七上北師大專題05線段和角的動態(tài)問題（兩種技巧精講精練+過關(guān)檢測）（解析版）

專題05線段和角的動態(tài)問題（兩種技巧精講精練+過關(guān)檢測）類型一：線段中的動態(tài)問題題型01與線段中點有關(guān)的動點問題【典例分析】【例1-1】（22-23七年級上·重慶梁平·期末）已知線段，點是線段上的一個動點，點分別是和的中點．則的長為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由點分別是和的中點可得，再由進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：點分別是和的中點，，，故選：D．【點睛】本題主要考查了與線段中點有關(guān)的計算，線段的和差，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．【例1-2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖，已知，點為線段上的一個動點，分別是的中點；①若點恰為的中點，則；②若，則；（2）如圖，點為線段上的一個動點，分別是的中點；若，則；【答案】66【分析】本題考查了與線段中點有關(guān)的計算、線段的和差，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出線段之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)線段的中點、線段的和差進(jìn)行計算即可；②根據(jù)線段的中點、線段的和差進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)線段的中點、線段的和差進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）①點恰為的中點，，，分別是的中點，，，，故答案為：；②，，，分別是的中點，，，，故答案為：；（2）分別是的中點，，，，故答案為：．【例1-3】（23-24七年級上·陜西寶雞·期末）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示，請按要求回答下列問題：

(1)線段的中點D表示的數(shù)是幾？(2)線段的中點E與點D的距離是多少？(3)如果點B是線段上的動點，的長度有變化嗎？為什么？【答案】(1)；(2)4；(3)沒有，理由見解析．【分析】本題考查線段的中點，數(shù)軸上的點之間的距離：（1）先得出點A，B，C表示的數(shù)分別為，，，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離，即可得出答案；（3）設(shè)點B表示的數(shù)為b，線段的中點D表示的數(shù)是；線段的中點E表示的數(shù)是，進(jìn)而求出的長度，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點A，B，C表示的數(shù)分別為，，，∴線段的中點D表示的數(shù)是；（2）解：∵點A，B，C表示的數(shù)分別為，，，∴線段的中點E表示的數(shù)是，∴E與點D的距離是；（3）解：設(shè)點B表示的數(shù)為b，∴線段的中點D表示的數(shù)是，線段的中點E表示的數(shù)是，∴的長度，∴的長度沒有變化．【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級上·河南平頂山·期末）已知線段，點C是線段上的動點，且P是的中點，Q是的中點，則線段的長是（

）A．20cm B．13cm C．10cm D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查了與線段中點有關(guān)的計算，線段的和差運算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段中點的定義．如圖所示，先根據(jù)線段中點的定義得到，，再由即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，

∵P，Q分別是，的中點，∴，，∴，故選B．【變式1-2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖，已知，點C為線段上的一個動點，D、E分別是、的中點；①若點C恰為的中點，則cm；②若，則cm；（2）如圖，點C為線段上的一個動點，D、E分別是的中點；若，則；

【答案】66/【分析】本題考查了兩點間的距離，注意同一條直線上的兩條線段的中點間的距離等于這兩條線段和的一半．根據(jù)線段的中點性質(zhì)，可得線段的中點分線段相等，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：（1）①∵，點C恰為的中點，∴,∵D、E分別是、的中點,∴,,∴，②∵，，∴,∵D、E分別是、的中點,∴,,∴，故答案為：6，6；（2）DE的長度與點C的位置無關(guān)；因為點D、E分別是、的中點，∴，∴．故答案為：．【變式1-3】（23-24七年級上·全國·期末）已知a、b滿足，，且有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A、B、C．(1)則，，；(2)點D是數(shù)軸上A點右側(cè)一動點，點E、點F分別為中點，當(dāng)點D運動時，線段的長度是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變，請求出其值．【答案】(1)2，，(2)不變，【分析】此題考查了數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點能求出兩點間的距離．（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c的值即可；（2）根據(jù)中點的定義得到，，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵a、b滿足，．解得．．故答案為：2，，；（2）解：如圖，當(dāng)點D運動時，線段的長度不發(fā)生變化，理由如下：∵點E、點F分別為中點，∴，，，，∴當(dāng)點D運動時，線段的長度不發(fā)生變化，其值為．題型02線段和差倍分關(guān)系中的動線段問題【典例分析】【例2-1】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7(2)3或5【分析】本題主要考查了與線段中點的有關(guān)線段和差計算：（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點的定義求出，由線段的和差即可得到AD的長．（2）分當(dāng)點E在點F的左側(cè)時和當(dāng)點E在點F的右側(cè)時，畫出圖形，根據(jù)線段的倍數(shù)關(guān)系和和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解題．【詳解】（1）解：∵，，，，為中點，，，∴，∴；（2）解：當(dāng)點在點的左側(cè)，如圖2，∵，，點是的中點，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；如圖3，當(dāng)點在點的右側(cè)，，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【例2-2】（22-23七年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．

(1)如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)(2)的長為或【分析】本題考查了與線段中點有關(guān)的計算、線段的和差，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意得出，，由線段的中點得出，再求出的長，最后由計算即可得出答案；（2）分兩種情況：當(dāng)點在點的左側(cè)，當(dāng)點在點的右側(cè)，分別計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，，∵為中點時，∴，∴，∴；（2）解：當(dāng)點在點的左側(cè)，

