第二章函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第6節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考綱展示三年高考總結(jié)1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用．2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)．3．通過(guò)具體實(shí)例了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，并體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，尤其以對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為載體，考查函數(shù)值的大小比較及單調(diào)性，此外對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用也常有出現(xiàn)，一般以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度一般不大，解題時(shí)熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意分類討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算回扣教材概念如果(a>0，a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝.其中a叫做，N叫做性質(zhì)底數(shù)的限制a>0，且a≠1對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)1的對(duì)數(shù)是：loga1＝底數(shù)的對(duì)數(shù)是：logaa＝對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝運(yùn)算性質(zhì)loga(M·N)＝logaeq\f(M,N)＝logaMn＝(n∈R)a>0，且a≠1，M>0，N>0換底公式公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推廣：logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0且a≠1，b>0)；logab＝eq\f(1,logba)(a>0且a≠1；b>0且b≠1)；logab·logbc·logcd＝(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0)小題快做1.思考辨析(1)logaM＝eq\f(lgM,lga)＝eq\f(lnM,lna).()(2)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.()(3)若logaM2＝logaN2，則M＝N；若M＝N，則logaM2＝logaN2.()2．[教材改編]2log510＋log50.25等于()A．0 B．1C．2 D．43．[教材改編](log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(1)[2013·陜西高考]設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac(2)[2015·鄭州二檢]若正數(shù)a，b滿足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為()A．36 B．72C．108 D.eq\f(1,72)對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)對(duì)于指數(shù)式、對(duì)數(shù)式混合型條件的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，一般可利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，將所給條件統(tǒng)一為對(duì)數(shù)式或指數(shù)式，再根據(jù)有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)求解；(2)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)把底數(shù)或真數(shù)變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式，將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A．5B．3C．－1 D.eq\f(7,2)2．log3eq\f(\r(4,27),3)×log5[4eq\s\up15(eq\f(1,2)log210)－(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))－log772]的值為________．考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用回扣教材1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及特征概念函數(shù)(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)a>10<a<1圖象圖象特征在y軸，過(guò)定點(diǎn)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降在直線x＝1的右側(cè)，當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0<a<1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．小題快做1.思考辨析(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)與y＝logeq\s\do8(\f(1,2))3x都是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝logax2與函數(shù)y＝2logax是相等函數(shù)．()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).()2．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，a≠1)的圖象必過(guò)定點(diǎn)()A．(1,0) B．(1，－2)C．(－1，－2) D．(－1，－1)3．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝2x的反函數(shù)，則f(2)的值是()A．4 B．2C．1 D．04．[2015·大連月考]已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－logbx的圖象可能是()eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(1)[2015·山西四校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1,logeq\s\do8(\f(1,3))xx>1))，則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是()(2)[2013·湖南高考]函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題(1)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，是解決對(duì)數(shù)圖象問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【跟蹤訓(xùn)練】3．[2015·大連雙基]函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1,|x＋1|)的大致圖象為()4．[2015·青島統(tǒng)考]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logeq\s\do8(\f(1,3))x，x>1，))g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若對(duì)任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________________．考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用回扣教材對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域值域性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)，即x＝時(shí)，y＝在(0，＋∞)上是函數(shù)在(0，＋∞)上是函數(shù)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0小題快做1．思考辨析(1)若M>N>0，則logaM>logaN.()(2)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．()(3)已知a>1，若logam<logan，則m<n，反之也成立．()2．[2013·重慶高考]函數(shù)y＝eq\f(1,log2x－2)的定義域是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)3．設(shè)a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c<d B．b<a<d<cC．b<a<c<d D．d<c<a<b4．[教材改編]若logaeq\f(3,4)<1(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________．命題角度1求函數(shù)的定義域eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例3))[2013·廣東高考]函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx＋1,x－1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．(－1,1)∪(1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)命題角度2比較對(duì)數(shù)值的大小eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例4))[2015·陜西高考]設(shè)f(x)＝lnx,0<a<b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是()A．q＝r<p B．q＝r>pC．p＝r<q D．p＝r>q命題角度3解對(duì)數(shù)不等式eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例5))[2013·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x≥0.))若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．[－2,1] D．[－2,0]命題角度4探究對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例6))[2015·湖南高考]設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題的常見題型與解題策略(1)對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域的求解列出對(duì)應(yīng)的不等式(組)求解，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍．(2)比較對(duì)數(shù)式的大?。偃舻讛?shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較；③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較．(3)解對(duì)數(shù)不等式，形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論；形如logax>b的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式．(4)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用多用在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性上，即求形如y＝logaf(x)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其一般步驟為：①求定義域，即滿足f(x)>0的x的取值集合；②將復(fù)合函數(shù)【跟蹤訓(xùn)練】5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)ln(eq\r(x2－3x＋2))＋eq\r(－x2－3x＋4)的定義域?yàn)?)A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)6．[2015·石家莊模擬]已知a＝3eq\s\up15(eq\f(1,2))，b＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)，c＝log2eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c7．[2015·長(zhǎng)春調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋t))是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)8．已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：①f(2013)＋f(－2014)的值為0；②函數(shù)f(x)在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)．其中正確命題的序號(hào)有________．[方法與技巧]1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}．對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論．2．研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，要注意底數(shù)a>1和0<a<1的兩種不同情況．有些復(fù)雜的問(wèn)題，借助于函數(shù)圖象來(lái)解決，就變得簡(jiǎn)單了，這是數(shù)形