N.連結(jié)PB,過點C作CQLPM,垂足為點Q,

如圖2,是否存在點P,使得ACNQ與相似?若存在，求出滿足條件的點。的坐標;

若不存在，說明理由。

圖1圖2

2

4.直線y=C?與X軸相交于點,43,0）與），軸相交于點B,拋物線

4,

y=——x*,+bx+c經(jīng)過風4,B.

（1）求點8的坐標以及拋物線的解析式；

（2）”（〃?,（））為不軸上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別相交

于點P,N.點M在線段OA（不與0,A重合）上運動，若以點8,P,N為頂點的三角形與

△APM相似，求M的坐標。

二.與已知非直角三角形相似，且已知三角形某邊在坐標軸上（平行）

如圖：已知拋物線），=/+&+。（。。0）與乂釉交點為人、B,在拋物線第三象限上有一

點C,在拋物線第二象限上有一點P,使得以P、A、B為頂點的三角形與AABC相似.

例1.已知拋物線y=ax2+.依+3與x軸分別交于點A(-3,0),8(1,0),交y軸于點C,拋物線

的頂點為點￡>.

(1)拋物線的表達式及頂點。的坐標.

(2)若點廠是線段AO上一個動點，

①如圖1,當尸C+AO的值最小時，求點尸的坐標；

②如圖2,以點A,F,。為頂點的三角形能否與AA3C相似？若能，求出點尸的坐標;

若不能，請說明理由.

例2.如圖，二次函數(shù)以（@0）的圖象經(jīng)過點A（1,4）,對稱軸是直線x=—°，線

2

段A。平行于工軸,交拋物線于點D在），軸上取一點C10,2），直線AC交拋物線于點用

連結(jié)04、OB、OD、BD.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）求點B坐標和坐標平面內(nèi)使△石OOs/xcOB的點E的坐標。

過關(guān)檢測

1.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=o?+取-5,與x軸交于4(7,0),5(5,0)

兩點，與)，軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點。是y軸上的一點，且以8,C,。為頂點的三角形與AA8C相似，求點。

的坐標；

2.在平面直角坐標系中，如圖1,拋物線y=a』+加+c的對稱軸為x=T，與x軸的交點

A(-1,O)與y軸交于點C(0,-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)將該拋物線沿射線AC的方向進行平移，平移后的拋物線與直線AC的交點為A、C'

(點C'在點4的下方)，與x軸的交點為*,當與△A4'*相似時，求出點4的

橫坐標.

3.如圖，已知拋物線＞經(jīng)過點A(1,O),點。(一5,0),直線y=-x+〃經(jīng)過點A,

交拋物線于點點。為x軸下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當點。為拋物線的頂點時，在直線x軸上是否存在點Q,使得以C、。、Q

為頂點的三角形與AA8C相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

4.如圖1,圖形ABC。是由兩個二次函數(shù)n二左［+川(^<0)與以=加+8(a>0)的部分圖

象圍成的封閉圖形.已知A(1,。)、B(0,1)、D(0,-3).

(1)直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖2,連接8C,CD,AD,在坐標平面內(nèi)，求使得△8OC與△AOE相似(其中

點C與點E是對應(yīng)頂點)的點E的坐標。

三.已知三角形相似，求其他

例題4(高新二診)、如圖，在平面直角坐標系X。,，中，拋物線)，=ad+云+。的圖象與x軸

交于4-3,0)、4(2,0)兩點，與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式：

(2)點￡(〃/,2)是直線AC上方的拋物線上一點，連接a、EB.EC.K3與)，軸交于。.

①點尸是x軸上一動點，連接EF,當以A、E、尸為頂點的三角形與M。。相似時，求

出線段所的長；

②點G為)，軸左側(cè)拋物線上一點，過點G作直線CE的垂線，垂足為H,若NGCH=/EBA,

請直接寫出點〃的坐標.

備用圖

過關(guān)檢測

1.在平面直角坐標系X。），中，拋物線），="￥-3）*+1）與工軸交于4、B兩前,與軸交于點

C（0,-x/3）,連接AC、BC.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）拋物線的對稱軸與、軸交于點。，連接CO,點E為第二象限拋物線上的一動點,

EF//BC,直線所與拋物線交于點尸，設(shè)直線石廠的表達式為_〉，=心十〃

①如圖①，直線），="+〃與拋物線對稱軸交于點G,若ADGFsMDC,求k、〃的值；

②如圖②,直線y=kx+b與y軸交于點M，與直線y=瓜交于點H,若—....—=—,

MEMFMN

求。的值.