，∵，，∴，∴是的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴圖2（）這種情況求不出；當(dāng)點在點的右側(cè)，

，∵，，∴，∵，∴，∵，∴圖3（）這種情況求不出；綜上所述，的長為或．【例2-3】（23-24七年級上·安徽蚌埠）已知點C在線段上，，點D、E在直線上，點D在點E的左側(cè)，(1)若，，線段DE在線段上移動，①如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；②當(dāng)點C是線段的三等分點時，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求．【答案】(1)①7；②或(2)或．【分析】本題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質(zhì)、線段的和差、準(zhǔn)確識圖分類討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件得到，①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；②當(dāng)點C線段DE的三等分點時，可求得或，則或，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點E在線段之間時，設(shè)，則，求得，設(shè)，得到，求得，當(dāng)點E在點A的左側(cè)，設(shè)，則，設(shè)，求得，得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，①∵E為中點，∴，∵，∴，∴；②∵點C是線段DE的三等分點，，∴或，∴或，∴或；（2）當(dāng)點E在線段之間時，如圖，設(shè)，則，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∴∵，∴，∴，∴x，∴；當(dāng)點E在點A的左側(cè)，如圖，設(shè)，同理，設(shè)，∴，∴∵，∴，∴，∴∴，當(dāng)點E在線段上及點E在點B右側(cè)時，無解，綜上所述的值為或．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）如圖，點C在線段上，，．(1)；．(2)若點D、E在過線上，點D在點E的左側(cè)，線段DE在線段上移動，．①如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；②點F（異于A，B，C點）在線段上，，，畫出圖形，求的長；【答案】(1)12，6(2)①7；②的長為3或5．【分析】本題考查了兩點間的距離，線段中點的性質(zhì)，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可求得，；（2）①根據(jù)中點定義求出，由線段的和差即可得到的長；②點（異于，，點）在線段上，，，確定點是的中點，即可求的長．【詳解】（1）∵，，，；（2）如圖1，為中點，，，，；②Ⅰ、當(dāng)點在點的左側(cè)，如圖2，，，點是的中點，，，；，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點在點的右側(cè)，，，，，．，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【變式2-2】（22-23七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點C在線段上，，點D、E在直線上，點D在點E的左側(cè)，若，線段在線段上移動，(1)如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；(2)當(dāng)點C是線段的三等分點時，求的長．【答案】(1)7(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；（2）當(dāng)點線段的三等分點時，可求得，則，由線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，為中點，，，，；（2）解：點是線段的三等分點，，當(dāng)點靠近點時，，，；當(dāng)點靠近點時，，．【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是需要進(jìn)行分類討論求解【變式2-3】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期中）已知點C在線段上，，線段在直線上移動（點D，E不與點A，B重合）．(1)若，，線段在線段上移動，且點D在點E的左側(cè)，①如圖，當(dāng)點E為中點時，求的長；②點F（不與點A，B，C重合）在線段上，，，求的長；(2)若，，請直接寫出與存在的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②的長為或(2)或或或【分析】本題考查了兩點間的距離，比較難，需要仔細(xì)思考和解答．（1）根據(jù)已知條件得到，，①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；②如圖1，當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，當(dāng)點F在點C的左側(cè)時，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）分點E在點C右側(cè)，點D在點E左右兩側(cè)，點E在點C左側(cè)，點D在點E左右兩側(cè)共四種情況，分別討論可得．【詳解】（1）解：，，，，①為中點，，，，；②如圖1，當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，，，，；當(dāng)點F在點C的左側(cè)時，，，，，；綜上所述，的長為或．（2）解：①點E在點C右側(cè)，點D在點E左側(cè)時，如圖3所示，，，，，，，，，，，；②點E在點C右側(cè)，點D在點E右側(cè)時，如圖4所示，，，，，，，，，，，；③點E在點C左側(cè)，點D在點E左側(cè)時，如圖5所示，，，，，，，，，，，；④點E在點C左側(cè)，點D在點E右側(cè)時，如圖6所示，，，，，，，，，，，；綜上所述，或或或．題型03線段中的存在性探究問題【典例分析】【例3-1】（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）點Ａ，在數(shù)軸上的位置如圖所示，點是數(shù)軸上的一動點．(1)若，則點表示的是什么數(shù)？(2)若，且點是的中點，求線段的長．(3)是否存在點，使的值最小？若存在，則點在數(shù)軸上的什么位置？的最小值是多少？【答案】(1)3或9(2)或(3)存在，P在A、B兩點之間，8【分析】本題主要考查了兩點間的距離、數(shù)軸的特征等知識點，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）分點P在點B的左邊和右邊兩種情況，分別求出點P表示的數(shù)即可；（2）先分點P在點B的左邊和右邊兩種情況，先分別的長，再根據(jù)點Q是的中點，求得線段的長即可；（3）根據(jù)圖示，可得當(dāng)點P在A、B兩點之間時，的值最小，據(jù)此判斷并求解即可．