專題7.1 平行線中的幾何綜合（壓軸題專項講練）（蘇科版）（解析版）

專題7.1平行線中的幾何綜合【典例1】將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．（1）若三角板如圖1擺放時，則∠α=°，∠β=°．（2）現(xiàn)固定△ABC位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點E正好落在PQ上，如圖2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分線交于點H，求∠EHB的度數(shù)；（3）將（2）中的△DEF固定，在△ABC繞點A以每秒15°的速度順時針旋轉至AB與直線AN首次重合的過程中，當△ABC的某條邊與△DEF的一條邊平行時，請求出符合條件t的值．【思路點撥】（1）如圖1中，過點E作EJ∥PQ，證明∠DEF=α+∠BAC，可得結論；（2）如圖2中，根據(jù)（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH．利用角平分線的定義求出∠PEH，∠MBH，可得結論；（3）分9種情形∶當AC∥DF時，當AC∥DE時，當AC∥EF時，當BC∥DF時，當BC∥ED時，當BC∥EF時，當AB∥DF時，當AB∥ED時，當AB∥EF時，分別討論求出∠MBA的度數(shù)，可得結論．【解題過程】（1）解∶如圖1中，過點E作EJ∥PQ，∵PQ∥MN，PQ∥EJ，∴EJ∥MN，∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，∴∠DEF=α+∠BAC，∵∠DEF=60°，∴α=60°?45°=15°，∵∠DFE=30°，β+∴β=180°?30°=150°，故答案為∶45，150；（2）解：如圖2中，利用（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH．∵PQ∥MN，∴∠QEA=∠BAC=45°，∴∠AEP=180°-45°=135°，∵∠CBA=45°，∴∠CBM=180°-45°=135*，∵HE，HB分別平分∠AEP，∠CBM，∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；（3）解：①當AC∥DF時，如圖1，易得此時BC∥ED，∵AC∥DF，易知E，F(xiàn)，A三點共線，∠DFE=∠FAC=30°，∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°=15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；②當AC∥DE時，如圖2，易得此時BC∥DF．過點A作AH∥BC，則AH∥BC∥DF，∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．∴15t=120，∴t=8，③當AC∥EF時，情況不存在；④當BC∥DF時，同②；⑤當BC∥ED時，同①；⑥當BC∥EF時，如圖3，此∠MAB=90°，即15t=90，解得t=6；⑦當AB∥DF時，如圖4，∵AB∥DF∴∠BAF=∠DFE=30°，∴∠MAB=∠MAF+∠BAF=45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；⑧當AB∥ED時，∵AB∥ED，∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，∴15t=165，解得t=11；⑨當AB∥EF時，此情況不存在．綜上所述，t的值為2或5或6或8或11．1．（2022春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分（1）如圖1，若BP∥CE，求證：（2）CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關系，并證明；②當點E在直線AB，CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大小．【思路點撥】（1）延長DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延長AB交FQ于M，延長DC交BE于N，設∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．【解題過程】（1）解：證明：延長DC交BE于K，交BP于T，如圖：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，證明如下：延長AB交FQ于M，延長DC交BE于N，如圖：∵射線BP、CQ分別平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，設∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．2．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）猜想說理：（1）如圖，AB∥CD∥EF，分別就圖1、圖2、圖3寫出∠A，∠C，∠AFC的關系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應用：（2）如圖4，若AB∥CD，則∠A+∠C+∠AFC=度；（3）在圖5中，若A1B∥AnD【思路點撥】（1）根據(jù)平行線的性質可直接得到結論；（2）過點F作AB的平行線，利用平行線的性質，計算出∠A＋（3）過點E作AB的平行線，過點F作AB的平行線，利用平行線的性質，計算出∠A＋∠AEF＋【解題過程】解：（1）如圖1：∠A＋如圖2：∠A?∠C＝如圖3：∠C?∠A＝如圖1說明理由如下：∵AB∥∴∠A＝∴∠A＋即∠A＋（2）如下圖：過F作FH∥∴∠A＋又∵AB∥∴CD∥∴∠C＋∴∠A＋即∠A＋故答案為：360；（3）如下圖：AB∥過E作EG∥AB，過F作∵AB∥∴AB∥∴∠A＋∠AEG＝180°，∴∠A＋即∠A＋綜上所述：由當平行線AB與CD間沒有點的時候，∠A＋當A、C之間加一個折點F時，∠A＋當A、C之間加二個折點E、F時，則∠A＋以此類推，如圖5，A1當A1、A5之間加三個折點則∠A…當A1、An之間加n個折點則∠A即∠1＋∠2＋3．（2022春·四川廣元·七年級統(tǒng)考期末）已知直線l1∥l2，直線l3和l1，l2分別交于C，D兩點，點A，B分別在直線l1，l2上，且位于直線l（1）如圖1，當動點P在線段CD上運動時，求證：∠APB=∠CAP+∠DBP．