國①圖②

學習任務(wù)

I.拋物線經(jīng)過原點。，頂點A(2,2),且與直線y=x-4交于8、C兩點。

(1)求拋物線的解析式及C點的坐標；

(2)若點N為x軸上一個動點，過點N作MNJ_x軸與拋物線交于點則是否存在以0、

M、N為頂點的三角形與AA8C相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

IQ

2.0為坐標原點.直線產(chǎn)獨+方與拋物線y二加『一11+〃同時經(jīng)過4(0,3)、B(4,0).

(1)求m,n的值；

(2)點M是二次函數(shù)圖象上一點，(點M在AB下方)，過M作MNJ_x軸，與AB交于點

N,與％軸交于點Q,求MN的最大值；

(3)在(2)的條件下，是否存在點N,使△408和△NOQ相似？若存在，求出N點坐標，

不存在，說明理由。

3.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=o?+汝+以。/0）的圖象與x軸交于

A8兩點（點4在點B的左邊），與），軸交于點C,其頂點的橫坐標為1,且過點（2,3）和

（-3,-12）.

（1）求此二次函數(shù)的表達式：

（2）若直線/:），=丘（4=0）與線段交于點。（不與點反C重合），則是否存在這樣

的直線/,使得以8O,。為頂點的三角形與△84C相似？若存在，求出該直線的函數(shù)

表達式及點力的坐標；若不存在，請說明理由。

4已知點A（-2,2）,8（8,12）在拋物線y=GT?+力x上。

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2,直線48分別交x軸、），軸于C、D兩點，點P從點C出發(fā),沿射線CD方向勻

速運動，速度為每秒加個單位長度，同時點Q從原點0出發(fā)，沿x軸正方向勻速運動，速

度為每秒1個單位長度，點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=3PM,

2024成都中考數(shù)學二輪復習專題二次函數(shù)-相似三角形專項訓練（解析版）

目標層級圖

說明：本節(jié)教案主要針對穩(wěn)定120分以上的學員的教學使用，通常出現(xiàn)在B25

（2）和（3）小問。

1.本節(jié)內(nèi)容對已知相似三角形和未知需要求相似三角形的直角（可轉(zhuǎn)換成三角

函數(shù)值的思維）三角形的相似、非直角（夾角）三角形的相似類型進行入手講解。

2.此節(jié)為解決學生對二次函數(shù)與相似三角形畏難心態(tài)、薄弱的知識得到好的改

善，幫助B25拿分。

3.為更加熟練的掌握相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)。

課中講解

一.相似三角形存在性問題

題型基本分為：已知定角（多以直角出現(xiàn)）與隱含定角（定角為特殊角或已知該角三角函數(shù)

比值）兩大類，當定角確定后：

3.分類討論，其余兩個角對應(yīng)相等。

4.數(shù)形結(jié)合，利用相似三角形邊的對應(yīng)關(guān)系，最終求得點的坐標或線段的長度。

題型：

1.與已知直角三角形相似，且己知直角三角形的某邊與坐標軸重合或者平行.

已知R/AAOB三點坐標，P、Q是線段AO、BO上的動點，確定點P、Q的坐標使得A4O8

和AP。。相似。

\AOB^\POQ\AOB^\QOP

例1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線)，=加+云+c?的圖象與x軸交于A(-3,0)、

8(2,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點雙孫2)是直線AC上方的拋物線上一點，連接E4、EB、EC,殖與y軸交

于。.

①點尸是x軸上一動點，連接EF,當以A、E、f為頂點的三角形與A?OD相似時，

求出線段所的長：

備用圖

【解答】解：(1)將A(-3,0)、8(2,0)、L(0,3)代入y=+加+c得,

()=9a-3b+c

-0=4a+2b+c,

3=c

解得：人」,

2

c=3

.??拋物線的解析式為：),=」/-4+3；

■22

(2)①將E(m,2)代入)，二一!/一JXf3中，

'22

得__1〃/__1〃7+3=0,解得利=一2或1(舍去),

22

E(-2,2),

?.4—3,0)、8(2,0),

：.AB=5,AE=6BE=2小,

AB2=AE2+BE?,

:.ZAEB=NDOB=90。，

ZEAB+ZEBA=ZODB+ZEBA=90°,

：.4EAB=4ODB,

:.ZAEF=/DOB=驛,

二萬與/?點重合,

：.EF=BE=2非，

v風-2,2),

:.EF=2,

故：所的長為2石或2；

例2.在平面直角坐標系中，拋物線y=ad+力x+c(”wo)與x軸的兩個交點分別為AJ3,

0)、B(1,0),與y軸交于點D(0,3),過頂點C作CH_Lx軸于點H.