【詳解】（1）解：①點P在點B的左邊時，∵，，∴點P表示的是3．②點P在點B的右邊時，∵，，∴點P表示的是9．綜上，可得點P表示的是3或9．（2）解：∵，∴線段的長度是8．①點P在點B的左邊時，∴，∵點是的中點，∴，∴線段的長是．②點P在點B的右邊時，∵，∵點是的中點，∴，∴線段的長是．綜上，可得線段的長是2.5或5.5．（3）解：如圖：當(dāng)點P在A、B兩點之間時，的值最小，此時，所以的最小值是8．【例3-2】（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．已知結(jié)論：數(shù)軸上點表示的數(shù)分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數(shù)為．【知識運用】（）點表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數(shù)為______．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，點是線段的中點．①點表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；③線段的長度隨時間的變化而變化，當(dāng)點在點左側(cè)時，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請說明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此時定值．【分析】（）根據(jù)題意，求出，再根據(jù)結(jié)論解答即可求解；（）根據(jù)題意，表示出秒后點表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點計算公式求解即可；根據(jù)線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；根據(jù)兩點之間的距離公式求出，得到，當(dāng)時即可求出常數(shù)的值，進(jìn)而求出定值．【詳解】解：（）∵與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，∴，，∴；線段的中點表示的數(shù)為；故答案為：；；（）秒后，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∵點是線段的中點，∴點表示的數(shù)是，故答案為：；當(dāng)點為中點時，則，解得，不合，舍去；當(dāng)點為中點時，則，解得；當(dāng)點為中點時，則，解得；∴運動時間的值為或；當(dāng)點在點左側(cè)時，，，∴，當(dāng)時，∴，此時，定值．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線段中點計算公式是解題的關(guān)鍵．【例3-3】（21-22七年級上·陜西西安·期末）如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點P以0.5cm/s的速度從點A沿線段AC向點C運動；同時點Q以1cm/s從點C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運動（即沿C→B→C→B→…運動），當(dāng)點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．(1)當(dāng)t＝1時，PQ＝cm；(2)當(dāng)t為何值時，點C為線段PQ的中點？(3)若點M是線段CQ的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)3.5(2)t為2或時，點C為線段PQ的中點(3)存在，PM的長度為3cm或1cm，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可求出AC的長，AP和CQ的長，再由即可求出PQ的長；（2）由題意可得出t的取值范圍，再根據(jù)點C在線段CB上做來回往返運動，可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即時，分別用t表示出CP和CQ的長度，再根據(jù)中點的性質(zhì)，列出等式，求出t的值即可；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即時，同理求出t的值即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即時，同理求出t的值即可．最后舍去不合題意的t的值即可．（3）同理（2）可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即時，分別用t表示出CP和CM的長度，再根據(jù)，求出即可；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即時，同理求出即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即時，同理求出即可．最后根據(jù)判斷所求PM的代數(shù)式中是否含t即可判斷．【詳解】（1）解：當(dāng)時，∵∴，∴．故答案為：3.5．（2）∵點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，∴．∵∴．①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即時，此時，，∴，∵點C為線段PQ的中點，∴，即，解得：；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即時，此時，，∴，解得：，不符合題意舍；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即時，此時，，∴，解得：；綜上可知，t為2或時，點C為線段PQ的中點；（3）根據(jù)（2）可知．∵點M是線段CQ的中點，∴CM=QM．①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即時，此時，．∵，∴，∴此時PM為定值，長度為3cm，符合題意．②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即時，此時，，∴，∴此時PM的長度，隨時間的變化而變化，不符合題意；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即時，此時，，∴，∴此時PM為定值，長度為1cm，符合題意．綜上可知PM的長度為3cm或1cm．【點睛】本題考查線段的和與差，線段的中點的性質(zhì)，與線段有關(guān)的動點問題．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式演練】【變式3-1】（23-24七年級上·廣東深圳·期中）在數(shù)軸上，如果A點表示的數(shù)記為a，點B表示的數(shù)記為b，則A、B兩點間的距離可以記作或．我們把數(shù)軸上兩點之間的距離，用兩點的大寫字母表示，如：點A與點B之間的距離表示為．如圖，在數(shù)軸上，點A，O，B表示的數(shù)為，0，．(1)直接寫出結(jié)果，，；(2)設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x．