（2）如圖2，當動點P在點C上方運動時（P，A，B不在同一直線上），請寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖3，當動點P在點D下方運動時（P，A，B不在同一直線上），直接寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）過點P作PE∥l1，即可得PE∥l2，即有（2）過點P作PE∥l1，即可得PE∥l2，即有（3）過點P作PE∥l1，即可得PE∥l2，即有【解題過程】解：（1）證明：過點P作PE∥∵l1∥l∴PE∥∴∠CAP=∠APE，∠DBP=∠BPE，又∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠CAP+∠DBP；（2）∠APB=∠DBP?∠CAP，理由如下：過點P作PE∥∵l1∥l∴PE∥∴∠CAP=∠APE，∠DBP=∠BPE．∵∠APB=∠BPE?∠APE，∴∠APB=∠DBP?∠CAP；（3）∠APB=∠CAP?∠DBP，理由如下：過點P作PE∥∵l1∥l∴PE∥∴∠CAP=∠APE，∠DBP=∠BPE．∵∠APB=∠APE?∠BPE，∴∠APB=∠CAP?∠DBP．4．（2022春·全國·七年級期末）已知：如圖，AB∥CD，BG、FG分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，BG、FG交于點G．（1）求證：∠BGF＝90°；（2）點M是直線AB上的動點，連接MG，過點G作GN⊥MG，交直線CD于點N，畫出圖形直線，寫出∠MGE和∠NGF的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，當∠MGE＝20°，∠AEG＝40°時，求∠CNG的度數(shù)．【思路點撥】（1）過點G作GP∥AB，根據(jù)平行線的性質，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）分兩種情況進行討論：當點M在射線EA上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；當點M在射線EB上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；（3）分兩種情況進行討論，根據(jù)角的和差關系以及兩直線平行，內錯角相等進行計算，即可得出∠CNG的度數(shù)．【解題過程】解：（1）如圖，過點G作GP∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，∵EG、FG分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，∴∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∠∴∠AEG+∠CFG=12∠AEF+12∠CFE=12（∠AEF+∠CFE∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）如圖，當點M在射線EA上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE+∠NGF=180°；當點M在射線EA上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；當點M在射線EB上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；故答案為：相等或互補；（3）當點M在射線EA上時，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，∵AB∥GP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，∵GP∥CD，∴∠CNG=∠PGN=30°；當點M在射線EB上時，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠NGF=20°，∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，∵AB∥GP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，∵GP∥CD，∴∠CNG=∠PGN=70°，綜上所述：當∠MGE=20°，∠AEG=40°時，∠CNG=30°或70°．5．（2022春·重慶永川·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，AB∥CD．（1）如圖1，猜想并寫出∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關系．以下圖2、圖3、圖4是三種不同角度思考采用的不同添加輔助線的方式，請你選擇其中的兩種方式說明理由．（2）在圖4中，如果BE、DE分別平分∠ABD，∠CDB，則∠E的度數(shù)是多少？（直接寫出答案）（3）根據(jù)以上推理，直接寫出圖5、圖6、圖7中的∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）①過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質推出即可；②連接BD，根據(jù)平行線的性質推出即可；③延長BE交CD于Q，根據(jù)平行線的性質和三角形外角性質得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質得出∠ABD+∠CDB=180°，求出∠EBD+∠EDB=9O°，根據(jù)三角形外角性質得出即可；（3）根據(jù)平行線的性質和圖形得出即可．點評【解題過程】解：（1）結論：∠B+∠D=∠E．如圖2，過點E作EF∥AB．∴∠B=∠BEF．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠D=∠DEF．∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D．如圖3，延長DE交AB于點G．∵AB∥CD，∴∠D=∠BGE．∵∠BED+∠BEG=180°，∠B+∠BGE+∠BEG=180°，∴∠BED=∠B+∠BGE．∴∠BED=∠B+∠D．如圖4，連接BD．∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°．