(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標：

(2)若點P為拋物線上一動點(點P與頂點C不重合)，過點P向C。所在的直線作

【解析1

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(aV0),

???拋物線過點A(-3,0),B(l,0),D(0,3),

9a—3b4-c=0

:.a+b+c=0?解得，a=-l,b=-2,c=3,

c=3

???拋物線解析式為y=-x2-2x+3：

(2)①若點P在對稱軸左側(cè)(如圖2),只能是△CPQsaACH,得NPCQ二NCAH,

=2,

CQAH

分別過點C、P作x軸的平行線，過點Q作y軸的平行線，交點為M和N,

由^CQM^AQPN,

得更=空=處

CQMQCM

???ZMCQ=45°,

設(shè)CM=m?則MQ=n),PN=QN=2m,MN=3m,

???P點坐標為(-m-1,4-3m),

將點P坐標代入拋物線解析式，得一(m++2(m+1)+3=4-3m,

解得m=3,或m=0(與點C重合,舍去)

■P點坐標為(4?5)；

②若點P在對稱軸右側(cè)(如圖①)，只能是△PCQs/XACH,得NPCQ=NACH,

.PQAH1

-=------=—,

CQCH2

延長CD交x軸于M,，M(3,0)

過點M作CM垂線，交CP延長線于點F,作FN_LK軸丁點N,

..空=史=工

CQCM2

VZMCH=45°,CH=MH=4

.\MN=FN=2,

???F點坐標為(5,2),

???直線CF的解析式為y=-^x+

__1,ii

聯(lián)立拋物線解析式，得y~~33,解得點P坐標為(-j

[y=-X2-2X+339

綜上所得，符合條件的P點坐標為(-4,-5),(-|,沙

過關(guān)檢測(15mins)

1.如圖，拋物線y=：丁+〃氏+〃與直線y=-；x+3交于A,8兩點，交x軸于￡),。兩點，

連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求拋物線的解析式和lan/BAC的值；

(II)在(I)條件下：

(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接Q4,過點P作PQ_LP4交)，軸于點Q,問：是

否存在點?使得以A,P,。為頂點的三角形與AAC8相似？若存在，請求出所有符合

條件的點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

%

OD-C\

【解答】解：(I)把A(0,3),C(3,O)代入)，=；

x2+mx+n?得

〃=3

1八，

—X9+"LT+〃=0

12

5

解得：r=~2.

〃二3

/.拋物線的解析式為y=—gx+3

y=--x+3

2

聯(lián)立125；

y=—x~——x+3

22

解得:Jr=n或｛f；r，=/4

.?.點4的坐標為(4,1).

如圖1.

?/C(3,O),B(4.1),4(0,3),

/.AB2=20,BC2=2,AC2=18,

...BC2+AC2=AH2,

.?.AA8C是直角三角形,

ZACB=90°,

(II)方法一：

(1)存在點尸，使得以A,P,。為頂點的三角形與&4c6相似.

過點P作尸G_L)，軸于G,則NPG4=90°.

設(shè)點P的橫坐標為x,由P在)，軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.

?/PQA.PA,ZACB=90°,

:.ZAPQ=ZACB=90°.

若點G在點A的下方，

①如圖2①，當N/%Q=NC48時，貝ijATA-ACA8.

\-^PGA=ZACB=90°,/PAQ=/CAB,

：./SPGA^ABCA,

PGBC1

~AG~~AC~3'

/.AG=3PG=3x.

則P(x,3-3x).

把P(x,3-3x)代入y=—gx+3,得

—x2-—x+3=3-3x,

22

整理得：x2+x=0

解得：再=0(舍去)，々=一1(舍去)?

②如圖2②，當NPAQ=NC8A時，貝1△PA-AC8A.