①若點P為線段的中點，則；②若點P為線段上的一個動點，則的化簡結(jié)果是；(3)動點M從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸在A，B之間向右運動，同時動點N從B出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿數(shù)軸在A，B之間往返運動，當(dāng)點M運動到B時，M和N兩點停止運動．設(shè)運動時間為t秒，是否存在t值，使得？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①1；②(3)存在，t＝1，，7或【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的計算方法，即可得到答案；（2）①根據(jù)想斷中點的定義，得到，列方程并求解，即得答案；②若點P為線段上的一個動點，則，根據(jù)兩點之間的距離的計算方法，即得答案；（3）先求出點M表示的數(shù)，的長，然后分和兩種情況，分別求出的長，再列方程分別求解，即得答案．【詳解】（1）（1），，故答案為：，．（2）①點P為線段的中點，，，解得；故答案為：1．②點P為線段上的一個動點，；故答案為：．（3）點M表示的數(shù)為，，當(dāng)時，點N表示的數(shù)為，，當(dāng)時，點N表示的數(shù)為，，當(dāng)時，|解得或；當(dāng)時，，解得或；．存在t值，，，7或，使得．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，線段中點的定義，數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，絕對值的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖1，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，將這兩點在數(shù)軸上以相同的速度同時相向運動，若A，B分別到達(dá)M，N兩點（我們用表示以點A、點B為端點的線段的長，、表示的含義以此類推），且滿足（k為正整數(shù)），我們稱兩點完成了一次“準(zhǔn)相向運動”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續(xù)運動，分別到達(dá)，兩點，且滿足（k為正整數(shù)）我們稱兩點完成了二次“準(zhǔn)相向運動”…．(1)若A，B兩點完成了一次“準(zhǔn)相向運動”．①當(dāng)時，M，N兩點表示的數(shù)分別為、；②當(dāng)k為任意正整數(shù)時，求M，N兩點表示的數(shù)；(2)如圖2所示，若A，B兩點完成了兩次“準(zhǔn)相向運動”，并分別到達(dá)，兩點，若k不變，求，兩點所表示的數(shù)（用含k的式子表示）；(3)若A，B兩點完成了n次“準(zhǔn)相向運動”，并分別到達(dá)兩點，當(dāng)時是否存在點，使其表示的數(shù)為65？如果存在，求完成的次數(shù)n和此時點所表示的數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】(1)①5，；②M點為，N點為(2)為，為(3)存在，n為5，為【分析】（1）①由題意可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②根據(jù)，可得，即可．（2）由（1）中②可得兩點的值，再進(jìn)行一次“準(zhǔn)相向運動”計算，根據(jù)點和也關(guān)于AB中點1對稱，且k值不變即可求解．（3）根據(jù)題意可得，根據(jù)，可得點，到的中點的距離相等，從而表達(dá)出對應(yīng)和的值，從特殊取值過程中，研究n和點以及點的關(guān)系，總結(jié)出一般規(guī)律進(jìn)行解題．【詳解】（1）解：①∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴，又∵，，∴M點為5，N點為，故答案為：5，．②∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴，且AB中點所對應(yīng)的數(shù)為1，又∵，∴中點所對應(yīng)的數(shù)也為1，∵，，∴M點為，即，N點為，即；（2）解：由（1）中②可得M點為，N點為，點和也關(guān)于中點1對稱，∴．∴，∴．∴為，為．（3）解：存在，理由：∵，A，B兩點完成了n次“準(zhǔn)相向運動”，∴，∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴的中點所表示的數(shù)為1，∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴，∴點，到的中點的距離相等，當(dāng)n為1時，根據(jù)（1）得：此時點為5，為，當(dāng)n為2時，為，為，當(dāng)n為3時，為，為，當(dāng)n為4時，為，為，以此類推發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時，為正數(shù)，而正數(shù)的規(guī)律是，令，∴，∴，∴．．當(dāng)表示的數(shù)為65時，，解得：．又∵和關(guān)于1對稱，∴為．答：存在次數(shù)n使得為65，此時n為5，為．【點睛】本題考查列代數(shù)式的表達(dá)能力，數(shù)軸上表示數(shù)，利用數(shù)軸上線段中點解決相關(guān)問題，乘方，數(shù)的規(guī)律總結(jié)能力以及數(shù)軸相關(guān)知識運用，難度偏大，利用數(shù)形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵【變式3-3】（23-24七年級上·遼寧丹東·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出如下問題：如圖1，在長方形的邊AB上存在一動點G，點P、Q分別是、的中點，連接、．當(dāng)點G在線段AB邊上移動時，試探究三角形的面積是否發(fā)生變化？設(shè)，，且a、b滿足．①直接寫出__________，__________；②小明同學(xué)認(rèn)為當(dāng)點G在線段AB邊上移動時，線段的長度并沒有發(fā)生變化，故三角形的面積也不發(fā)生變化．請你根據(jù)小明同學(xué)的解題思路，求出三角形的面積；【類比分析】（2）王老師在問題（1）的基礎(chǔ)上將圖1的長方形改成正方形．設(shè)點O是正方形的中心，并提出了下面的問題，請你解答．如圖2，在邊長為m的正方形中，動點G在AB邊上，點P、Q分別是、的中點，連接、．當(dāng)點G移動的過程中，三角形的面積是否發(fā)生變化？如果不變化，請求出這個三角形的面積（用含m的代數(shù)式表示），如果變化，請說明理由；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在正方形中，設(shè)點O是正方形的中心，點G、H分別在AD、AB邊上，點P是的中點，連接、．當(dāng)四邊形的面積為正方形面積的時，請寫出線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）①，②；（2）不變，；