∴∠ABE+∠DBE+∠BDE+∠CDE=180°．又∵∠DBE+∠BDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠ABE+∠CDE．（2）∠BED=90°，理由是：如圖4∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵BE、DE分別平分∠ABD、∠CDB，∴∠EBD=12∠ABD，∠BDE=12∴∠EBD+∠DBE=90°，∴∠BED=180°-90°=90°；（3）圖5中過點E作EF∥AB，則EF∥CD，∵EF∥AB，則EF∥CD，∴∠B+∠1=180°，∠D+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠D+∠2=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°；（原圖中∠B+∠D+∠E=360°）圖6中過點E作EF∥AB，則EF∥CD，∵EF∥AB，則EF∥CD，∴∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，∴∠B+∠BEF?∠D+∠DEF∴∠D?∠B=∠BEF?∠DEF=∠BED，∴∠B+∠BED=∠D；（原圖中∠B+∠E=∠D）圖7中同理可得：∠D+∠E=∠B．6．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一個含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安將直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側，證明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，點N、M分別在直線AB、CD上，如圖②．①當NO∥EF，PM∥EF時，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，請直接寫出在平移的過程中∠MON的度數(shù)：∠MON=______（用含α的式子表示）．【思路點撥】（1）過P點作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，進而可求解；（2）①由平行線的性質可得∠ONM=∠PMN=60°，結合角平分線的定義可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行線的性質可求解；②可分兩種情況：點N在G的右側時，點N在G的左側時，利用平行線的性質及角平分線的定義計算可求解．【解題過程】（1）證明：過P點作PQ∥AB，∴∠PNB=∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN；（2）解：①∵NO∥EF，PM∥EF，∴NO∥PM，∴∠ONM=∠NMP，∵∠PMN=60°，∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵AB∥CD，∴∠NOM=∠ANO=60°，∴α=∠NOM=60°；②點N在G的右側時，如圖②，∵PM∥EF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=12∠ANM=30°+12∵AB∥CD，∴∠MON=∠ANO=30°+12α點N在G的左側時，如圖，∵PM∥EF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°-（60°+α）]=60°-12∴∠MON=60°-12α綜上所述，∠MON的度數(shù)為30°+12α或60°-12故答案為：30°+12α或60°-17．（2022春·上海寶山·七年級?？茧A段練習）已知AB∥CD，點M為平面內的一點，∠AMD＝90°．(1)當點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數(shù)量關系（寫出說理過程）；(2)當點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數(shù)量關系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【思路點撥】（1）在題干的基礎上，通過平行線的性質可得結論；（2）仿照（1）的解題思路，過點M作MN∥AB，由平行線的性質可得結論；（3）利用（2）中的結論，結合角平分線的性質可得結論．【解題過程】（1）解：如圖①，過點M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過點M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如圖③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝12∠EMA∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝12∠EMD∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝12∠EMD﹣12∠EMA＝12（∠EMD∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．8．（2022春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）【問題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度數(shù)；【問題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A，B兩點之間運動時，連接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點P在A，B兩點之間運動”改為“點P在A，B兩點外側運動(點P與點A，B，O三點不重合)”其他條件不變，請直接寫出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）過點P作PE與AB平行，繼而根據(jù)的性質進行推導即可得；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形(分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上)，