同理可得：AG=-PG=-x,MP(x^--x),

333

}EP(x,3--x)KAy=—A2-—x+3,得

322

「5.1

—x-——x+3=3——x，

223

整理得：x2--x=0

3

解得：X1=0（舍去），Xj=—>

.?希,當；

39

若點G在點A的上方，

①當NPAQ=NC43時，則APAQ^ACAB,

同理可得：點2的坐標為（11,36）.

②當/E4Q=NCBA時，則

同理可得：點P的坐標為嗎，y）.

綜上所述：滿足條件的點尸的坐標為⑴,36）、（上，上）、（口，竺）;

3939

方法二：

作AAbQ的''外接矩形"AQGH,易證AA"/"AQG〃,

AP_HP

'''PQ=QG，

一以A,P,。為頂點的三角形與AAC8相似，

APHPBC1-APHPAC0

PQQGAC3PQQGBC

設(shè)尸⑵,25一5/+3),4(0,3),H⑵,3),

GHP\3-2/2-5/+31

①——=-?/1.------------1

QG3It3

②翱=3,.|3-2.-5/+3

QG2/

2乙=11,2/2=—I?(舍)，

.??滿足題意的點尸的坐標為(11,36)、(上，—)s(―,—)：

3939

(2)方法一:

過點E作&VJ_y軸于N,如圖3.

在RtAANE中，E^=AE.sin45°=—AE,BPAE=y/2EN,

2

n/7PA

點用在整個運動中所用的時間為匕+華DE+EN.

1x/2

作點。關(guān)于AC的對稱點Z7,連接DE,

則有DC=DC,ZDCA=ZDCA=45°,

ZDCD=90°,DE+EN=DE+EN.

根據(jù)兩點之間線段最短可得：

當〃、E.N三點共線時，止十E7V=/)￡：+&V最小.

此時，W)=Z￡TNO=N/VOC=90°,

四邊形OC0N是矩形，

:.ND=OC=3,ON=DC=DC.

對于y=L?--x+3?

22

當y=o時，W—x2——x+3=0?

■22

解得：xi=2,x2=3.

D(2,0),OD=2,

.\ON=DC=OC-OD=3-2=l,

..NE=AN=AO-ON=3-1=2,

點七的坐標為(2,1).

方法二：

作點。關(guān)于4。的對稱點。，DD交AC于點、M,顯然￡花=。石,

作DW_Ly軸，垂足為N,交直線4c于點E,如圖4,

在RtAANE中，EN=AE.sin450=—AE,BPAE=42EN,

2

.,.當D、E、N三點共線時，DE+EN=DE+EN最小,

?.?A(0,3),C(3,0),

.,.//：y=-x+3,

/.M(/〃,-〃?+3),￡)(2,0),

?/DM_LAC,K/wxK&c=T，

,-m+3,

-1x-----=-1,

tn-2

M為DD的中點,

/.77(3,1),

.耳,=%=1,

.-.￡1(2,1).

方法三：如圖，5,過A彳勺射線AF//x軸，過。作射線。尸/小軸，DF與AC交于點E.

A(0,3),。(3,0),

OA=OC,ZAOC=90°,

:.ZACO=45°,

\AFIIOC,

：.ZFAE=45°.

AE

/.EF=A￡.sin450=

二當且僅當4b_1。尸時，DE+EF取得最小值，點M在整個運動中用時最少為:

DEAE

=——4-=DE+EF

I正

拋物線的解析式為y=；Y—|x+3,且C(3,0),

.??可求得。點坐標為(2,0)

則七點橫坐標為2,將x=2代入4/y=T+3.，得y=l.

所以E(2,l).

3

2.如圖，拋物線），=-/2+/回+c與*軸交于4y0）,8（1,0）兩點，與），軸交于點C,點。

為直線AC上方拋物線上的動點，OE_L線段4C于點E.

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖1,求線段O石的最大值；

（3）如圖2,連接8、BC,當MOC與以C、。、石為頂點的三角形相似時，求點。

的橫坐標.

-12-4/?+c=0

解：(1)將A(-4,0),8(1,0)代入)，=一一x2+bx+c,得：，3

4——+b+c=0

4

解得：”=々，

c=3

???拋物線的解析式為y=一，+3.

44

(2)在圖1中，過點。作_Lx軸，垂足為尸，DF交AC于點、M.

當x=0時，y=—X2--X+3=3,.??點。的坐標為(0,3).