（3）【分析】本題考查絕對值得非負(fù)性，中點的定義，三角形的面積，能根據(jù)重點的定義計算是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)絕對值的非負(fù)性計算即可；②根據(jù)中點的定義得到，，然后根據(jù)解題即可；（2）根據(jù)中點得到，，即可求出長，根據(jù)面積公式計算即可；（3）過點作，，設(shè)正方形邊長為，，可以推出，然后用x，a表示的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵，，，∴，解得：，；②∵為中點，為中點，∴，，∴，∴，∴長度不變，面積不變，為；（2）不變，理由如下：∵為中點，為中點∴，，∴，∵為正方形的中心，∴點到AB距離與于，∴；（3）設(shè)正方形邊長為，，過點作，，∴，則，又∵，∴，又，∴，即，∴，∴，∴，，∴．類型二：角中的動態(tài)問題題型01求角度問題【典例分析】【例4-1】（21-22七年級上·湖南長沙·期末）如圖1，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂樂想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖2，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為，兩點，兩腳腳跟位置分別為，兩點，定義，，，平面內(nèi)為定點，將手腳運動看作繞點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：(1)填空：如圖2，，，三點共線，且，則______°(2)第三節(jié)腿部運動中，如圖3，歡歡發(fā)現(xiàn)，雖然，，三點共線，卻不在水平方向上，且．她經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，的值為定值，請判斷歡歡的發(fā)現(xiàn)是否正確，如果正確請求出這個定值，如果不正確，請說明理由；(3)第四節(jié)體側(cè)運動中，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開且，開始運動前、、三點在同一水平線上，、繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為，旋轉(zhuǎn)速度為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，運動停止，如圖4①運動停止時，直接寫出______；②請幫助樂樂求解運動過程中與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)90(2)正確，代數(shù)式的值為；(3)①；②當(dāng)時，；當(dāng)時，．【分析】（1）由A，O，B三點共線，可得出，再由兩角相等，可得出；（2）由，設(shè)，則，分別表達(dá)和，再求比值，可得結(jié)論；（3）①算出運動停止時的時間，求出運動的角度，進(jìn)而求出的度數(shù)；②由的運動過程可知，需要分類討論，在點C，O，A共線前，和共線后兩種狀態(tài)，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵A，O，B三點共線，∴，∵，∴．故答案為：90；（2）∵，設(shè)，則，∴，，∴．∴歡歡的發(fā)現(xiàn)是正確的，代數(shù)式的值為；（3）解：∵，∴，，設(shè)運動時間為，則，則．①運動停止時，即時，OA旋轉(zhuǎn)的角度為，∴，故答案為：；②當(dāng)點C，O，A三點共線時，；∴當(dāng)時，，，∴；當(dāng)時，，，∴．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查角的和差的相關(guān)計算，發(fā)現(xiàn)圖形中角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵【例4-2】（22-23七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）一套三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點P以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時停止運動，設(shè)三角尺的運動時間為t．(1)當(dāng)時，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)是___________度；(2)若在三角尺開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺也繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊平分．②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或者(2)①，②或時，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可計算得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)知，的旋轉(zhuǎn)角為，的旋轉(zhuǎn)角為，①根據(jù)PB平分和平角的定義列出方程即可計算得出；②分PA在PC左側(cè)和右側(cè)兩種情況表示出，根據(jù)已知建立方程即可解得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)秒時，旋轉(zhuǎn)了：∵是等腰直角三角形，∴，此時，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)是：或，故答案為：或者；（2）①由旋轉(zhuǎn)知，的旋轉(zhuǎn)角為，的旋轉(zhuǎn)角為，∴邊旋轉(zhuǎn)的角度為：；邊旋轉(zhuǎn)的角度為：；∴依題意得：，即：∴秒；②根據(jù)①中已得：，，，，當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖由旋轉(zhuǎn)知：根據(jù)：，，，，可得：，，根據(jù)題意：，得：，即：，∴秒；當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖所示：根據(jù)：，，，，可得：，，若，則，解得，（秒）．當(dāng)PB在PD的右側(cè)時，，，則，解得，（秒），此時PB在PD的左側(cè)，不符合題意，舍去，綜上所述：或時，．【點睛】本題是幾何綜合題，主要考查了角度的和與差，旋轉(zhuǎn)的知識，量角器的識別，表示出是解的關(guān)鍵．【例4-3】（22-23七年級上·貴州貴陽·期末）已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動，將繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．求的大?。ㄓ胻的代數(shù)式表示）；(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大小．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）①將轉(zhuǎn)化為即可得；②依據(jù)、，將原式轉(zhuǎn)化為計算可得；（2）設(shè)運動時間為t秒，，只需表示出即可得出答案，而在與相遇前、后表達(dá)式不同，故需分與相遇前后即和兩種情況求解；（3）設(shè)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，則也繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，再分①射線在射線同側(cè)；②射線在射線異側(cè)，分別求解即可．【詳解】（1）①，②；故答案為：；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，則，，①時，與相遇前，，∴；②時，與相遇后，，∴；（3）設(shè)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，則也繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，①時，如圖①，在射線同側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴；②時，如圖②，在射線異側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴．綜上，．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計算、角平分線的定義及分類討論思想的運用【變式演練】【變式4-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，OB為內(nèi)一條射線，的余角等于它自身．(1)求的度數(shù)；(2)射線從開始，在內(nèi)以2°/s的速度繞著O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到停止，同時射線在內(nèi)從開始以3°/s的速度繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到停止，設(shè)運動時間為t秒．①若，運動的任一時刻，均有，求的度數(shù)；②為內(nèi)任一射線，在①的條件下，當(dāng)時，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為________．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)余角的定義列方程解答即可；（2）①分別用的代數(shù)式表示出、，，根據(jù)列方程解答即可；②當(dāng)與重合時，以為邊所有角的度數(shù)和的有最小值，把代入計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則的余角，依題意有：，，；（2）解：①運動時間為秒，則，，，，設(shè)，又，則有：，解得：，，②當(dāng)與重合時，以為邊所有角的度數(shù)和的有最小值，當(dāng)時，，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為：．故答案為：【點睛】本題主要是考查了角的計算，能夠根據(jù)題目，進(jìn)行分類討論，是解答此題的關(guān)鍵【變式4-2】（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，是直線上一點，射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，從出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從出發(fā)，射線與同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，都停止運動．(1)猜想：__________，并說明理由；(2)已知射線始終平分，射線在內(nèi)，且滿足與互余．①當(dāng)秒時，__________；②在運動過程中，試探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)180，理由見解析(2)①60；②，理由見解析【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，余角的定義：（1）根據(jù)題意可得，再由，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得，再由余角的定義，即可求解；②根據(jù)題意可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，再由余角的定義，可得，然后分別求出與的度數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：根據(jù)題意得：，∵，∴；故答案為：180（2）解：①當(dāng)秒時，，∵與互余，∴；故答案為：60②，理由如下：如圖，根據(jù)題意得：，∵射線始終平分，∴，∵與互余，∴，∴，∴，∴．