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【解題過程】解：（1）過點P作PE∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴PE∥CD，(平行于同一條直線的兩條直線平行)∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，(兩直線平行同旁內角互補)∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，∴∠APE=40°，∠CPE=45°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖2所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖3所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β?∠α；當P在AB延長線時，如圖4所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α?∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系為：∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠α?∠β．9．（2022春·遼寧大連·七年級校聯(lián)考期中）已知直線AB∥CD，點E在直線AB、CD之間，點M、N分別在直線AB、CD上．(1)如圖1，直線GH過點E，分別與直線AB、CD交于點G、H，∠AME=∠GND，求證：∠NGH+∠MEH=180°；(2)如圖2，點F在直線CD上，ME、NE分別平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度數(shù)；(3)如圖3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直線GN與MH交于點H，NK平分∠END，NF∥MQ．求證：∠MHG=∠KNF．【思路點撥】（1）先證明GN∥MQ，再利用平行線的性質、鄰補角的定義即可證明結論；（2）設∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°，推出∠MEN=(x+y)°，由已知得到∠FMN=(2x+2y)°，利用平角的定義得到2x+2(x+y)+2y=180，據(jù)此求解即可；（3）設∠AMQ=x°，∠GNC=y°，推出∠MEN=(2x+2y)°，由平行線的性質推出∠MHS=∠BMH=90°?x°，∠ENF=∠FNH=90°?y°，在△NLP中，得到∠LNP=180°?∠NLP?∠LPN=x°，據(jù)此通過計算即可證明∠MHG=∠KNF．【解題過程】（1）證明：延長ME交CD于點Q，如圖，∵AB∥CD，∴∠AME=∠MQD，∵∠AME=∠GND，∴∠MQD=∠GND，∴GN∥MQ，∴∠NGH=∠GEM，∵∠GEM+∠MEH=180°，∴∠NGH+∠MEH=180°；（2）解：過E作EQ∥AB，如圖．∵ME平分∠AMF，EN平分∠MNF，∴設∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°．∵EQ∥AB，AB∥CD．∴EQ∥CD，∵EQ∥AB．∴∠MEQ=∠AME=x°．∵EQ∥CD．∴∠NEQ=∠ENF=y°．∴∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=(x+y)°．∵∠FMN=2∠MEN，∴∠FMN=(2x+2y)°，∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNF=2y°．∵∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，∴2x+2(x+y)+2y=180，∴x+y=45，∴∠MEN=45°；（3）證明：過E作EO∥AB，EJ∥QM，過H作HS∥CD，如圖．∵MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，設∠AMQ=x°，∠GNC=y°，由（2）方法可得∠MEN=(2x+2y)°，∵HS∥CD，∴HS∥AB∥CD，∴∠GHS=∠GNC=y°，∠MHS=∠BMH=12(180°?2x°)=90°?x∴∠MHG=∠MHS?∠GHS=90°?x°?y°，∵NF平分∠END，∴∠ENF=∠FNH=12∠END=90°?y∵AB∥CD，∴∠LPN=∠BMH=90°?x°，∵QM∥NF，∴∠MLH=∠QMH=∠QME+∠EMH=x°+90°?x°=90°，在△NLP中，∠LNP=180°?∠NLP?∠LPN=180°-90°-（90°-x°）=x°，∴∠KNF=∠KNP?∠FNP=90°?y°?x°，∴∠MHG=∠KNF．10．（2022春·北京·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜缏?lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉動的速度是每秒2°，燈B轉動的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C，且∠ACB=120°，則在燈B射線到達BQ之前，轉動的時間為______秒．【思路點撥】（1）設∠BAN=x°，則∠BAM=2x°，根據(jù)∠BAN+∠BAM=180°，可列出關于x的等式，解出x即可求解；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0<t≤90時，根據(jù)2t=1?30+t，可得t=30；當90<t<150時，根據(jù)1?30+t+（3）分類討論①當0<t≤90時和②當90<t<180時，畫出圖形，分別根據(jù)平行線的性質結合題意構建方程解決問題即可．【解題過程】（1）設∠BAN=x°，則∠BAM=2x°，∵∠BAN+∠BAM=180°，即x°+2x°=180°，∴x=60，∴∠BAN=60°．故答案為：60；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，由題意可知∠CAM=(2t)°，∠CAM=(t+30)°．①當0<t≤90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA．∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD．∴2t=30+t解得t=30；②當90<t<150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°．∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA，∴∠PBD+∠CAN=180°．∵∠CAM=(2t)°，∴∠CAN=(2t?180)°，∴30+t解得