■44

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d(k=0),

4+d=0

將4-4,0),C(0,3)代入y=b+d,得：.

d=3

解得：P=4>直線AC的解析式為y=+

]d=34

3c93

設(shè)點。的坐標為(x,--X---%+3)(-4<x<0),則點M的坐標為(x,：x+3),

444

3933

DM=—x2—x+3—(―x+3)=-x2~3x.

4444

在RtAAOC中，04=4,0C=3,：,AC=ylOA2+OC~=5.

，。/_Lx軸，DELAC,

:.ZDEM=ZAFM.

\ZDME=ZAMF,

.DEAFAOA：

DM-AAy"AC-5'

AL423?123…12

/.DE=—DM=——x~-----x=——(Zx+2)-+—,

55555

圖1

2

.,?當天=-2時，Z)E取得最大值，最大值為

（3）設(shè)DO,-。--24+3）由（2）知①若△CDESBCO則g二祭=：

4455DECCzJ

3??999,11

EF*-DF=-3/）■——/*-T

55420520_2Q_=1i=衛(wèi)

3產(chǎn)%313

“=、（，+4八&+3>=鄉(xiāng)+5

CECO3

②若△CDEsCBO,則—=—=

D匕DUT1

VAF+EF+CE-5

9,11

20_2O.=3L-21

_3?_i29

所以C嗚吟-J

2731

綜上所述，點D的橫坐標為坐標為一右或一方

在△CDE與ACOB中，ZCEl>ZBOC-90*

3.拋物線y=X2+法+5經(jīng)過點A(t,O)和點B(5t,0).(t>0)

⑴求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

⑵該拋物線與直線)，=2x+5相交于C.D兩點，點P是拋

物線上的動點且位于x軸下方，直線PM//y?,分別與x

軸和直線CD交于點M、N.連結(jié)PB,過點。作CQSM,

垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△CNQ與△P8M相似?若存在，求出滿足條件的

【解析】：

解：⑴將A(/,0)、B(5n0)代入)，=/+公+5,

,口\2+bt+5=0

得：9，

25t，5bt+5=0

fbi=-6fb?=6

解得：I4」.

t!=1t2=-l

Vr>0,

b=~6,

???該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為），=/-6.r+5.

（2）NCQN=NPMB=9（）°,

???若△CNQ與△PBM相似，則有必■=只1或&■=典.

NQBMNQPM

設(shè)點P的坐標為（x,f-6x+5）（1VXV5）,則點N的坐標為（x,2x+5）,點M的坐標

為（x,0）,點Q的坐標為（x,5）,

：.CQ=x,NQ=2x,PM=-/+6x-5,BM=5-x.

o

當g@=F乂時，有一x_-x+6x-5

而一麗’石5-x

解得：X|=—,X2=5:舍去），

2

???點尸的坐標為（與，-工）；

24

當空=典時，有其=_^zx_,

2

NQPM2x-X+6X-5

解得：*3=3,x?=5（舍去），

J點尸的坐標為（3,-4）.

綜上，存在點P,使得aCNQ與△P8M相似，點。的坐標為（◎,■工）或（3,-4）.

24

2

4.直線y=—c?與x軸相交于點,43,0）與），軸相交于點B,拋物線

y=——x2+bx+c經(jīng)過忌4,B.

（1）求點8的坐標以及拋物線的解析式；

（2）M（m,0）為工軸上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線A5和拋物線分別相交

于點P,N.點M在線段。4（不與O,A重合）上運動，若以點用P,N為頂點的三角形與

【解析】:

解：⑴??,>=--|x+c與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點8,

.??0=-2+c,解得c=2,

:,B(0,2),

:拋物線y=-2？+永+。經(jīng)過點A,B,

3

10

-12+3b+c=0解得.

>3，

c=2

c=2

???拋物線解析式為尸-￡『+2計2；

（2）由（1）可知直線解析式為）=?21+2,

3

???M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于不軸的直線與直線A4及拋物線分別交

于點P,N,

:.P(■〃，--/n+2),N(tn,-—zzr+-^-///+2),

333

22

：.PM=-2〃?+2,4M=3-in,PN=-^-m+—rn+2-(-—z/z+2)=-—ZH+4W.