【變式4-3】（22-23七年級上·浙江臺州·期末）如圖1，點O是直線上一點，三角板（其中）的邊與射線重合，將它繞O點以每秒m°順時針方向旋轉(zhuǎn)到邊與重合；同時射線與重合的位置開始繞O點以每秒n°逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，兩者哪個先到終線則同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)若，，秒時，________°；(2)若，，當(dāng)在的左側(cè)且平分時，求t的值；(3)如圖2，在運動過程中，射線始終平分．①若，，當(dāng)射線，，中，其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線時，直接寫出________秒；②當(dāng)在的左側(cè)，且與始終互余，求m與n之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)100(2)(3)①或30或48；②【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)平分線的性質(zhì)得，再由平角為即可求解；（3）①當(dāng)是的角平分線，當(dāng)是的角平分線時，當(dāng)是的角平分線時，分三種情況進(jìn)行計算即可，②由與始終互余，得出，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)，，秒時，，，，；故答案為：100；（2）解：，又在的左側(cè)且平分，解得：，（3）解：①當(dāng)是的角平分線時，如圖所示：又始終平分，，當(dāng)是的角平分線時，如圖所示：又始終平分，，此時射線與重合，解得：，當(dāng)是的角平分線時，如圖所示：又始終平分，，又，，解得：，故答案為：或30或48；②當(dāng)在的左側(cè)時，如圖所示：又始終平分，與始終互余，，化簡得：．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平角的定義，解題的關(guān)鍵是能采用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解答．題型02定值問題【典例分析】【例5-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，點О在直線上，射線分別在兩側(cè)，，，分別平分和，下列四個結(jié)論：①；②為定值；③；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)，則，，可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，故①正確；再由，可得②正確；再分別求出和，可得③正確；然后求出和，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，分別平分和，∴，∴，故①正確；，是定值，故②正確；∵，，∴，故③正確；∵，，∴，故④正確；故選：D【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，角與角的和與差，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例5-2】（22-23七年級上·山東青島·期末）在數(shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組用三角尺拼出了如下圖案：(1)圖①中，將一副三角尺的直角頂點O疊放在一起．若，則______，______．(2)圖②中，將兩個同樣的三角尺角頂點O疊放在一起，試判斷與的和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)65，115．(2)定值，【分析】（1）根據(jù)角的和差即可求得．（2）兩個同樣的三角尺角頂點O疊放在一起，重疊部分是2個，是定值．【詳解】（1）∵，∴，，故答案為：65，115．（2）是定值，∵兩個同樣的三角尺角頂點O疊放在一起，∴重疊部分是2個，∴一個與是，另一個與是∴，【點睛】此題考查了三角板角度問題，解題的關(guān)鍵是熟知三角板各個角的度數(shù)．【例5-3】（20-21七年級上·江蘇蘇州·期末）數(shù)學(xué)實踐課上，小明同學(xué)將直角三角板的直角頂點放在直尺的邊緣，將直角三角板繞著頂點旋轉(zhuǎn)．（1）若三角板在的上方，如圖1所示，在旋轉(zhuǎn)過程中，小明發(fā)現(xiàn)的大小發(fā)生了變化，但它們的和不變，即；（2）若分別位于的上方和下方，如圖所示，則之間的上述關(guān)系還成立嗎?若不成立，則它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明你的理由；（3）射線分別是的角平分線，若三角板始終在的上方，則旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是一個定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）90°；（2）不成立，，理由見解析；（3）是，135°【分析】（1）根據(jù)平角和直角的概念分析求解；（2）根據(jù)平角和直角的概念及角的和差關(guān)系分析求解；（3）根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系分析求解【詳解】解：（1）由題意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°∴當(dāng)三角板在的上方，故答案為：90°．（2）由題意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°若分別位于的上方和下方，∴，即故（1）中的關(guān)系不成立，之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）射線分別是的角平分線，∴∠AOM=，∠BON=，∴∵三角板始終在的上方，由（1）已得∴即的度數(shù)是一個定值為135°．．【點睛】本題考查角的和差計算及角平分線的定義，題目難度不大，掌握相關(guān)概念正確推理論證是解題關(guān)鍵．【變式演練】【變式5-1】（22-23七年級上·重慶開州·期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】結(jié)合圖形根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算即可判斷．【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；②當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，∴，，∴，當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故②正確；③時，時，時故③正確；④當(dāng)時，當(dāng)時，故④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論為①②③；故選：C．【點睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算．【變式5-2】（20-21七年級·四川成都·）已知，，平分，平分.（1）如圖，當(dāng)、重合時，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒（），在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.【答案】（1）35°；（2）是定值，35°【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠AOE和∠BOF的度數(shù)，然后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解；（2）首先由題意得∠BOC=3t°，再根據(jù)角平分線的定義得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分線的定義得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解可得．【詳解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如圖2，由題意∠BOC=3t°，則∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，∴∠AOE-∠BOF的值是定值．【點睛】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵【變式5-3】（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）數(shù)學(xué)實踐課上，小明同學(xué)將直角三角板的直角頂點O放在直尺的邊緣，將直角三角板繞著頂點O旋轉(zhuǎn)．(1)若三角板在的上方，如圖1所示．在旋轉(zhuǎn)過程中，小明發(fā)現(xiàn)、的大小發(fā)生了變化，但它們的和不變，即______°．(2)若、分別位于的上方和下方，如圖2所示，則、之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，則它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由；(3)射線、分別是、的角平分線，若三角板始終在的上方，則旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是一個定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)90(2)，理由見解析(3)的度數(shù)是一個定值，理由見解析【分析】本題考查了三角板中角度計算，與角平分線的有關(guān)的角的計算，掌握角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）由平角的性質(zhì)可求解；（2）由補角和余角的性質(zhì)可求解；（3）由角平分線的定義和平角的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：，；故答案為90；（2）解：，理由如下：，，；（3）解：的度數(shù)是一個定值，理由如下：射線、分別是、的角平分線，，，．題型03存在性探究問題【典例分析】【例6-1】（20-21七年級上·四川德陽·期末）已知為直線上的一點，是直角，平分．（1）如圖1，若，則；（2）當(dāng)射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，與之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在圖3中，若，在的內(nèi)部是否存在一條射線，使得？若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由見解析；（3）存在，16°【分析】（1）首先根據(jù)，是直角，求出∠EOF＝62°，然后根據(jù)平分求出∠AOE＝124°，最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）首先根據(jù)是直角，平分表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）首先根據(jù)是直角，平分求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然后代入求解即可．【詳解】解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；（2）結(jié)論：∠BOE＝2∠COF；理由如下：∵∠COE＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠COF，

∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；（3）存在；∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，∠EOF＝25°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，∴∠BOE＝130°，∵2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD），即2∠BOD+25°＝（130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．【點睛】此題考查了角平分線的有關(guān)運算，平角和直角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確分析圖形中各角之間的關(guān)系．【例6-2】（21-22七年級上·全國·單元測試）如圖，直線SN與直線WE相交于點O，射線ON表示正北方向，射線OE表示正東方向，已知射線OB的方向是南偏東m°，射線OC的方向是北偏東n°，且m°的角與n°的角互余(1)①若m＝50，則射線OC的方向是；②圖中與∠BOE互余的角有與∠BOE互補的角有．(2)若射線OA是∠BON的角平分線，則∠BOS與∠AOC是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請寫出你的結(jié)論以及計算過程，請說明理由．【答案】(1)①北偏東；②，；，；(2)，理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)互余即可直接得出；②根據(jù)題意結(jié)合等角的余角相等，等角得補角相等即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線可得，結(jié)合（1）中過程可得，由圖中角之間的數(shù)量關(guān)系求解即可得．【詳解】（1）解：①∵與互余，∴，當(dāng)時，，∴射線OC的方向是北偏東；②∵，∴圖中與互余的角有，∵與互余，∴，∴圖中與互余的角有，；∵，∴圖中與互余的角有，∵，∴的補角也是的補角，∴的補角有，；故答案為：①北偏東；②，；，；（2）解：，∵射線OA是的角平分線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查方位角的計算，包括余角、補角的計算，利用角平分線計算等，理解題意，找準(zhǔn)各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【例6-3】（23-24七年級上·廣東廣州·期末）已知：，過點引兩條射線，，且平分．