t=110．綜上所述，當30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設燈A射線轉動時間為t秒，①當0<t≤90時，過點C作CK∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥MN∥CK，∴∠CBP=∠BCK，∠CAN=∠ACK，∴∠ACB=∠BCK+∠ACK=∠CBP+∠CAN，∵∠CAN=(180?2t)°，∠CBP=t°，又∵∠ACB=120°，∴t+(180?2t)=120，解得：t=60，∴∠CAN=60°，此時AC與AB共線，不符合題意；②當90<t<180時，同①的圖可得∠CAN=(2t?180)°，則(2t?180)+t=120，解得：t=100；如圖4中，當∠ACB=120°時，同①可知∠ACB=∠MAC+∠QBC．因為此時∠MAC=(360?2t)°，∴120=(360?2t)+(180?t)，解得：t=140．綜上可知，t的值為100或140．故答案為：100或140．11．（2022春·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側，D在C的右側，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE，BE交于點E，∠CBN＝120°．(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度數(shù)；(2)在圖1中過點D作∠ADQ的角平分線與直線BE相交于點F，如圖2，試探究∠DEB與∠DFE的關系；(3)若改變線段AD的位置，使得點D在點C的左側，其他條件不變，若∠ADQ＝n°，過點D作∠PDA的角平分線與直線BE相交于點G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代數(shù)式表示）【思路點撥】（1）如圖1中，延長DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解決問題；（2）根據(jù)角平分線以及鄰補角的定義得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ（3）分3種情形討論即可解決問題．【解題過程】（1）解：如圖1中，延長DE交MN于H．∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，∴∠PDH＝12∠PDA＝1∵MN∥PQ,，∴∠EHB＝∠PDH＝40°，∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，∴∠EBH＝12∠ABC＝1∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.（2）解：如圖，∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，∴∠ADE＝12∠ADC，∠ADF＝12∠∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ∴∠DEB+∠DFE＝90°.（3）解：分3種情形如圖，當點E在直線MN與直線PQ之間時．延長DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝12∠ADQ＝12∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣12n°+30°＝210°﹣12∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，∴∠ADG＝12∠ADP∴∠GDH＝12∠ADP+12∠∴∠BED＝90°+∠DGE，∴∠DGE＝210°﹣12n°﹣90°＝120°﹣12∴∠BED+∠DGE＝210°﹣12n°+120°﹣12n°＝330°﹣當點E在直線MN的下方時，如圖，設DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝12n又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝12n∵∠GDH＝12∠ADP+12∠∴∠DGE＝90°﹣∠BED＝90°﹣（12n°﹣30°）＝120°﹣12∴∠BED+∠DGE＝12n°﹣30°+120°﹣12當點E在PQ上方時，∵∠GDF＝12∠ADP+12∠∴∠DGE+∠BED＝90°，綜上所述，∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°．12．（2022春·北京海淀·七年級?？茧A段練習）已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB,CD上，∠EFD=α．點P是直線AB上的動點（不與E重合），連接PF，∠PEF和(1)如圖1，若EF⊥CD，點P在射線EB上．則當∠EPF=40°時，∠EHF=°；(2)如圖2，若α=120°，點P在射線EA上．①補全圖形；②探究∠EPF與∠EHF的數(shù)量關系，并證明你的結論．(3)如圖3，若0°<α<90°，直接寫出∠EPF與∠EHF的數(shù)量關系（用含α的式子表示）．【思路點撥】（1）根據(jù)圖形1，由平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理計算即可；（2）①先根據(jù)（1）中作法補全圖形；②根據(jù)平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理得出∠EPF與∠EHF的數(shù)量關系；（3）分點P在射線EB上和點P在射線EA上兩種情況，平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理計算即可．【解題過程】（1）解：∵EF⊥CD，點P在射線EB上，∠EPF=40°,∴∠PEF=∠CFE=90°,∴∠PFC=180°?