33333

*/△BPN和^APM相似，且NBPN=ZAPM,

：,NBNP=N4MP=90°或NN8P=NAMP=90°,

①當NBN尸=90。時，則有8N_LMN,

???N點的縱坐標為2,

:.--nr+-^-m+2=2.解得一=0(舍去)或m=旦

332

：.M(―,0)；

2

②當NNBP=90。時，過點N作NC_L)，軸于點C,

則NN8C+NBNC=90°,NC=in,BC=-^-nr+—ni+2-2=-

3333

NNBP=90°,NN8C+/A8O=9()°

，ZABO=4BNC,.\R（ANCBSRSBOA,

J210

???1&=空，???衛(wèi)=_2^__二，解得〃?=0（舍去）或加=旦，

OB0A238

:?M（―,0）；

8

綜上，以8,P,N為頂點的三角形與△APM相似時，點M坐標（也，0）或（［工，0）

28

二.與已知非直角三角形相似，且已知三角形某邊在坐標軸上（平行）

如圖：已知拋物線y=+公+。（。=0）與x軸交點為A、B,在拋物線第三象限上有一

點C,在拋物線第二象限上有一點P,使得以P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似.

例1.已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于點A(-3,0),3(1,0),交y軸于點C,拋物線

的頂點為點O.

(1)拋物線的表達式及頂點。的坐標.

(2)若點廠是線段AO上一個動點，

①如圖1,當W+廣。的值最小時，求點〃的坐標；

②如圖2,以點A,F,。為頂點的三角形能否與AA3C相似？若能，求出點尸的坐標；

若不能，請說明理由.

【分析】(1)拋物線的表達式為：y=a(x+3)(x-1)=4,+2%-3),故一3々=3,解得：。=-1,

即可求解；

(2)①點。的坐標為：(-1,4),點A(-3,0),點C(0,3),作點。關(guān)于直線")的對稱軸R，

連接CR交4)于點尸，則點尸為所求點，即可求解；

②當/4O產(chǎn)=NA6C時，故OFs^CBA,OF//BC,直線的解析式為)，=一3*+3,直

線OF的解析式為y=-3,x,直線4)的解析式為y=2x+6,聯(lián)立直線?、AT＞的表達式

并解得：x=--，故點F(--，曳)；當ZAOF=Z.CAB=45°時，^AOF^CAB,ZCAB=45°,

555

OFVAC,直線Ob的解析式為y=—x,將上式與y=2x+6聯(lián)立并解得：x=-2,即可求

解.

【解答】解：⑴拋物線的表達式為：y=?(A+3)(A-l)=?(x2+2x-3),

故一3〃=3,

解得：a=—\,

故拋物線的表達式為：.yn-f-Zx+B,

函數(shù)的對稱軸為：x=-L故頂點。的坐標為：(-1,4)；

(2)①點。的坐標為：(-1,4),點4-3,0),點(7(0,3),

作點O關(guān)于直線4。的對彌軸K，連接CR交A力于點尸，則點尸為所求點,

連接顧，設(shè)直線OR交AD于點”，

由點A、。的坐標得，直線AQ的表達式為：y=2x+6①，

則lanZDAO=2=lana,

121

設(shè)4HOA=4/3,則tan〃=一,則cos/?=-j=,sin/?=—^=,

2V5\5

Z1)

OH=AO?cos8——f=>OR=2OH=—j=,

V5x/5

^=O/?sin/?=y,同理/=—g,故點R(—y).

由點R、C的坐標得，直線AC的表達式為：)，=L+3…②,

8

聯(lián)立①②并解得：X=~,y=y,

則點尸(一^,—):

55

②在RlAACD中，tanZGW=—=^=-,

AC3x/23

在RtAOBC中，tanZOCB=—=-

OC3

:.ZCAD=ZOCB,

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

.\ZFAO=ZACI3,

若以A,F,。為頂點的三角形與AABC相似，則可分兩種情況考慮:

當/^。/二乙姐。時，MOF^CBA,

：.OF/IBC,

設(shè)直線BC的解析式為），=去+b,

將點A、。的坐標代入上式并解得：

直線BC的解析式為y=-3x+3,

直線OF的解析式為y=-3x,

直線AD的解析式為y=2%+6,

聯(lián)立直線O/、4。的表達式并解得：x=-2,故點尸（_9,更）：

555

當NAQ/=NC4B=45。時，/SAOF^ACAB,

?.?NC4B=45。，

:.OFLAC,

二.直線OF的解析式為y=—,

將上式與y=2x+6聯(lián)立并解得：x=-2,

故點〃（-2,2）；

綜合以上可得尸點的坐標為（號，晟）或（々2）.