(1)如圖，若，，且點在內(nèi)部．①請補全圖形；②求出的度數(shù)；(2)若，求出，，三者的等量關(guān)系．(3)若，是否存在與互余？若存在，求的度數(shù)（用表示）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①見詳解；②(2)或(3)存在，或【分析】本題考查角平分線的定義，掌握角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形即可；②根據(jù)計算過程進(jìn)行解答即可；（2）分兩種情況，分別畫出相應(yīng)的圖形進(jìn)行計算即可．（3）分三種種情況，分別根據(jù)相應(yīng)的圖形進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）①解：補全圖形如圖所示：

②∵，又∵平分，（2）分兩種情況：

當(dāng)射線、射線在射線的同側(cè)時，如圖1所示，設(shè)∵平分，當(dāng)射線、射線在射線的異側(cè)時，如圖2所示，設(shè)∵平分，綜上，或．（3）若，，由（2）得當(dāng)時，，故，∴；當(dāng)時，，故，∴由（1）中圖得當(dāng)時，，故，∴；綜上，存在，或．【變式演練】【變式6-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知O為直線AB上的一點，是直角，平分．(1)如圖1，若，則∠BOE＝___；若，則∠BOE＝___；與的數(shù)量關(guān)系為___．(2)在圖2中，若，在的內(nèi)部是否存在一條射線，使得2∠BOD與∠AOF的和等于與的差的三分之一？若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)射線OE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由，若不成立，求出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)66°，，；(2)(3)【分析】（1）由題意可知：，由角平分線的性質(zhì)可求得，所以，即可求得答案．（2）由（1）可知：，進(jìn)而求得，由于平分，所以，分別代入解得即可；（3））由于是直角，于是，而平分，得出，，由此可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：（1）若，∵是直角，∴，∵平分，∴，∴；若，∵是直角，∴，∵平分，∴，∴；∴；故答案為：66°，，；（2）存在；∵，∴，，∵平分，∴，∵，即，解得；（3）和的關(guān)系不成立．設(shè)，則，，∴．【點睛】此題考查了角的計算，關(guān)鍵是利用角平分線認(rèn)真觀察圖形，找出角的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖①所示，，將直角三角板的直角頂點放置在O點，平分．(1)若，則______，______．(2)如果，，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得在的內(nèi)部，在的外部，若，，，是否還存在（2）中的數(shù)量關(guān)系，若存在，請說明理由，若不存在，請求出，的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；理由見解析(3)不存在，此時，滿足；理由見解析【分析】本題主要考查了結(jié)合圖形中角的計算，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線定義．（1）先根據(jù)，求出，根據(jù)角平分線定義得出，然后求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)，，得出，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)，即可得出答案；（3）根據(jù)，，得出，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，，∴；（2）解：，理由如下：∵，，∴，又∵平分，∴，∵且，∴，即．（3）解：不存在，此時，滿足；理由如下：∵，，∴，又∵平分，∴，∵，，，即，故．【變式6-3】（23-24七年級上·陜西西安·期末）如圖1，點O是彈力墻上一點，魔法棒從的位置開始繞點O向的位置順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到位置時，則從位置彈回，繼續(xù)向位置旋轉(zhuǎn)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)．第1步，從（在上）開始旋轉(zhuǎn)至；第2步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至；第3步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至，…．例如：當(dāng)時．，，，的位置如圖2所示，其中恰好落在上，；當(dāng)時，，，，，的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到后彈回，即，而恰好與重合．根據(jù)以上材料，解決如下問題：(1)若，則度數(shù)是；(2)若，恰好與重合，求的值；(3)若，是否存在對應(yīng)的值使？若存在，請求出對應(yīng)的α值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本題主要考查角度的計算的相關(guān)知識，可結(jié)合平角的性質(zhì)及角度的加減進(jìn)行計算分析．（1）根據(jù)題意，明確每次旋轉(zhuǎn)的角度，計算即可；（2）根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出的度數(shù)即可；（3）類比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)，，，∴，故答案為：；（2）解：如圖，∵，且，∴，由題可得：，解得：；（3）解：如圖，與都不回彈時，，解得；如圖，當(dāng)在的左邊，，∴，∴，解得：，如圖，當(dāng)在的右邊，根據(jù)題意得：，解得：，綜上，對應(yīng)的值是或或．一、解答題1．（23-24七年級上·全國·單元測試）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為，且．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時，的長為，點P表示的有理數(shù)為；(2)當(dāng)時，求t的值；(3)M為線段的中點，N為線段的中點．在點P運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．【答案】(1)2，；(2)或；(3)【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段的和差運算和線段的中點的定義，只要能夠畫出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問題要全面．（1）根據(jù)點P的運動速度，即可求出；（2）當(dāng)時，要分兩種情況討論，點P在點B的左側(cè)或是右側(cè)；（3）分兩種情況結(jié)合中點的定義可以求出線段的長度不變．【詳解】（1）解：因為點P的運動速度每秒2個單位長度，所以當(dāng)時，的長為2，因為點A對應(yīng)的有理數(shù)為，，所以點P表示的有理數(shù)為；（2）解：當(dāng)，要分兩種情況討論，點P在點B的左側(cè)時，因為，所以，所以；點P在點B的是右側(cè)時，，所以；（3）解：MN長度不變且長為5．理由如下：當(dāng)在線段上時，如圖，

∵M(jìn)為線段的中點，N為線段的中點，∴，，∴，∵，∴．當(dāng)在線段的延長線上時，如圖，

同理可得：；綜上：．2．（23-24七年級上·河北廊坊·期末）三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若平分，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角平分線，與三角板有關(guān)的角度計算．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，根據(jù)，計算求解即可；（2）由角平分線可得，．由，可得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知．∴，∴．（2）解：∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴，∴．3．（21-22七年級上·福建廈門·期末）如圖，射線繞點O從射線順時針向射線轉(zhuǎn)動，同時，點M從線段的端點E沿線段向端點F移動．如果當(dāng)射線轉(zhuǎn)動到的角平分線位置時，點M也恰好移動至線段的中點位置，我們稱點M為射線的半隨點．(1)若，射線，點M分別以的速度如圖所示方式運動，判斷點M是否為射線的半隨點？請說明理由；(2)已知，射線，點M分別以的速度如圖所示方式運動，若點M是射線的半隨點，求線段的長度（用含有m的式子表示）；(3)若點E在的邊上（不與點O重合），過點E作射線交邊于點F，射線繞點O從射線順時針向射線轉(zhuǎn)動，交于點M，請判斷是否存在線段，使得M為射線的半隨點，若存在，請畫出線段，并簡要說明畫法：若不存在，請說明理由．【答案】(1)點M不是射線的半隨點，理由見解析(2)(3)存在，圖見解析【分析】（1