∠PFD=140°，∵EM、FH分別平分∠PEF,∴∠FEM=1∴∠EFH=∠CFE?∠CFH=20°，∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，∴∠LEHF=∠FEM?∠EFH=45°?20°=25°．故答案為：25；（2）①若α=120°，點P在射線EA上，補全圖形，如圖所示：②∠EPF與∠EHF的數(shù)量關系是∠EHF=1∵AB∥∴∠PEF=∠EFD=α=120°,∵EM,FH分別平分∴∠FEM=12∠PEF=60°∴∠CFH=1∵∠EFM=180°?α=60°，∴∠FMH=180°?∠FEM?∠EFM=60°，∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，∴∠EHF=1（3）若0°<α<90°，則∠EPF與∠EHF的數(shù)值關系是：∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF?∠EPF=α．點P在射線EB上時，∵AB∥∴∠PEF+∠EFD=180°,∴∠PEF=180°?∠EFD=180°?α,∵EM,FH分別平分∴∠FEM=1∴∠EFH=∠PFD+∠PFH?∠EFD=∠EPF+90°?1∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，∴90°?1∴∠EPF+2∠EHF=α；點P在射線EA上時，∵AB∥∴∠PEF=∠EFD=α,∵EM,FH分別平分∴∠FEM=1∴∠CFH=1∵∠EFM=180°?α，∴∠FMH=180°?∠FEM?∠EFM=1∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，∴∠EHF=1∴2∠EHF?∠EPF=α，綜上所述，∠EPF與∠EHF的數(shù)值關系是∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF?∠EPF=α．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖1，AB∥CD，直線AB外有一點M，連接AM，(1)證明：∠M+∠A=∠C；(2)如圖2，延長MA至點E，連接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF與CM交于點F，求∠E與∠AFC的數(shù)量關系；(3)如圖3，在2的條件下，∠E=100°，F(xiàn)A⊥AN，連接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求∠M的度數(shù)．【思路點撥】（1）過點M作MN∥（2）過點E作EP∥AB，過點F作（3）過點N做NY∥AB，過點M作【解題過程】（1）證明：過點M作MN∥∵AB∥CD，∴MN∥CD∥AB∴∠A+∠NME+∠AME=180°，∠NME+∠MEB=180°,∠MEB=∠C，∴∠A+∠AME=∠MEB，∴∠A+∠AMC=∠C；（2）解：∵CM平分∠ECD，設∠ECM=∠MCD=a，又∵AF平分∠EAB，設∠EAF=∠FAB=b，∴∠ECD=2∠ECM=2a，∠EAB=2∠EAF=2b，過點E作EP∥∵AB∥∴EP∥∴∠EAB+∠AEP=180°，∠ECD+∠CEP=180°，∴∠AEP=180°?∠EAB=180°?2b，∠CEP=180°?∠ECD=180°?2a，∴∠AEC=∠AEP+∠CEP=360?2b?2a=360?2(a+b)，過點F作QF∥AB，∴QF∥∴∠AFQ=∠FAB，∠QFC=∠MCD，∴∠AFC=∠QFA+∠QFC=a+b∴∠AEC=360°?2∠AFC；（3）設∠NAB=r，∠NCD=y過點N做NY∥∵AB∥CD，∴∠YNA=∠NAB，∠YNC=∠NCD，∴∠ANC=∠NCD?∠NAB=y?r，∵∠M=2∠N，∴∠M=2y?2r，過點M作MX∥∴MX∥∴∠XMA=∠MAB，∠XMC=∠MCD，∴∠XMA=∠XMC?∠AMC，∴∠AMC=∠XMC?∠XMA=∠MCD?∠MAB，∵∠MAB=2r，∠MCD=2y，∴∠MCN=∠MCD?∠NCD=y，∵∠MCN=30°，∴y=30°，∴∠MCD=2y=60°，∵∠AEC=100°，∠AEC=360°?2∠AFC，∴∠AFC=360°?∠AFC=130°，由（2）知∠BAF+∠FCD=∠AFC，∴∠BAF=∠AFC?∠MCD=70°，∵FA⊥AN，∴∠FAN=90°，∴∠NAB=∠FAN?∠BAF=20°，∴r=20°，∴∠MAB=2r=40°，∴∠AMC=∠MCD?∠MAB=60°?40°=20°．14．（2022秋·吉林長春·七年級長春市第四十五中學?？计谀┮阎狝M∥CN，點B在直線AM、CN之間，∠ABC=88°．(1)如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系：__________．(2)如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．(3)如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點G，則∠AGH的度數(shù)為__________．【思路點撥】（1）過點B作BE∥（2）過點B作BE∥（3）利用（2）的結論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可求得結論．【解題過程】（1）過點B作BE∥∵BE∥∴∠A=∠ABE．∵BE∥AM，∴BE∥∴∠C=∠CBE．∵∠ABC=88°．∴∠A+∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC=88°．故答案為：∠A+∠C=88°；（2）∠C?∠A=92°．理由：過點B作BE∥∵BE∥∴∠A=∠ABE．∵BE∥AM，∴BE∥∴∠C+∠CBE=180°．∴∠CBE=180°?∠C．∵∠ABC=88°，∴∠ABE+∠CBE=∠ABC=88°．∴∠A+180°?∠C=88°．∴∠C?∠A=92°．（3）設CH與AB交于點F，如圖，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF=1∵CH平分∠NCB，∴∠BCF=1∵∠ABC=88°，∴∠BFC=92°?∠BCF．∵∠AFG=∠BFC，∴∠AFG=92°?∠BCF．∵∠AGH=∠GAF+∠AFG，∴∠AGH=1由（2）知：∠BCN?∠MAB=92°，∴∠AGH=92°?46°=46°．故答案為：46°．15．（2022春·江西宜春·七年級江西省萬載中學?？