例2.如圖，二次函數(shù)），=〃f+Zu?（際0）的圖象經(jīng)過點4（1,4）,對稱軸是直線犬=一3，線

2

段A。平行于x軸，交拋物線于點。.在），軸上取一點C10,2），直線AC交拋物線于點8,

連結(jié)。A、OB、OD、BD.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）求點B坐標和坐標平面內(nèi)使△的點E的坐標。

【解析】:

解：（1）Vy=ax1+bx（^0）的圖象經(jīng)過點A（1,4）,且對稱軸是直線x=-1.5,

a+b=4

???,b3，

I2a-2

解得：戶1,

lb=3

???二次函數(shù)的解析式為)，=『+3%；

(2)如圖1,

???點A(1,4),線段A￡＞平行于x軸，

???。的縱坐標為4,

A4=A2+3X,

；?X1=-4,X2=1，

:?D(-4,4).

設(shè)直線AC的解析式為了=h+〃，由題意，得

(4二k+b,

I2=b

解得：1二2,

lb=2

?"?y=2x+2；

當2A-+2=f+3x時，

解得：x)=-2,%2=1(舍去).

-2.

：.B(-2,-2).

???。。=4&,8。=2&,BD=2VI5，OA=V17-

ADO2=32,2=8,BD2=40,

：.DO~+BO1=Bb1,

???△BOO為直角三角形.

Y4EODs/\AOB,

:?NEOD=NAOB,

0D=0E=4V2=2

而二OA=2加一，

ZAOB-ZAOD=ZEOD-NAOD,

???NBOO=N4OE=90°.

即把△AOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90。，OB落在0。上方，04落在OE上人

，Ai（4,-1）,

???E（8,-2）.

作AAOB關(guān)于x軸的對稱圖形，所得點E的坐標為（2,-8）.

J當點￡的坐標是（8,-2）或（2,-8）IM，△EOD^AAOB

過關(guān)檢測（15mins）

1.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線），=潑+法-5,與4軸交于民5,0）

兩點，與），軸交于點C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點。是），軸上的一點，且以4,C,。為頂點的三角形與AA8C相似，求點。

的坐標;

【解答】解：⑴???點A(-LO)，3(5,0)在拋物線產(chǎn)加+加-5上,

a-h-5=0

"'25a+5b-5=0f

a=1

<，

b=-4

二拋物線的表達式為y=f—4x—5,

令x=0,則y=-5,

C(0,-5)>

/.OC=OB,

:./OBC=/OCB=A50,

/.AB=6,BC=5\/2?AC=V26

要使以3,C,。為頂點的三角形與AA8C相似,

???ZACBH/BCD,

mi右ABBC-isABBC

則有一=—或一=

CDBCBCCD

①嗒嘴時,

CD=AB=6，

D(O,I),

②當空=變時,

CBCD

6_55/2

W2=CD*

：.CD=—,

3

既0,亍)

即：。的坐標為(0,1)或(0,與).

2.在平面直角坐標系中，如圖1,拋物線丁二以2+加+，的對稱軸為x=|,與X軸的交點

A(—1,0)與〉，軸交于點C(0,—2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)將該拋物線沿射線AC的方向進行平移，平移后論拋物線與直線AC的交點為A、C

(點C在點4'的下方)，與x軸的交點為/T,當二ABC與AA47T相似時，求出點4的

橫坐標.

【解析】：

解：⑴由對稱性可知B(4,0)

設(shè)拋物線解析式為尸a{x+l)(x-4)

將(0,—2)代入得〃

/.3J=-x2--x-2.

22

(2)由點4-1,0),。(0,-2)得直線AC的解析式為)，=一2%一2

設(shè)點4坐標為3,-2〃-2),由平移的性質(zhì)，可知AC=AC=逐

平移距離為A4=石(〃+1)

:.AC=^a+2)

當^AB,C,與aAAb相似時，只有當△A4B

AB'1=A4rxAC=5(。+1)(。+2)

過點*作A4'的平行線，交原拋物線干點/?,連接AD,

由平移知四邊形ADBA：為平行四邊形，點D的縱坐標為為+2

設(shè)點。的橫坐標為〃？，貝！點3'坐標為(m+a+1,0)

2

4*2=(in+a+2)=5(〃+1)(。+2),①

13

將點D(〃?,2a+2)代入y=-x2--x-2^

—m2--m-2=2a+2,②

22