專題06 對角互補(bǔ)模型（解析版）

專題06對角互補(bǔ)模型基本模型：例題精講例1．（基本模型）在等邊中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在延長線上，點(diǎn)E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時，，請直接寫出的長．【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由見解析；（3）4【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案為：DE=DF（2）仍有DE=DF；理由如下：過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖2所示則∠AGD=∠ABC∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等邊三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF∵D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF（3）過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖3所示與（2）同理有：△DGE≌△DCF∴GE=CF設(shè)BC=a，則CF=8－a，∴由GE=CF，得：解得：a=4例2．（基本模型2）已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點(diǎn)D在AB的延長線上，點(diǎn)E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】(1)證明：取AB的中點(diǎn)F，連接OF．∵△ABC是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O與點(diǎn)F分別是BC與AB的中點(diǎn)，∴，∴△BOF是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．(2)解：結(jié)論：．理由：∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：；(3)結(jié)論：．理由如圖2中，取的中點(diǎn)F，連接OF．同（1）中的方法可證是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴例3．（培優(yōu)綜合）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，且與點(diǎn)B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC．上，且CF⊥BD時，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．【答案】(1)①，；②存在，詳見解析(2)45°【解析】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如圖2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；（2）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°【變式訓(xùn)練1】問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點(diǎn)，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點(diǎn)，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點(diǎn)F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【變式訓(xùn)練2】已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【答案】(1)；(2)，理由見解析【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過點(diǎn)作的邊上的高，過點(diǎn)作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】在Rt△ABC中，，，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為______；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為______；(2)猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；(3)拓展延伸若，，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)見解析；(3)72或8．【解析】（1）如圖1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB=BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE=AB+BD．理由：連接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD=AB+BE．理由：連接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE．（3）如圖2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=?AD?EB=×12×12=72．如圖3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=?AD?EB=×4×4=8．【變式訓(xùn)練4】在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】(1)；(2)成立，；(3)，見解析【解析】（1）解：BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案為：BM+NC＝MN；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；（3）NC?BM=MN，理由如下：證明：在CN上截取CM1＝BM，連接MN，DM1由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．課后訓(xùn)練1．在中，，且E為邊的中點(diǎn)，連接，以為邊向上作等邊三角形，連接，則的長為_______．【答案】6【詳解】解：延長BC到F，使BF=2BC，即，∵在中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，又∵在等邊三角形中，，，∴，∴（SAS），∴，又∵，E為邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為6．2．如圖在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交CB、DC延長線于E、F點(diǎn)且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，則EF＝__．【答案】6【詳解】解：如圖，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到DA，交CD于點(diǎn)G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAG+∠BAF＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF＝45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝GF，∵BE＝1，DF＝7，∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.故答案為：6．3．已知四邊形中，，，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且，求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且時，小穎猜想中的仍然成立，并嘗試作出了延長至點(diǎn)，使，連接，請你證明小穎的猜想；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，見解析【解析】（1）證明：①在和中，，≌．；②由知≌，．，，∴是等邊三角形．．；（2）解：延長至點(diǎn)使得，如圖．在和.中，≌．，，，，即，，．在和中，，≌．．．；（3）解：如圖，猜想．證明如下：在的延長線上取點(diǎn)，使，連接．在和中，≌．，，，，即．，．4．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；(2)將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析【詳解】（1）證明：延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，∴．（2）證明：延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，∴．5．已知：在中，于點(diǎn)，．(1)如圖1，的度數(shù)為________度．(2)如圖2，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在延長線上，連接、，若，判斷線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)90(2)見解析(3)，；【詳解】（1）∵，∴∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴∵∴∴又∵∴即（3）連接，、與分別交于L、K，過H作于M，于P，∵，∴∵∴∴∵，∴，∴∴∵∴∴∵∴∵∴四邊形是平行四邊形∴∴∴，∴∴，6.（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+DF，請你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+FD，請問：（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請證明結(jié)論．（3）若（2）中的點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊CB、CD的延長線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個關(guān)于∠EAF與∠BAD的關(guān)系式，哪個是正確的？請證明結(jié)論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）②正確【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（2），理由如下：如圖2，將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，∵，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（3）在DC的延長線上取一點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，∴，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴，∴∠FAE=∠FAH，∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠DAH）=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正確．7．已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．【答案】(1)60°(2)證明見解析；(3)．【詳解】（1）解：在BD上取點(diǎn)E，使BE=CD，如圖1所示：∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴（SAS），∴，，∴，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADB=60°；故答案為：60°；（2）證明：在DC的延長線上取一點(diǎn)H，使，如圖2所示：∴，∵，，∴，∵AB＝BC，，∴，又∵，即，∴，在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴，∴；（3）解：延長DC至H，使CH=AC，連接BH，如圖3所示：圖3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∴，又∵，∴△BDH為等邊三角形，∴，∴．8．如圖1，等邊與等邊的頂點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上，連接交于點(diǎn)，連．(1)求證：；(2)求證：平分；(3)設(shè)，若，直接寫出a，b，c之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【詳解】（1）證明：∵等邊與等邊的頂點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上，∴，，∴，∴，，∴，∵等邊，等邊，∴，，在與中，∵，∴，∴．（2）證明：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵（1）中已證，又∵，，∴，∵，，∴平分．（3），理由如下：如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使得，在上截取一點(diǎn)，使得，連接，，∵，∴，∵，又∵等邊，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，即，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴，同法可證，，∵，∴．∵，，∴，∵（2）中已證，∴，∴，即．9．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時（如圖1），請