计谥校┰跀?shù)學綜合實踐活動課上，老師讓同學們以“兩條平行直線AB，CD和一塊含45°的直角三角板EFG（∠EFG=90°）”為背景，開展數(shù)學探究活動．如圖，將三角板的頂點G放置在直線AB上．（1）如圖①，在GE邊上任取一點P（不同于點G，E），過點P作CD//AB，且∠2=4∠1，求（2）如圖②，過點E作CD//AB，請?zhí)剿鞑⒄f明∠AGF與（3）將三角板繞頂點G旋轉，過點E作CD//AB，并保持點E在直線AB的上方．在旋轉過程中，探索∠AGF與【思路點撥】（1）根據(jù)平行線的性質可知∠1=∠EGB，依據(jù)∠2+∠FGE+∠EGB=180°，可求出∠1的度數(shù)；（2）過點F作FP//AB，得到FP//AB//CD，通過平行線的性質把∠AGF和∠CEF轉化到∠EFG上即可；（3）分三種情形：①如圖3?1中，當點F在直線CD的上方時，②當點F在直線AB與直線CD之間時，∠AGF+∠CEF=90°．③當點F在直線AB的下方時，分別利用平行線的性質解決問題即可．【解題過程】解：（1）如圖1中，∵AB//CD，∴∠1=∠EGB，∵∠2+∠FGE+∠EGB=180°，∠2=4∠1，∴4∠1+45°+∠1=180°，解得∠1=27°．（2）∠AGF+∠CEF=90°，理由如下：如圖，過點F作FP//AB，∵CD//AB，∴FP//AB//CD，∴∠AGF=∠PFG，∠CEF=∠PFE，∴∠PFG+∠PFE=∠AGF+∠CEF=∠EFG，∵∠EFG=90°，∠AGF+∠CEF=90°；（3）①如圖3?1中，當點F在直線CD的上方時，過點F作MN//AB．∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD//AB，∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，∵∠NFG?∠NFE=∠GFE=90°，∴∠AGF?∠CEF=90°．②當點F在直線AB與直線CD之間時，∠AGF+∠CEF=90°，如下圖：∵MN//CD,MN//AB，∴∠CEF=∠NFE,∠AGF=∠NFG，∵∠GFE=∠NFE+∠NFG=90°，∴∠AGF+∠CEF=90°；③當點F在直線AB的下方時，過點F作MN//AB．∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD//AB，∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，∵∠NFE?GFN=∠GFE=90°，∴∠CEF?∠AGF=90°．綜上所述，①當點F在直線CD的上方時，∠AGF?∠CEF=90°．②當點F在直線AB與直線CD之間時，∠AGF+∠CEF=90°．③當點F在直線AB的下方時，∠CEF?∠AGF=90°．16．（2022秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？计谀┮阎珹B∥CD，直線FE交AB于點E，交CD于點F，點M在線段EF上，過M作射線MR、MP分別交射線AB、CD于點N、Q．(1)如圖1，當MR⊥MP時，求∠MNB+∠MQD的度數(shù)．(2)如圖2，若∠DQP和∠MNB的角平分線交于點G，求∠NMQ和∠NGQ的數(shù)量關系．(3)如圖3，當MR⊥MP，且∠EFD=60°,∠EMR=20°時，作∠MNB的角平分線NG．把一三角板OKI的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與MR和MP重合，將其繞點O點順時針旋轉，速度為5°每秒，當OI落在MF上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉．三角板開始運動的同時∠BNG繞點N以3°每秒的速度順時針旋轉，記旋轉中的∠BNG為∠B′NG′，當NG′和NA【思路點撥】（1）過點M作MH∥AB，利用平行線的性質可得∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQ=360°，進而可求∠MNB+∠MQD=270°；（2）過點M作MH∥AB，過點G作GL∥AB，設∠DQG=y，則∠DQP=2y，設∠DQG=y，則∠DQP=2y，求出∠NMQ=180°?2x+2y，進而可得∠NMQ=180°?2∠NGQ；（3）分5種情況求解即可．【解題過程】解：（1）如圖過點M作MH∥AB∴∠BMN+∠NMH=180°∵AB∥CD∴MH∥CD∴∠HMQ+∠MQD=180°∴∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQD=360°∵MR⊥MP∴∠NMQ=90°∴∠MNB+∠MQD=270°（2）如圖過點M作MH∥AB，過點G作GL∥AB設∠BNG=x，則∠BNM=2x∵MH∥AB∴∠NMH=180°?2x設∠DQG=y，則∠DQP=2y∵AB∥CD∴GL∥CD∴∠QGL=y則∠NGQ=y?x，∠HMQ=2y∴∠NMQ=180°?2x+2y∴∠NMQ=180°?2∠NGQ（3）①OI到達MF前，OI∥NG5t+90+(140?70?3t)=180t=10②OI返回，OI∥NG160?5(t?14)+(140?70?3t)=180t=15③當OI∥NB160?5(t?14)+140?3t=180t=④當OK∥NG160?90?5(t?14)=3t?70t=⑤當OK∥NB140?3t=90?[160?5(t?14)]t=35綜上可知，t的值為10，15，954，10517．（2022秋·重慶·七年級重慶南開中學校考期末）已知，AE∥BD，∠A=∠D．(1)如圖1，判斷AB與CD的位置關系，并說明理由；(2)作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為線段AB上一點，連接FG，∠CFG的平分線FM交線段AG于點H．如圖2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度數(shù)；(3)如圖3，連接AC，在（2）的條件下，將射線FG繞點F以5°每秒的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t秒（0<t<50），已知∠CAB=65°，求∠CFG的平分線FM與三角形ACE的邊平行時t的值．【思路點撥】（1）根據(jù)AE∥BD，得到∠A+∠B=180°，進一步可得∠D+∠B=180°，所以AB∥CD；（2）延長CD交AE于點N，求出∠ECN=60°，再求出∠ENC=70°，即可求出∠E=180°?70°?60°=50°；（3）分情況討論，作出圖形，結合圖形分析，求出旋轉的角度即可求出t的值．【解題過程】（1）解：AB∥CD，理由如下：∵AE∥BD，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠D，∴∠D+∠B=180°，∴AB∥CD；（2）解：延長CD交AE于點N，∵∠ECF=120°，∴∠ECN=180°?120°=60°，∵∠CFG=110°，F(xiàn)M平分∠CFG，∴∠CFH=∠GFH=55°，∵∠AFH=20°，∴∠CFA=∠CFH?∠AFH=35°，∵AB∥CD，∴∠CFA=∠FAB=35°，∵AF平分∠BAE，∴∠BAE=70°，∵AB∥CD，∴∠ENC=∠BAE=70°，∴∠E=180°?70°?60°=50°；（3）解：第一種情況：當FG轉到FG′，∵∠CAB=65°，F(xiàn)M∴∠FH∵AB∥CD，∴∠FH∵FH′平分∴∠CFG∵由（2）可知旋轉前：∠CFG=110°，∴旋轉角度為：130°?110°=20°，故旋轉時間為：20°÷5°=4s第二種情況：當FG轉到FG′，由（2）可知：∠EAB=70°，∵FM∴∠FH∵AB∥CD，∴∠FH∵FH′平分∴∠CFG∵由（2）可知旋轉前：∠CFG=110°，∴旋轉角度為：140°?110°=30°，故旋轉時間為：30°÷5°=6s第三種情況：當FG轉到FG′，∵FM∴∠CFM∵FH′平分∴∠H∵FH′平分∴∠CFG∵由（2）可知旋轉前：∠CFG=110°，∴旋轉角度為：240°?110°=130°，故旋轉時間為：130°÷5°=26s綜上所述：t的取值可以為：4秒，6秒，26秒．18．（2022春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，點P，Q分別在AB，CD上，點E在AB，CD之間．連接PE，QE，(1)直接寫出∠BPE與∠DQE的數(shù)量關系為____________________；(2)如圖2，∠APE的平分線PG和∠CQE的平分線QH的反向延長線相交于點G，求∠G的度數(shù)；(3)如圖3，M為線段PE上一點，連接QM，∠BPE和∠MQD的平分線相交于點N，直接寫出∠PNQ和∠MQE的數(shù)量關系為____________________．【思路點撥】（1）延長PE交CD于點F，利用平行線的性質得∠BPE=∠PFC，利用三角形外角的性質得∠PEQ=∠PFC+∠DQE=90°，等量代換可得∠BPE+∠DQE=90°；（2）過E點作EF∥AB，過G點作GM∥AB，利用平行線的性質可得∠PEF=180°?∠APE，∠MGP=180°?∠APG，∠MGH=∠CQH，∠FEQ=180°?∠CQE，∠APE=2∠APG=2α，∠CQE=2∠CQH=2β，通過等量代換可得∠PEQ=180°?2α+180°?2β=360°?2α?2β=（3）利用角平分線的定義可得∠BPE=2∠BPN，∠MQN=∠DQN，利用并參照（1）的結論可得∠BPE+∠DQE=90°，∠BPN+∠DQN=∠PNQ，進而可得2∠BPN+∠DQN+∠EQN=90°，再通過等量代換、角的和差關系可推導出2∠PNQ?∠MQE=90°．【解題過程】（1）解：如圖，延長PE交CD于點F，∵PE⊥QE，∴∠PEQ=90°，∵AB∥∴∠BPE=∠PFC，∵∠PEQ是ΔQEF∴∠PEQ=∠PFC+∠DQE=90°，∴∠BPE+∠DQE=90°．故答案為：∠BPE+∠DQE=90°．（2）解：如圖，過E點作EF∥AB，過G點作∴∠APE+∠PEF=180°，∠MGP+∠APG=180°．∴∠PEF=180°?∠APE，∠MGP=180°?∠APG．∵AB∥∴EF∥CD，∴∠FEQ+∠CQE=180°，∠MGH=∠CQH．∴∠FEQ=180°?∠CQE又∵PG、QH平分∠APE和∠CQE，∴設∠APE=2∠APG=2α，∠CQE=2∠CQH=2β．∴∠PEF=180°?2α，∠FEQ=180°?2β，∠MGP=180°?α．∵∠PEQ=∠PEF+∠FEQ，∴∠PEQ=180°?2α+180°?2β=360°?2α?2β．∵PE⊥QE，∴∠PEQ=90°，∴360°?2α?2β=90°，∴α+β=135°．又∵∠HGP=∠MGP?∠MGH．∴∠HGP=180°?α?β=45°．（3）解：∵∠BPE和∠MQD的平分線相交于點N，∴∠BPE=2∠BPN，∠MQN=∠DQN，由（1）得∠BPE+∠DQE=90°，∴2∠BPN+∠DQN+∠EQN=90°，同（1）可證∠BPN+∠DQN=∠PNQ，又∵∠EQN=∠MQN?∠MQE，∴∠PNQ+∠BPN+∠MQN?∠MQE=90°，∴∠PNQ+∠BPN+∠DQN?∠MQE=90°，∴∠PNQ+∠PNQ?∠MQE=90°，∴2∠PNQ?∠MQE=90°，故答案為：2∠PNQ?∠MQE=90°．19．（2022春·四川成都·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜绺o密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了A,D兩座可旋轉探照燈．假定主道路是平行的，即PQ//CN,A,B為PQ上兩點，AD平分∠CAB交CN于點D,E為AD上一點，連接BE,AF平分∠BAD交BE于點（1）若∠C=20°，則∠EAP=_______；（2）作AG交CD于點G,且滿足∠1=13∠ADC，當∠2+（3）在（1）問的條件下，探照燈A、D照出的光線在鐵路所在平面旋轉，探照燈射出的光線AC以每秒5度的速度逆時針轉動，探照燈D射出的光線DN以每秒15度的速度逆時針轉動，DN轉至射線DC后立即以相同速度回轉，若它們同時開始轉動，設轉動時間為t秒，當DN回到出發(fā)時的位置時同時停止轉動，則在轉動過程中，當AC與DN互相平行或垂直時，請直接寫出此時t的值．【思路點撥】（1）利用平行線的性質和角平分線的性質可解；（2）通過計算，利用內錯角相等，兩直線平行進行判定即可；（3）分五種情況畫圖，列出關于t的式子即可解答．【解題過程】解：（1）∵PQ//CN，∴∠CAB+∠C=180°，∠PAC=20°．∵∠C=20°，∴∠CAB=160°．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=80°．∴∠EAP=∠DAC+∠PAC=100°．故答案為：100°．（2）∵PQ//CN，∴∠ADC=∠BAD．∵∠1=1∴∠1=1∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠EAF．∴∠1=2∴∠GAF=∠1+∠EAF=5∵∠2+6∴∠2+2∠EAF=180°．∴∠2+∠BAD=18